运城市康杰中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份运城市康杰中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知数列的前n项和,则的值为( )
A.135B.145C.155D.165
2．中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
3．已知为等差数列，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．直线将圆分成两段，这两段圆弧的弧长之比为( )
A.B.C.D.
5．已知数列中，，当时，，设，则数列的通项公式为( )
A.B.C.D.
6．设,,,则a、b、c的大小关系是( )
A.B.C.D.
7．点P在椭圆上,的右焦点为F,点Q在圆上,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，，则C的离心率为( )
A.B.2C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线
D.已知向量,,则在上的投影向量为
10．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2,过F的直线l交抛物线C于两点A,B,则( )
A.C的准线方程为
B.若,则
C.若,则l的斜率为
D.过点A作准线的垂线,垂足为H,若x轴平分,则
11．如图,在直四棱柱中,底面为菱形,,,P为的中点,点Q满足,则下列结论正确的是( )
A.若,则四面体的体积为定值
B.若的外心为O,则为定值2
C.若,则点Q的轨迹长度为
D.若且,则存在点,使得的最小值为
三、填空题
12．函数的极大值点为___________.
13．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列.在杨辉之后,对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前5项分别为1,4,10,20,35,则该数列的第6项为_________________.
14．定义在上的偶函数满足,且当时,,则曲线在点处的切线方程为________________.
四、解答题
15．已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求a;
（2）求的单调区间和极值.
16．如图,四棱柱中,侧棱底面ABCD,,,,,E为棱的中点.
（1）证明;
（2）求二面角的正弦值.
（3）设点M在线段上,且直线AM与平面所成角的正弦值为,求线段AM的长.
17．已知数列的首项为2,前n项和为,且.
（1）求的值;
（2）设,求数列的通项公式;
（3）求数列的通项公式.
18．已知,为椭圆C：的左、右顶点,且椭圆C过点.
（1）求C的方程;
（2）过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点（其中点D在x轴上方）,求的取值范围.
19．已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）当时,若恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可知,,
,
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：离心率为即
设则
又
又双曲线的焦点在y轴上
双曲线的渐进方程为
故选:B.
3．答案：A
解析：设的公差为d，由可得，，或，“”不是“”的必要条件；若，则一定有，“”是“”的充分条件，故正确选项为A.
4．答案：A
解析：设直线与圆的两个交点为A、B，圆心为C，，圆心到直线的距离为，，，，，两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比，等于，故正确选项为A.
5．答案：A
解析：在数列中，，当时，，.
，当时，，且，，也符合此式，.故选A.
6．答案：C
解析：
7．答案：B
解析：设椭圆的左焦点为,
则
求的最小值即求的最小值,圆的半径为圆心为
所以的最小值为
所以的最小值为
故选：B.
8．答案：D
解析：由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，
令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，，
，
则，即，故，
则有，
即，即，则，由，故.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：
10．答案：BCD
解析：因为抛物线（）的焦点F到准线的距离为2,所以,
所以抛物线方程为,则焦点,准线为,故A错误;
若,则,所以,所以,故B正确;
可设,,
直线AB的方程为,与抛物线联立,
消去x,可得,
可得,,
由抛物线的定义可得,
即,即,
解得,则直线的斜率为,故C正确;
对于D,若x轴平分,则,又轴,
所以,所以,
所以,即,所以,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：
12．答案：-1
解析：
13．答案：56
解析：下图所示
则需满足 ,解得该数列的第6项为 56 .
故答案为: 56
14．答案：
解析：
15．答案：（1）
（2）单调增区间为 ,,单调减区间为
极大值为,极小值为0.
解析：
16．答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得,
,,,,.
证明：易得,,于是,
.
（2）,设平面的法向量,
则,即,
消去x,得,不妨令,可得一个法向量为.
由(1),,又,可得平面,
故为平面的一个法向量.
于是,
从而,故二面角的正弦值为
（3）,.
设,,有.
可取为平面的一个法向量.
设为直线AM与平面所成的角,则
.于是,
解得λ＝(舍去),
.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）,且,,解得.
（2）由,可得,①.②
由①-②得,,,
,即,
即.又,数列是首项为,公差为1的等差数列,
.
（3）由（2）可得,,,
,又也满足上式,
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,把代入,
解得,所以C的方程为;
（2）由（1）知：,,
①当l斜率不存在时,易知;
②当l斜率存在时,设,,,
由,得,显然,
所以,,
因为,,
所以,
因为,
所以.
又,
设,则,,解得且,
所以,因为,可得的取值范围为.
19．答案：（1）当时,在单调递增
当时,在单调递减,在单调递增,
在单调递减当时,在单调递减
（2）见解析
解析：（1）的定义域是,
,
令,
当时,,
,在单调递增
当时,
若,即时,,
,在单调递减若,
即时,令,
解得 ,
易得在单调递减,在单调递增,在单调递减
综上所述:当时,在单调递增
当时,在单调递减,在单调递增,
在单调递减当时,在单调递减.
（2）由题易得,
令,有在为增函数,
原式等价于,即,
即,令,
由(1)知时,在为减函数,,
,.