浙江省杭州市余杭高级中学等4校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省杭州市余杭高级中学等4校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在空间直角坐标系中,点M的坐标是,则点M关于y轴的对称点坐标为( )
A.B.C.D.
2．观察数组,,,,,…,根据规律,可得第8个数组为( )
A.B.C.D.
3．若曲线在点处的切线与直线垂直,则实数( ).
A.B.1C.D.2
4．已知数列满足,,则其前9项和等于( )
A.150B.180C.300D.360
5．若函数在处有极大值,则实数a的值为( )
A.1B.或C.D.
6．将,边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成二面角,B转到,若,则折后两条对角线AC,之间的距离的最小值为( ).
A.B.C.D.
7．已知椭圆的左右焦点分别为,,P为椭圆上异于长轴端点的动点,G,I分别为的重心和内心,则( )
A.B.C.D.2
8．已知和分别是函数的两个极值点,且,则实数a的值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
10．如图所示,在棱长为的正方体中,则下列命题中正确的是( )
A.若点P在侧面所在的平面上运动,它到直线AD的距离与到直线的距离之比为2,则动点P的轨迹是圆
B.若点P在侧面所在的平面上运动,它到直线AD的距离与到面的距离之比为2,则动点P的轨迹是椭圆
C.若点P在侧面所在的平面上运动,它到直线AD的距离与到直线的距离相等,则动点P的轨迹是抛物线
D.若点P是线段的中点,M,N分别是直线,CD上的动点,则的最小值是
11．已知等比数列的公比为,前n项积为,若,则( )
A.B.C.D.
12．已知函数,,则下列说法正确的是( )
A.在上是增函数
B.,不等式恒成立,则正实数a的最小值为
C.若有两个零点,,则
D.若,且,则的最大值为
三、填空题
13．在数列中,已知,,则的通项公式为______.
14．在棱长为3的正方体中,P为内一点,若的面积为,则AP的最大值为________.
15．已知函数的导函数满足:,且,则不等式的解集为________.
16．双曲线的左,右焦点分别为,,O为坐标原点,以为直径的圆O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P,Q,点B为圆O与y轴正半轴的交点,若,则双曲线C的离心率为________.
四、解答题
17．圆C经过点,和直线相切,且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程;
（2）求圆C在y轴截得的弦长.
18．据《九章算术》中记载:将军要在A营地到骑马到河边的B营地,两营地之间相距50千米.已知马没有在河边补充水分时,速度为10km/h;在河边喝完水,速度为20km/h.如图所示,A营地离河边距离为,河所在的直线为BC,忽略马在河边喝水的时间.
（1）将军先骑马到河边的C处,再赶到B营地,一共要花多少时间;
（2）将军赶到B营地所花的最少时间为多少.
19．在四棱锥中,底面ABCD为正方形,平面CDP,.
（1）求证:平面平面ADP;
（2）若Q是DP中点,求直线BP与平面BCQ所成角的正弦值.
20．数列满足:,,是以4为公差的等差数列;数列的前n项和为,且,.
（1）求数列,的通项公式;
（2）若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
21．椭圆的上顶点为P,圆在椭圆E内.
（1）求r的取值范围;
（2）过点P作圆C的两条切线,切点为A,B,切线PA与椭圆E的另一个交点为N,切线PB与椭圆E的另一个交点为M.直线AB与y轴交于点,直线与y轴交于点T.求的最大值,并计算出此时圆C的半径r.
22．函数,.
（1）当时,求的单调区间;
（2）对任意,都有,使得成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：在空间直角坐标系中,点关于y轴的对称点的坐标为:,
点关于y轴的对称点的坐标为:.
2．答案：C
解析：由题可知数组的第一个数成等差数列,且首项为2,公差为1;
数组的第二个数成等比数列,且首项为2,公比为2.
因此第8个数组为,即.
故选:C.
3．答案：C
解析：因为,
所以曲线在点处的切线的斜率为,直线l的斜率,
由切线与直线l垂直知,即,解得.
故选:C.
