四川省广元市利州区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷 选择题 （共30分）
一、单选题（下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行判断即可．
【详解】A、是一元一次方程，没有二次项，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、，含有两个未知数，是二元一次方程，不符合题意；
D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
3. 已知粉笔盒里有8支红色粉笔和n支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，若取出红色粉笔概率是，则n的值为（ ）
A. 12B. 13C. 14D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】用红色粉笔除以求出粉笔的总数量，即可求解．
【详解】解：根据题意得：粉笔总数量为，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
4. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，，点P是线段AB延长线上的一点，连结PC，则的度数不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用圆周角定理得出∠APC的取值范围，即可求解答．
【详解】如图，连接BC，
根据圆周角定理可知，∠ABC=∠AOC=，
∵∠APC+∠PCB=∠ABC=30°，
∴∠APC＜30°，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，根据题意得出∠ABC的值是解答本题的关键．
5. 将方程化为的形式，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】利用完全平方公式整理后，即可求出与的值．
【详解】解：方程，
变形得：，
配方得：，即，
则，，
故，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6. 已知，点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，则⊙O的半径为（ ）
A. 2B. 2．5C. 3D. 2或3
【答案】D
【解析】
【分析】根据点A与⊙O上的点的最小距离是2cm，最大距离是5 cm，分两种情况：点A在圆外；点A在圆内，分别解答即可得到结论．
【详解】解：∵点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，
∴当点A在圆外时，⊙O半径=，
当点A在圆内时，⊙O的半径=，
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．分情况解答是关键．
7. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b在数轴上的对应点如图所示，那么这个方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根；D. 只有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】由数轴可知：，，然后计算根的判别式的值即可得出答案．
【详解】由数轴可知：，
∴；
∴方程有两个不相等的实数根
故选：A
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题．
8. 下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下
B. 抛物线 的对称轴为直线
C. 抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小
D. 抛物线 的顶点坐标为
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和题目中函数的解析式，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】A. 当时，抛物线的开口向下，A选项错误；
B.抛物线 的对称轴为直线，B选项错误；
C.抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小，C选项正确；
D.抛物线 的顶点坐标为，D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟记二次函数的性质．
9. 从盛满升纯药液的容器中，倒出升药液后，用水加满；混合后，第二次又倒出升的混合药液，再用水加满，此时容器内的药液浓度为，则根据题意所得的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设每次倒出液体x 升，则第一次倒出后容器内剩下纯药液升，加满水后药液的浓度为，利用第二次倒出后容器内剩下纯药液的数量=第二次倒出后容器内剩下药液的数量×此时药液的浓度，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每次倒出液体x升，则第一次倒出后容器内剩下纯药液升，
加满水后药液的浓度为，
依题意得： 即．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数各项系数与图像的关系，逐个判断即可．
【详解】解∶∵对称轴
∴，2a+b=0；故②正确；
∴a、b异号，
∴ab＜0，故①正确；
∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误；
根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故④正确．
如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
第II卷 非选择题 （共120分）
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 清明时节雨纷纷，这是__________事件．（选填“必然”、“随机”和“不可能”）
【答案】随机
【解析】
【分析】本题考查随机事件，解题的关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：清明时节雨纷纷，这是随机事件．
故答案为：随机．
12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．利用关于原点对称的点的特点建立方程，据此求解即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：6．
13. 将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移个单位，所得新抛物线经过点．新抛物线表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数平移的性质得出平移后解析式，进而将点代入求解即可．
【详解】解：由题意可得新抛物线表达式为：
将代入得，
解得或3，
∵，
∴，
∴新抛物线的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确利用二次函数平移的性质得出解析式是解题关键．
14. 在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式即可得出∠ABC，∠BCD的度数，再根据等腰三角形的性质证明，设 则则 从而可得答案．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD=∠ABC= （6-2）×180°=120°，AB=BC=CD，
∴∠BAC=∠ACB=∠CBD=∠CDB=（180°-120°）=30°，
∠ABM =90°，
设 则


故答案为2．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、多边形的内角与外角以及等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键．
15. 如图，在扇形OAB中，，，以点A为圆心，AO长为半径圆弧，交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积是_________．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，根据题意得到为等边三角形，，分别求出扇形的面积、的面积、扇形的面积，计算即可．
【详解】解：连接、．
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：，
【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用割补法的思想进行求阴影部分面积．
16. 如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 _____cm．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得cm，则当点D沿DA方向下滑时，得到，过点作于点N，作于点M，然后可得，进而可知点D沿DA方向下滑时，点C′在射线AC上运动，最后问题可求解．
【详解】解：由题意得：∠DEC=45°，DE＝12cm，
∴cm，
如图，当点D沿DA方向下滑时，得到，过点作于点N，作于点M，
∵∠DAM=90°，
∴四边形NAMC′是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴平分∠NAM，
即点D沿DA方向下滑时，点C′在射线AC上运动，
∴当时，此时四边形是正方形，CC′的值最大，最大值为，
∴当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程.共96分）
17. 选择适当的方法解方程；
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，
（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出的值，再代入公式求解即可；
解题的关键是掌握解一元二次方程的几种方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，并能根据情况选择适当的方法解方程．
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
∴，；
【小问2详解】
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
18. 先化简、再求值：，其中．
【答案】；当时，原式
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据求出的值，再将合适的的值代入原式进行计算即可．熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
∴
∴或，
∴，，
∵，，
∴当时，原式．
19. 如图，点O，B的坐标分别是（0，0），（3，0）．将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1．
（1）画出平面直角坐标系和三角形△OA1B1；
（2）求旋转过程中点B走过的路径的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据点O的坐标确定直角坐标系，根据旋转的性质确定点A1、B1，顺次连线即可得到△OA1B1；
（2）利用弧长公式计算即可．
【详解】解：（1）如图，△OA1B1即为所求三角形；
（2）旋转过程中点B走过的路径的长=．
【点睛】此题考查了旋转作图，弧长的计算公式，正确掌握旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键．
20. 已知抛物线经过点，顶点为点B．
（1）求抛物线的表达式及顶点B的坐标；
（2）将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，平移后抛物线顶点记为C点，求．
【答案】（1），
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先根据二次函数图象平移的规律求出点C的坐标，再利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明，最后根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线顶点B的坐标为；
【小问2详解】
解：∵将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，平移后抛物线顶点记为C点，
∴点C的坐标为，
∴,,，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，二次函数图象的平移，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
21. 如图，一条宽的河上架有一半径为的圆弧形拱桥， 请问：一顶部宽为且高出水面的船能否通过此桥？请说明理由．

