辽宁省营口市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】A、当时，故本选项错误，不符合题意；
B、由原方程化简得到，不是一元二次方程，不符合题意；
C、未知数最高次数是3，故本选项错误，不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，符合题意；
故选：D．
2. 若关于x的一元⼆次⽅程(k﹣5)﹣2x＋2＝0有实数根，则整数k的最⼤值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，再结合k为整数即可找出最大的k值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：k≤且k≠5．
∵k为整数，
∴k的最大值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
3. 已知二次函数（k为常数）的图像与x轴的一个交点是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式求得对称轴为，根据对称性求得另一个交点为，即可求解．
【详解】解：∵二次函数（k为常数）的图像与x轴的一个交点是，对称轴为，
∴另一个交点为，
∴关于x的一元二次方程的两个实数根是，，
故选C．
【点睛】本题考查了根据抛物线与坐标轴的交点求一元二次方程的解，根据对称性求得另一交点的坐标是解题的关键．
4. 已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是方程的两个实数根，则此菱形的面积为( )
A. 18B. 30C. 36D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】先利用因式分解法解方程得到AC和BD的长，然后根据菱形的面积公式求解．
【详解】解：，
（x-9）（x-4）=0，
∴x-9=0或x-4=0，
∴，
即菱形ABCD的对角线AC，BD的长度为9和4，
∴此菱形的面积=×9×4=18．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了菱形的性质．
5. 华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的平均百分比是（ ）
A. 10%B. 20%C. 15%D. 25%
【答案】B
【解析】
【分析】根据增长率公式计算即可．
【详解】设平均降低率为x，起始价格为m元，根据题意，得
，
解得x=0.2或x=1.8(舍去)，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，熟练掌握增长率计算公式是解题的关键．
6. 设点是抛物线（a、b是常数）的图象上三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性和增减性即可进行解答．
【详解】解：∵（是常数），
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
而点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
7. 将抛物线平移得到抛物线，这个平移过程是（ ）
A. 向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B. 向左平移1个单位，再向下平移4个单位
C. 向右平移1个单位，再向下平移4个单位
D. 向右平移1个单位，再向上平移4个单位
【答案】A
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，
得到抛物线，即，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∵次函数的图象经过一、三、四象限，
∴，，
对于二次函数的图象，
∵，开口向上，排除A、B选项；
∵，，
∴对称轴，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键．
9. 若是关于x的方程的两个实数根，则实数的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用a是关于x的一元二次方程的根得到，进而判断出，同理判断出，即可得出结论．
【详解】解：是关于x的一元二次方程的根，
，
，
，
，
同理：，
，
,
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出是解题的关键．
10. 二次函数（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的局部对应值如表；
以下结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③当x＝2时，y＝5；④3是方程的一个根．其中正确的结论有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先根据待定系数法求出二次函数解析式，再根据解析式与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
∴，
解得，
∴，
∴＜0，故①正确；
对称轴为直线x=，
所以，当x＞时，y值随x值的增大而减小，故②错误；
当x=2时，；故③正确．
方程为，
整理得，，
解得，
所以，3是方程的一个根，正确，故④正确．
综上所述，结论正确的是①③④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分共18分）
11. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得且，解即可求得．
【详解】解：根据题意可得：且，
解得且，
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键．
12. 已知二次函数的部分图象如图所示，当时，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由函数图象可知抛物线过点，然后根据抛物线的对称性，求得与x轴的另一交点坐标，然后根据函数图象即可解答．
【详解】∵二次函数，开口向下，对称轴为直线，
与轴交于点，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点为，