4．答案：B
解析:因为 QUOTE 2an=an-1+an+1(n⩾2) Errr! Digit expected.,所以 QUOTE an-an-1=an+1-an(n⩾2) an-an-1=an+1-an(n⩾2),所以数列 QUOTE an an是等差数列,设其公差为d,由已知得,所以 QUOTE a1+4d=20 a1+4d=20,所以.
5．答案：D
解析：函数,,
函数在处有极大值,可得,解得或,
当时,,时,时,
在上单调递减,在上单调递增,在处有极小值,不合题意.
当时,,时,时,
在上单调递增,在上单调递减,在处有极大值,符合题意.
综上可得,.
故选:D
6．答案：B
解析：依题意作图,设菱形的对角线交点为O,
由菱形的性质可知,,
即,,平面,并且,
,是以O为顶点的等腰三角形,取的中点G,
则有,,
,,OG是AC与的公垂线,
在中,,在中,,
,,
OG的最小值为;
故选:B.
7．答案：B
解析：由椭圆可得,,,
如图,设的内切圆与三边分别相切与A,B,C,
G,I分别为的重心和内心,
则,,,
所以,
所以
,
故选:B
8．答案：C
解析：定义域为R,,
要想函数有两个极值点,
则要有两个零点,且在零点两侧,单调性相反,
令,得,
令,定义域为R,
则,当时,,当,,
故上单调递增,在上单调递减,
故在取得极大值,也是最大值,,
且当时,恒成立,当时,恒成立,
画出图象如下:
故,即,
其中,因为,所以,
故,解得:,
故,满足要求.
故选:C
9．答案：BC
解析：对于A,,故A错误,
对于B,,故B正确,
对于C,,故C正确,
对于D,,故D错误,
故选:BC
10．答案：ACD
解析：对于选项A,建立如图所示的直角坐标系,则,,设,因为平面,所以,所以点P到直线AD的距离就是AP,同理点P到直线的距离就是.所以,所以,所以,它表示圆,所以该选项正确;
对于选项B,过点P作,垂足为E,因为平面平面,则点P到平面的距离就是PE.所以,因为,所以,
,所以动点P的轨迹是双曲线,所以该选项错误;
对于选项C,点P到直线的距离就是.所以,所以,所以动点P的轨迹是抛物线,所以该选项正确;
对于选项D,对任意的点M,固定点M时,过点M作平面ABCD,垂足为F,连接FN,当时,最小,此时平面MNF,所以,由于,,.所以,所以.如下图,把平面翻起来,使之和平面在同一个平面,当时,最小,此时.故该选项正确.
故选:ACD
11．答案：AC
解析：因为数列等比数列的公比为且,则,
所以,,,
又因为,则,所以,,从而,
故对任意的,,由可得,A对B错;
,,即,C对D错.
故选:AC.
12．答案：ABD
解析：对于A,当时,,令,则,,
,当时,恒成立,在上单调递增;
在上单调递增,
根据复合函数单调性可知:在上为增函数,A正确;
对于B,当时,,又a为正实数,,
,当时,恒成立,在上单调递增,
则由得:,即,
令,则,
当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,,
,则正实数a的最小值为,B正确;
对于C,,当时,;当时,;
在上单调递减,在上单调递增;,则;
不妨设,则必有,
若,则,等价于,
又,则等价于;
令,则,
,,,,即,
在上单调递增,,即,
,可知不成立,C错误;
对于D,由,得:,即,
由C知:在上单调递减,在上单调递增;
,,则,,
,即,;
令,则,
当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,,
即的最大值为,D正确.
故选:ABD.
13．答案：
解析：由,
两边取倒数得,
即,
又因为,
所以是首项为,公差为3的等差数列,
所以,
故,
故答案为:
14．答案：
解析：
15．答案：
解析：设,则,所以（为常数）,则,且,则,所以,
所以,即不等式为,即
所以或(舍),当时,即,即,所以不等式的解集为.