【答案】轮船能通过此桥，理由见详解
【解析】
【分析】此题主要考查垂径定理的应用．根据题意画出图像，利用垂径定理和勾股定理求出的长，与船顶部宽比较，即可得到结论．
【详解】解：根据题意画出图形，如图，，，过O作的垂线，交于E，交于F，

∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴轮船能通过此桥．
22. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）．
（1）方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）设为方程的两个实数根，若是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的对角线长为；试求k的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）由根的判别式得到关于k的一元一次不等式，通过解不等式求得k的取值范围；
（2）设方程的两根为，依题意，又根据根与系数的关系可以得到，而，利用等式变形，解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，
∴；
【小问2详解】
解：设方程的两根为，
依题意，
∵，
∴，
整理得：，
∴或，
由（1）知，
∴．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式是非负数确定k的取值范围，然后利用根与系数的关系确定k的值．
23. 为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：时）划分为A：，B：，C：，D：四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取_____________人，条形统计图中的_____________；
（2）在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？
（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）100；42
（2）72°；条形统计图见解析
（3）910； （4）
【解析】
【分析】（1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用调查的总人数乘以C组人数所占的百分比得到m的值；
（2）用360°乘以B组人数所占的百分比得到B组所在扇形圆心角的度数，再计算出B组人数，然后补全条形统计图；
（3）用1300乘以样本中C组和D组的人数所占百分比的和即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
【小问1详解】
解：这次抽样调查的总人数为（人），
所以；
故答案为：100；42；
【小问2详解】
解：B组所在扇形圆心角的度数为；
B组人数为（人），
条形统计图补充完整为：
【小问3详解】
解：（人），
所以估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有910人；
【小问4详解】
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
24. 如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S.
（1）求养殖房的最大面积.
（2）该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪几种购买方案？
【答案】（1）108平方米
（2）5种购买方案.
【解析】
【分析】（1）根据矩形的面积列出函数解析式，再根据函数的性质求最大值；
（2）设买小鸡a只，小鹅b只，根据5a＋7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整数解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：
S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∵﹣3＜0，
∴当x＝6时，S有最大值，最大值为108，
∴养殖房的最大面积为108平方米；
【小问2详解】
设买小鸡a只，小鹅b只，
则5a+7b＝400，且a≥2b，
∴a＝＝80﹣≥2b，
则b≤，且b≥0，
又∵a，b都为非负整数，
∴b可为0，5，10，15，20，
此时a对应为80，73，66，59，52，
∴该养殖户共有5种购买方案：方案1：小鸡80只，小鹅0只；方案2：小鸡73只，小鹅5只；方案3：小鸡66只，小鹅10只；方案4：小鸡59只，小鹅15只；方案5：小鸡52只，小鹅20只．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据矩形的面积列出函数解析式．
25. 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以 的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的弧长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质得到，，得到，根据全等三角形的性质得到，得到，即可得证；
（2）证明是等边三角形，得出，，求出，由弧长公式可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
与相切；
【小问2详解】
解：由（1）知：，
又∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：．
【点睛】本题考查切线的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式等知识点．熟练掌握切线的判定是解题的关键．
26. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线对称轴上一点，求△PBC周长取得最小值时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3
（2）（﹣1，﹣2） （3）在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）
【解析】
【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）如图1，连接AC交对称轴于P，此时△PBC周长最小；
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．
【小问1详解】
由于抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）＝﹣3，
解得 a＝1，
则y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，
所以抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
【小问2详解】
如图1中，连接AC交对称轴于P，
∵PB＝PA，
∴PB+PC＝PB+PA，
∴此时PB+PC最短，△PBC的周长最短，
设直线AC解析式为y＝kx+b，则．
解得，
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y=−2，
∴点P坐标（﹣1，﹣2）．
【小问3详解】
在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．
理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），
∵A（﹣3，0），
∴AD2＝（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2＝20．
设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图2，
由勾股定理，得AM2+AD2＝DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20＝（0+1）2+（t+4）2，
解得t＝，
所以点M的坐标为（0，）；
②当D为直角顶点时，如图3，
由勾股定理，得DM2+AD2＝AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20＝（0+3）2+（t﹣0）2，
解得t＝﹣，
所以点M的坐标为（0，﹣）；
③当M为直角顶点时，如图4，
由勾股定理，得AM2+DM2＝AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2＝20，
解得t＝﹣1或﹣3，
所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键．小鹅
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小鸡
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73
66
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52