由函数图象可得的的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与性质，明确题意并掌握数形结合的思想是解答本题的关键．
13. 一个直角三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，则这个直角三角形的第三边长为_____．
【答案】或4
【解析】
【分析】先求出原方程的解，然后分原方程的两个解的是两条直角边时以及原方程的两个解的是一条直角边和斜边时，分别利用勾股定理进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵直角三角形的两边长恰好是方程x2﹣8x+15＝0的两个根，
x2﹣8x+15＝0，
，
∴，，
∴直角三角形的两边是3，5，
当原方程的两个解的是两条直角边时，根据勾股定理得其斜边为＝；
当原方程的两个解的是一条直角边和斜边时，斜边一定是5，根据勾股定理得其另一条直角边为＝4．
故答案为：或4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，勾股定理等知识点，本题容易直接根据勾股数得出直角三角形的第三条边为4而忽略原方程的两个解的是两条直角边的情况．
14. 已知二次函数，当时，函数有最大值，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，然后再根据当时，函数有最大值，即可得到关于的方程，然后求解即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数图像对称轴是直线，
当时，当时，该函数取到最大值，
∵当时，函数有最大值，
∴，
解得：（不合题意，舍去）；
当时，当时，该函数取到最小值，
当时，
当时，，
当时，，
根据二次函数对称的性质可知：当时，函数有最大值，
又∵当时，函数有最大值，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，本题采用了分类讨论的思想方法．解答的关键是明确题意，得到关于的方程．
15. 如图，点E，F分别在正方形ABCD边BC，CD上，且∠EAF=45°，
（1）线段BE，EF，DF之间的关系是____________
（2）若正方形的边长为4，DF=2BE，则EF=______________
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】（1）延长到M，使，证明，得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可求解．
（2）设，则，由（1）得，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）延长到M，使，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴设，则，
由（1）得，
在中，，
∴，
解得（舍去），．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
16. 下列关于二次函数（k为常数）的结论：
①该函数的图象与x轴总有两个公共点；
②无论k为何值，该函数的图象必经过一个定点；
③若，为此抛物线图象上两点，当时，；
④该函数图象的顶点一定不在直线的下方．
其中正确的结论是______．（填写正确结论的序号）
【答案】
【解析】
【分析】根据可以判断；把抛物线解析式化为，可以判断；根据该抛物线的对称轴为，开口向下，可以判断；求出抛物线的顶点的纵坐标，可以判断．
【详解】解：∵，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点，故正确；
∵，
∴当时，，
∴无论k为何值，该函数的图象必经过一个定点，故正确；
∵该抛物线的对称轴为，
又∵，
∴当时，，故正确；
∵当时，，
∴该函数图象的顶点为，
∵，
∴，
∴该函数图象的顶点一定不在直线的下方，故正确，
综上所述：正确的结论为．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解本题的关键是要明确：对于二次函数来说，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．④抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴无交点．
三、解答题（本大题共9道题，满分102分）（17题8分，18-20每题10分，21-23每题12分，24-25每题14分）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法，化为2x-1=-3或2x-1=3即可求解；
（2）利用公式法，先确定a=2，b=−4，c=-1，再求判别式的值，然后代入公式计算即可．
【小问1详解】
解：
2x-1=-3或2x-1=3
2x=-2或2x=4，
，；
【小问2详解】

∵a=2，b=−4，c=-1 ，

∴，
即，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法和配方法是解题的关键．
18. 关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程有一根大于6，求的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据判别式即可得；
（2）由求根公式得出，由方程有一个根大于6知，解之可得．
【小问1详解】
证明：∵，，，
依题意，得
∵，
∴方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：由求根公式，得，
∴，
∵方程有一个根大于6，
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
19. 如图，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．
（1）几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；
（2）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．
【答案】（1）1秒后四边形APQC的面积是19平方厘米
（2）时，取最小值为15平方厘米
【解析】
【分析】（1）由可得与的函数关系式，令求解．
