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高中人教版 (2019)3 动能和动能定理精品学案设计
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这是一份高中人教版 (2019)3 动能和动能定理精品学案设计，共9页。
一、动能和动能定理
如图所示，光滑水平面上质量为m的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2。试推导出力F对物体做功的表达式。
答案 W＝Fl＝F·eq \f(v22－v12,2a)＝F·eq \f(v22－v12,2\f(F,m))＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12。
1．动能
(1)动能的表达式Ek＝eq \f(1,2)mv2。其单位与功的单位相同，在国际单位制中为焦耳，符号为J。
(2)动能是标量，没有负值。
(3)动能是状态量，与物体的运动状态相对应。
(4)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度大小不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
2．动能定理
(1)力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
表达式：W＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12，也可写成W＝Ek2－Ek1。
(2)W与ΔEk的关系：合力做功是物体动能变化的原因。
①合力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的末动能大于初动能；
②合力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的末动能小于初动能。
(3)物体动能的改变可由合力做功来度量。
1．合外力对物体做功，物体的速度一定变化吗？物体的速度变化，合外力一定对物体做功吗？
答案 如果合外力对物体做功，物体动能发生变化，速度一定发生变化；而速度变化动能不一定变化，比如做匀速圆周运动的物体速度方向时刻变化，但所受合外力不做功，如果合外力对物体不做功，则动能不变。
2．动能定理是物体受恒力作用，并且做直线运动的情况下推导出来的，对于物体受变力作用、做曲线运动的情况，动能定理是否成立？
答案 成立。在物体受变力作用且做曲线运动时，可将运动过程分解成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的都是恒力，运动的轨迹为直线，同样可推导出动能定理的表达式。
(1)凡是运动的物体都具有动能。( √ )
(2)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同。( × )
(3)物体的动能不变，所受的合外力必定为零。( × )
(4)利用动能定理只能求速度大小不能求速度方向。( √ )
(5)如果物体受到几个力的作用，动能定理中的W表示这几个力的合力做的功。( √ )
例1 (2022·吕梁市测试)质量10 g、以0.80 km/s的速度飞行的子弹与质量62 kg、以10 m/s的速度奔跑的运动员相比( )
A．运动员的动能较大
B．子弹的动能较大
C．二者的动能一样大
D．无法比较它们的动能
答案 B
解析 子弹的动能Ek1＝eq \f(1,2)m1v12＝eq \f(1,2)×0.01×8002 J＝3 200 J，运动员的动能Ek2＝eq \f(1,2)m2v22＝eq \f(1,2)×62×102 J＝3 100 J，所以子弹的动能较大，故B正确。
二、动能定理的简单应用
如图所示，质量为m的物块从固定斜面顶端由静止滑下，已知斜面倾角为θ，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面高为h，重力加速度为g。
(1)物块在下滑过程中受哪些力的作用？各个力做的功分别为多少？
(2)物块的动能怎样变化？物块到达斜面底端时的速度为多大？
答案 (1)受重力、支持力、摩擦力；重力做功为WG＝mgh，支持力做功为WN＝0，摩擦力做功为Wf＝－μmgcs θ·eq \f(h,sin θ)＝－μmgeq \f(h,tan θ)。
(2)物块动能增大，由动能定理得WG＋WN＋Wf＝eq \f(1,2)mv2－0，得物块到达斜面底端的速度大小v＝eq \r(2gh－\f(2μgh,tan θ))。
应用动能定理解题的一般步骤：
例2 (2023·西安市铁一中学高一期末)一人用力踢质量为1 kg的足球，使球由静止以20 m/s的速度飞出，假定人踢球瞬间对球平均作用力大小是200 N，球在水平方向运动30 m停止。那么人对球所做的功为( )
A．20 J B．200 J C．300 J D．6 000 J
答案 B
解析 人对足球所做的功等于足球动能的增量，则W＝ΔEk＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)×1×202 J＝200 J。故选B。