故答案为:
16．答案：
解析：画出图形,如图所示,由题意得双曲线在一,三象限的渐近线方程为,
以为直径的圆O的方程为,
由,解得,故点Q的坐标为,
由,解得,故点P的坐标为,
因为,所以,所以,
整理可得,所以,则,因为,所以,
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）2
解析：（1）设圆心的坐标为,
则.
化简得,解得,
所以C点坐标为,
半径,
故圆C的方程为.
（2）圆心到y轴的距离为1,
所以圆C在y轴截得的弦长为.
18．答案：（1）5h
（2）
解析：（1）由题意可得,在中,,,则,所以从A营地经过C地到B营地,需要的时间为小时,所以将军先骑马到河边的C处,再赶到B营地,一共要花5小时.
（2）设将军在距离点C的P处饮马,且,,则,,则,;
则,令,解得,
所以时,,单调递减;
时,,单调递增;
所以当时,取得极小值,也是最小值,
所以,
所以将军赶到B营地所花的最少时间是小时.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为平面CDP,平面CDP,所以,
因为底面ABCD为正方形,所以,
又,AP,平面,所以平面ADP,
又平面ABCD,所以平面平面ADP.
（2）将题干图形调整一下位置,记AD的中点为E,BC的中点为F,连接PE,EF,如图,
因为,E是AD的中点,所以,
又由（1）知平面ADP,平面ADP,所以,
又,AD,平面ABCD,所以平面ABCD,
又是的中点,底面ABCD为正方形,所以,
故以E为原点,ED,FE,PE为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
因为平面CDP,平面CDP,所以,
不妨设,则在中,,
则,,,,
因为Q是DP中点,则,
故,,,
设平面BCQ的一个法向量为,则,
取,则,,故,
记直线BP与平面BCQ所成角为,则,
所以,
故直线BP与平面BCQ所成角的正弦值为.
20．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由已知,
所以,数列是以为首项,公差为4的等差数列,
所以,,
当时,则有
,
也满足,
故对任意的,,
当时,,
当时,由可得,
上述两个等式作差可得,可得,
又因为,所以,数列是以2为首项,以为公比的等比数列,
因此,.
（2）由可得,可得,
令,则,
当时,,即;
当且时,,则,
即,
所以,数列中的最大项为,故.
因此,实数的取值范围是.
21．答案：（1）
（2）,
解析：（1）因为椭圆,圆在椭圆E内,
联立,消得到,
所以,解得,所以,
（2）由题知,切线PA,PB的斜率均存在,不妨设过P与圆C相切的直线方程为,
所以,整理得到,
易知切线有两条,故,即且,
又由（1）知,所以,
不妨设切线PA,PB的斜率分别为,,则由韦达定理知,,,
由,消y,得到,
所以,,故,
同理可得,则
,
所以直线MN的方程为,
令,得到,整理得到,
又,所以,所以,
又因为,,所以,以为圆心,PA为半径的圆的方程为,
又圆,两方程相减得,
因为AB是两圆的公共弦,故直线AB方程为,
令得到,所以,
所以,令,
则,
又,当且仅当,即时取等号,
由,得到,所以,
又,所以,
故最大值为,此时圆C的半径为.
22．答案：（1）递减区间是,递增区间是;
（2）.
解析：（1）当时,函数的定义域为,求导得,
由,得,由,得,
所以函数的递减区间是,递增区间是.
（2）函数的定义域为,
令,求导得,当时,,当时,,
因此函数在上递减,在上递增,当时,,即,
,当且仅当时取等号,
令,则函数在上单调递增,,,即存在,,
从而函数,由,得,
当时,,
当时,,,而当时,函数的取值集合为,
因此函数的值域是,
当时,,显然,
当,即时,,函数在上单调递增,则,
因此函数在上的值域为,
因为对任意,都有,使得成立,则函数在上的值域包含于函数的值域,
于是,即,解得,因此;
当,即时,,函数在上单调递减,则,
因此函数在上的值域为,则,
即,解得,矛盾;
当时,由,得,当时,,当时,,
则函数在上单调递减,在上单调递增,,
依题意,,整理得,解得,因此,
综上得
所以a的取值范围是.