（2）将与的函数关系式化为顶点式求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
，
令，
解得或（不符合题意，舍去）．
秒后四边形的面积是19平方厘米．
【小问2详解】
解：由（1）得，
时，取最小值为15平方厘米．
【点睛】本题考查图形的动点问题，解题关键是掌握求二次函数最值的方法，由题干列出与的关系式．
20. 二次函数（a≠0）与一次函数y＝x+k（k≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）写出不等式的解集；
（3）写出二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程有两个不等的实数根，求m的取值范围；
【答案】（1），
（2）−3＜x＜−0.5
（3）x＜−2 （4）m＞−2
【解析】
【分析】（1）观察二次函数的图象与x轴的交点即可求解；
（2）观察二次函数的图象与一次函数的图象的交点即可求解；
（3）观察二次函数的图象的对称轴左边部分的变化即可求解；
（4）观察二次函数的图象与直线y=m的交点即可求解．
小问1详解】
解：从图象看，二次函数的图象与x轴的交点坐标为（-3，0）和（-1，0），
∴方程的两个根为，；
【小问2详解】
解：从图象看，二次函数的图象与一次函数y＝x+k的图象的交点坐标为（-3，0）和（-0.5，2.5），并且，当−3＜x＜−0.5时，二次函数的图象位于一次函数y＝x+k的图象的下方，
∴不等式即的解集为−3＜x＜−0.5；
【小问3详解】
解：从图象看，二次函数的开口向上，对称轴为直线x＝-2，当x＜−2时，y随x的增大而减小，
∴二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为x＜-2；
【小问4详解】
解：设y＝m，从图象看，二次函数的图象开口向上，当x＝-2时，y有最小值-2，
∴当m＞−2时，y＝m与有两个交点，
故当m＞-2时，方程有两个不等的实数根．
【点睛】本题考查的是与二次函数有关的综合题，涉及抛物线与x轴的交点、抛物线与直线的交点、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系以及函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征，利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
21. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
（3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y与x的函数关系式为y=10x＋200；
（2）当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大.
（3）降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
【解析】
【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．
【小问1详解】
解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)，
由图可知其函数图象经过点（0 200）和（10 , 300），
将其代入y=kx+b 得
解得
∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200；
【小问2详解】
解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910，
整理得 x2－20x＋91＝0，
解得：x1＝7, x2＝13；
当x＝7时，售价为100－7＝93（元），
当x＝13时，售价为100－13＝87（元），
∵优惠力度最大，
∴取x＝13，
答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；
【小问3详解】
解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，
∴100－60－x ≥ 60×50%,
解得：x≤10；
依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000，
整理得 x2－20x＋100＝0，
解得：x1＝x2＝10；
∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．
22. 为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米．
（1）若设米，则可表示为 ；
（2）问所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，说明理由；
（3）检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，问现有的33米隔离带，能否围出147平方米的面积？如果能，请说明理由；如果不能，请求出能围出的最大面积是多少？
【答案】（1）米
（2）能，长为4米或8米
（3）不可能围出147平方米的面积，能围出的最大面积是108平方米
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用；
（1）根据隔离带总长为33米，通道宽均为1米，结合图形列式即可；
（2）根据矩形的面积公式列式，解方程即可；
（3）首先表示出矩形的面积，然后根据二次函数求最值的方法求出能围出的最大面积即可．
【小问1详解】
解：设米，
根据题意得：，
∴
故答案为：米；
【小问2详解】
能；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：的长为4米或8米；
【小问3详解】
根据题意得：矩形的面积，
当时，矩形的面积有最大值，最大值，
∴不可能围出147平方米的面积，能围出的最大面积是108平方米．
23. 某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量（件）与销售时间（天）之间的关系式是 ，销售单价（元/件）与销售时间（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为_________件；
（2）当时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