例3 质量m＝6×103 kg的客机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l＝7.2×102 m时，达到起飞速度v＝60 m/s。
(1)起飞时飞机的动能是多少？
(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大？
(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为3.0×103 N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大？
答案 (1)1.08×107 J (2)1.5×104 N (3)9×102 m
解析 (1)飞机起飞时的动能Ek＝eq \f(1,2)mv2
代入数值解得Ek＝1.08×107 J。
(2)设飞机受到的牵引力为F，由题意知合外力为F，
由动能定理得Fl＝Ek－0，代入数值得F＝1.5×104 N。
(3)设飞机的滑行距离为l′，滑行过程中受到的平均阻力大小为Ff，则
由动能定理得(F－Ff)l′＝Ek－0
解得l′＝9×102 m。
例4 (2022·榆林市第十中学高一期中)如图，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m＝2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h＝0.5 m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s＝1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计。(g＝10 m/s2)
(1)求物块到达B点时的速度大小；
(2)求物块在A点的动能；
(3)若赋予物块向左的水平初速度，使其从C点恰好到达A点，求水平初速度大小(结果可带根号)。
答案 (1)4 m/s (2)6 J (3)eq \r(26) m/s
解析 (1)物块从B点到C点由动能定理可得
－μmgs＝0－eq \f(1,2)mvB2
解得vB＝4 m/s
(2)物块从A点到B点由动能定理可得mgh＝eq \f(1,2)mvB2－EkA
解得EkA＝6 J
(3)设初速度大小为v，从C点到A点由动能定理可得－μmgs－mgh＝0－eq \f(1,2)mv2
解得v＝eq \r(26) m/s。
动能定理的优越性
课时对点练
考点一 对动能和动能定理的理解
1．对动能的理解，下列说法正确的是( )
A．运动速度大的物体，动能一定大
B．动能像重力势能一样有正负
C．质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
答案 C
解析 因动能与物体的质量和速度有关，运动速度大的物体，动能不一定大，A错误；动能是标量，没有正负，B错误；质量一定的物体，动能变化，则速度的大小一定变化，所以速度一定变化，但速度变化时，如果只是方向改变而大小不变，则动能不变，比如做匀速圆周运动的物体，C正确；动能不变的物体，速度方向可能变化，故不一定处于平衡状态，D错误。
2．(多选)(2022·哈尔滨第三十二中高一期末)改变汽车的质量和速度，都可能使汽车的动能发生改变。在下列几种情况下，汽车的动能变化正确的是( )
A．质量不变，速度增大到原来的2倍，动能变为原来的2倍
B．速度不变，质量增大到原来的2倍，动能变为原来的2倍
C．质量减半，速度增大到原来的4倍，动能变为原来的8倍
D．速度减半，质量增大到原来的4倍，动能变为原来的8倍
答案 BC
3.如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，物体始终与电梯保持相对静止，则在这个过程中，下列说法或表达式正确的是( )
A．对物体，动能定理的表达式为WN＝eq \f(1,2)mv22，其中WN为支持力做的功
B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功
C．对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12
D．对电梯，其所受合力做功为eq \f(1,2)Mv22－eq \f(1,2)Mv12－mgH
答案 C
解析 物体受重力和支持力作用，根据动能定理得WN－mgH＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12，故选项C正确，A、B错误；对电梯，所受合力做功等于电梯动能的变化量，故选项D错误。
考点二 动能定理的简单应用
4．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉着它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s。如图所示，甲在光滑面上运动，乙在粗糙面上运动，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )
A．力F对甲物体做功多
B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C．甲物体获得的动能比乙大
D．甲、乙两个物体获得的动能相同
答案 BC
解析 由W＝Fs可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，C正确，D错误。
5．一个人站在阳台上，从阳台边缘以相同的速率v0分别把三个质量相同的球竖直上抛、竖直下抛、水平抛出，不计空气阻力，则三个球落地时的动能( )
A．上抛球最大 B．下抛球最大
C．平抛球最大 D．一样大
答案 D
解析 设阳台离地面的高度为h，根据动能定理得mgh＝Ek－eq \f(1,2)mv02，三个小球质量相同，初速度相同，高度相同，所以三个球落地时动能相同，D正确。
6．光滑水平面上有一物体，在水平恒力F作用下由静止开始运动，经过时间t1速度达到v，再经过时间t2，速度由v增大到2v，在t1和t2两段时间内，外力F对物体做功之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．3∶1 D．1∶4
答案 B
解析 根据动能定理得，第一段过程：W1＝eq \f(1,2)mv2，第二段过程：W2＝eq \f(1,2)m(2v)2－eq \f(1,2)mv2＝eq \f(3,2)mv2，解得W1∶W2＝1∶3，B正确。
7．人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为( )
A．－400 J B．－3 800 J
C．－50 000 J D．－4 200 J
答案 B
解析 下坡过程中运用动能定理得mgh＋Wf＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02，解得Wf＝－3 800 J，故选B。
8．(2023·金溪一中高一期中)如图，C919在水平跑道上滑跑试飞。当发动机提供2.1×105 N的牵引力时，C919滑跑1.6×103 m即可离地起飞。将滑跑过程视为初速度为零的匀加速直线运动，已知飞机的质量为7.0×104 kg，受到的阻力恒为其重力的十分之一，重力加速度g取10 m/s2，则C919起飞的速度约为( )
A．57 m/s B．80 m/s
C．89 m/s D．113 m/s
答案 B
解析 依题意，根据动能定理可得(F－Ff)l＝eq \f(1,2)mv2－0，Ff＝0.1mg，即(2.1×105－0.1×7.0×104×10)×1.6×103＝eq \f(1,2)×7.0×104×v2，解得v＝80 m/s，故选B。
9．(2023·北京昌平高一期末)运动员将质量为400 g的静止的足球踢出后，某人观察它在空中飞行情况，估计上升的最大高度是5.0 m，在最高点的速度为20 m/s。不考虑空气阻力，g取10 m/s2。运动员踢球时对足球做的功约为( )
A．100 J B．80 J C．60 J D．20 J
答案 A
解析 根据题意，设运动员踢球时对足球做的功约为W，从开始踢球到足球上升到最大高度的过程，根据动能定理有W－mgh＝eq \f(1,2)mv2，解得W＝mgh＋eq \f(1,2)mv2＝100 J，故选A。
10.(2022·郴州市高一期末)如图所示，轨道由水平轨道AB和足够长斜面轨道BC平滑连接而成，斜面轨道BC与水平面间的夹角为θ＝37° 。质量为m＝1 kg 的物块静止在距离B点x0＝8 m 的水平轨道上，物块与水平面和斜面间的动摩擦因数均为μ＝0.50。现在物块上作用一个大小F＝6 N、方向水平向右的拉力，物块到达B点时撤去该拉力。sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2。求：
(1)物块到达B点时的速度大小vB；
(2)物块沿斜面上滑的最大距离xm。
答案 (1) 4 m/s (2)0.8 m
解析 (1)根据动能定理Fx0－μmgx0＝eq \f(1,2)mvB2，解得vB＝4 m/s
(2)根据动能定理－mgxmsin 37°－μmgxmcs 37°＝0－eq \f(1,2)mvB2，解得xm＝0.8 m。
11.如图所示，一质量为m＝10 kg的物体，由eq \f(1,4)光滑圆弧轨道上端从静止开始下滑，到达底端后沿水平面向右滑动1 m距离后停止。已知圆弧底端与水平面平滑连接，圆弧轨道半径R＝0.8 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)物体滑至圆弧底端时的速度大小；
(2)物体滑至圆弧底端时对轨道的压力大小；
(3)物体沿水平面滑动过程中克服摩擦力做的功。
答案 (1)4 m/s (2)300 N (3)80 J
解析 (1)设物体滑至圆弧底端时速度大小为v，由动能定理可知mgR＝eq \f(1,2)mv2
得v＝eq \r(2gR)＝4 m/s；
(2)设物体滑至圆弧底端时受到轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律得FN－mg＝meq \f(v2,R)，故FN＝mg＋meq \f(v2,R)＝300 N
根据牛顿第三定律得FN′＝FN，所以物体对轨道的压力大小为300 N；
(3)设物体沿水平面滑动过程中摩擦力做的功为Wf，根据动能定理可知Wf＝0－eq \f(1,2)mv2＝－80 J