【答案】（1）30 （2）2100元
（3）9天
【解析】
【分析】（1）将直接代入表达式即可求出销售量；
（2）设销售额为元，分类讨论，当时，由图可知，销售单价；当时，有图可知，p是x的一次函数，用待定系数法求出p的表达式；分别列出函数表达式，在自变量取值范围内求取最大值即可；
（3）分类讨论，当和时列出不等式，解不等式，即可得出结果．
【小问1详解】
解：当时，销售量；
故答案为30；
【小问2详解】
设销售额为元，
①当时，由图可知，销售单价，
此时销售额
∵，
∴随的增大而增大
当时，取最大值
此时
②当时，有图可知，p是x的一次函数，且过点（20，40）、（40，30）
设销售单价，
将（20，40）、（40，30）代入得：
解得
∴
∴
∵，
∴当时，随的增大而增大
当时，取最大值
此时
∵
∴的最大值为2100，
∴当时，日销售额的最大值为2100元；
【小问3详解】
当时，
解得
∴
当，
解得
∴
∴，共9天
∴日销售量不低于48件的时间段有9天．
【点睛】本题考查一元一次方程、一次函数、一元一次不等式、二次函数，是初中数学应用题的综合题型，解题的关键在于利用题目中的等量关系、不等关系列出方程、不等式，求出函数表达式，其中自变量取值范围是易错点、难点．
24. （1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；
（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；
（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．
【答案】数学理解：（1）AB＝（AF+BE）,理由见解析；问题解决：（2）∠ADB＝135°；联系拓广：（3）MN2＝AM2+NB2，
【解析】
【分析】数学理解：
（1）由等腰直角三角形的性质可得AC=BC，∠A=∠B=45°，AB＝AC，由正方形的性质可得DE=DF=CE，∠DFC=∠DEC=90°，可求AF=DF=CE，即可得AB＝（AF+BE）；
问题解决：
（2）延长AC，使FM=BE，通过证明△DFM≌△DEB，可得DM=DB，通过△ADM≌△ADB，可得∠DAC=∠DAB=∠CAB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，由三角形内角和定理可求∠ADB的度数；
联系拓广：
（3）由正方形性质可得DE∥AC，DF∥BC，由平行线的性质可得∠DAB=∠ADM，∠NDB=∠ABD，可得AM=MD，DN=NB，即可求MN，AM，BN的数量关系．
【详解】数学理解：
（1）AB＝（AF+BE）
理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形
∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC
∵四边形DECF是正方形
∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90°
∴∠A＝∠ADF＝45°
∴AF＝DF＝CE
∴AF+BE＝BC＝AC
∴AB＝（AF+BE）
问题解决：
（2）如图②，延长AC，使FM＝BE，连接DM，
∵四边形DECF是正方形
∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°
∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED
∴△DFM≌△DEB（SAS）
∴DM＝DB
∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE，
∴AM＝AB，且DM＝DB，AD＝AD
∴△ADM≌△ADB（SSS）
∴∠DAC＝∠DAB＝∠CAB
同理可得：∠ABD＝∠CBD＝∠ABC
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°
∴∠DAB+∠ABD＝（∠CAB+∠CBA）＝45°
∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝135°
联系拓广：
（3）∵四边形DECF是正方形
∴DE∥AC，DF∥BC
∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90°
∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD
∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD
∴AM＝MD，DN＝NB
在Rt∠DMN中，MN2＝MD2+DN2，
∴MN2＝AM2+NB2.
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25. 抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线经过B，C两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．
（3）如图②，P为直线上方的抛物线上一点，轴交于D点，过点D作于E点．设，求m的最大值．
【答案】（1）
（2）点N坐标为或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用直线经过、两点，先求出点、的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）求出点A坐标，然后分为平行四边形的边和对角线讨论，即可得出答案；
（3）根据表达式，设出点坐标，，用含的代数式分别表达出线段、，转化成关于的二次函数，再求的最大值即可．
【小问1详解】
解：在直线中，当时，；
当时，即，
解得：；
，，
点，在抛物线上，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
当时，即，
解得：，，
∴，
设点，点，
①当为平行四边形的边时，和为对角线，
∴，
解得：，
∴；
②当为平行四边形的边时，和为对角线，
∴，
解得：
∴，
综上：点N的坐标为：或；
【小问3详解】
如图1，连接，延长交轴于，
轴，
轴，

设，，
，
，且，，，
，
，
，
∵，
∴，
当时，有最大值是．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象和性质，正确分类讨论是解题的关键．
x
－1
0
1
3
y
－1
3
5
3