所以物体沿水平面滑动过程中克服摩擦力做的功为80 J。
12．一个人站在距地面20 m的高处，将质量为0.2 kg的石块以v0＝12 m/s的速度斜向上抛出，石块的初速度方向与水平方向之间的夹角为30°，g取10 m/s2。
(1)人抛石块过程中对石块做了多少功？
(2)若不计空气阻力，石块落地时的速度大小是多少？
(3)若石块落地时的速度大小为22 m/s，则石块在空中运动过程中克服阻力做了多少功？
答案 (1)14.4 J (2)23.32 m (3)6 J
解析 (1)人抛石块的过程中，根据动能定理得W＝eq \f(1,2)mv02＝14.4 J。
(2)不计空气阻力，石块从抛出至落地过程中，根据动能定理得mgh＝eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)mv02
解得v1≈23.32 m/s。
(3)考虑阻力，设石块从抛出至落地过程中，克服阻力做的功为W克f，由动能定理得
mgh－W克f＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv02
解得W克f＝6 J。
13．(多选)(2022·锦州市高一期末)2022年2月2日，北京冬奥会冰壶比赛在“冰立方”拉开帷幕，比赛场地如图所示。比赛时运动员在P点将静止的冰壶用力推出，作用时间极短可忽略不计，冰壶运动至营垒中的Q点刚好停下，P、Q两点之间的距离L＝40 m。假设冰壶与冰面之间的动摩擦因数为0.02，冰壶的质量为20 kg，g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．运动员给冰壶的初速度为5 m/s
B．摩擦力的平均功率为8 W
C．整个过程中摩擦力对冰壶所做的功与运动员对冰壶所做的功大小之比为2∶1
D．整个过程中摩擦力对冰壶所做的功与运动员对冰壶所做的功大小之比为1∶1
答案 BD
解析 运动员推出冰壶后，对冰壶根据动能定理有－μmgL＝0－eq \f(1,2)mv02，得v0＝4 m/s，故A错误；运动员推出冰壶后，冰壶的加速度大小为a＝μg＝0.2 m/s2，则冰壶运动的时间为t＝eq \f(v0,a)＝20 s，可得摩擦力的平均功率为eq \x\t(P)＝eq \f(μmgL,t)＝eq \f(160,20) W＝8 W，故B正确；由动能定理可知，整个过程中摩擦力对冰壶所做的功与运动员对冰壶所做的功的代数和等于冰壶整个过程动能的变化量，则有W－Wf＝0，所以W∶Wf＝1∶1，故D正确。牛顿运动定律
动能定理
适用条件
只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况
对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动的情况均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
结论
应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错
一、动能和动能定理
如图所示，光滑水平面上质量为m的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2。试推导出力F对物体做功的表达式。
答案 W＝Fl＝F·eq \f(v22－v12,2a)＝F·eq \f(v22－v12,2\f(F,m))＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12。
1．动能
(1)动能的表达式Ek＝eq \f(1,2)mv2。其单位与功的单位相同，在国际单位制中为焦耳，符号为J。
(2)动能是标量，没有负值。
(3)动能是状态量，与物体的运动状态相对应。
(4)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度大小不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
2．动能定理
(1)力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
表达式：W＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12，也可写成W＝Ek2－Ek1。
(2)W与ΔEk的关系：合力做功是物体动能变化的原因。
①合力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的末动能大于初动能；
②合力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的末动能小于初动能。
(3)物体动能的改变可由合力做功来度量。
1．合外力对物体做功，物体的速度一定变化吗？物体的速度变化，合外力一定对物体做功吗？
答案 如果合外力对物体做功，物体动能发生变化，速度一定发生变化；而速度变化动能不一定变化，比如做匀速圆周运动的物体速度方向时刻变化，但所受合外力不做功，如果合外力对物体不做功，则动能不变。
2．动能定理是物体受恒力作用，并且做直线运动的情况下推导出来的，对于物体受变力作用、做曲线运动的情况，动能定理是否成立？
答案 成立。在物体受变力作用且做曲线运动时，可将运动过程分解成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的都是恒力，运动的轨迹为直线，同样可推导出动能定理的表达式。
(1)凡是运动的物体都具有动能。( √ )
(2)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同。( × )
(3)物体的动能不变，所受的合外力必定为零。( × )
(4)利用动能定理只能求速度大小不能求速度方向。( √ )
(5)如果物体受到几个力的作用，动能定理中的W表示这几个力的合力做的功。( √ )
例1 (2022·吕梁市测试)质量10 g、以0.80 km/s的速度飞行的子弹与质量62 kg、以10 m/s的速度奔跑的运动员相比( )
A．运动员的动能较大
B．子弹的动能较大
C．二者的动能一样大
D．无法比较它们的动能
答案 B
解析 子弹的动能Ek1＝eq \f(1,2)m1v12＝eq \f(1,2)×0.01×8002 J＝3 200 J，运动员的动能Ek2＝eq \f(1,2)m2v22＝eq \f(1,2)×62×102 J＝3 100 J，所以子弹的动能较大，故B正确。
二、动能定理的简单应用
如图所示，质量为m的物块从固定斜面顶端由静止滑下，已知斜面倾角为θ，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面高为h，重力加速度为g。
(1)物块在下滑过程中受哪些力的作用？各个力做的功分别为多少？
(2)物块的动能怎样变化？物块到达斜面底端时的速度为多大？
答案 (1)受重力、支持力、摩擦力；重力做功为WG＝mgh，支持力做功为WN＝0，摩擦力做功为Wf＝－μmgcs θ·eq \f(h,sin θ)＝－μmgeq \f(h,tan θ)。
(2)物块动能增大，由动能定理得WG＋WN＋Wf＝eq \f(1,2)mv2－0，得物块到达斜面底端的速度大小v＝eq \r(2gh－\f(2μgh,tan θ))。
应用动能定理解题的一般步骤：
例2 (2023·西安市铁一中学高一期末)一人用力踢质量为1 kg的足球，使球由静止以20 m/s的速度飞出，假定人踢球瞬间对球平均作用力大小是200 N，球在水平方向运动30 m停止。那么人对球所做的功为( )
A．20 J B．200 J C．300 J D．6 000 J
答案 B
解析 人对足球所做的功等于足球动能的增量，则W＝ΔEk＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)×1×202 J＝200 J。故选B。
例3 质量m＝6×103 kg的客机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l＝7.2×102 m时，达到起飞速度v＝60 m/s。
(1)起飞时飞机的动能是多少？
(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大？
(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为3.0×103 N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大？
答案 (1)1.08×107 J (2)1.5×104 N (3)9×102 m
解析 (1)飞机起飞时的动能Ek＝eq \f(1,2)mv2
代入数值解得Ek＝1.08×107 J。
(2)设飞机受到的牵引力为F，由题意知合外力为F，
由动能定理得Fl＝Ek－0，代入数值得F＝1.5×104 N。
(3)设飞机的滑行距离为l′，滑行过程中受到的平均阻力大小为Ff，则
由动能定理得(F－Ff)l′＝Ek－0
解得l′＝9×102 m。
例4 (2022·榆林市第十中学高一期中)如图，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m＝2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h＝0.5 m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s＝1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计。(g＝10 m/s2)
(1)求物块到达B点时的速度大小；
(2)求物块在A点的动能；
(3)若赋予物块向左的水平初速度，使其从C点恰好到达A点，求水平初速度大小(结果可带根号)。
答案 (1)4 m/s (2)6 J (3)eq \r(26) m/s
解析 (1)物块从B点到C点由动能定理可得
－μmgs＝0－eq \f(1,2)mvB2
解得vB＝4 m/s
(2)物块从A点到B点由动能定理可得mgh＝eq \f(1,2)mvB2－EkA
解得EkA＝6 J
(3)设初速度大小为v，从C点到A点由动能定理可得－μmgs－mgh＝0－eq \f(1,2)mv2
解得v＝eq \r(26) m/s。
动能定理的优越性
课时对点练
考点一 对动能和动能定理的理解
1．对动能的理解，下列说法正确的是( )
A．运动速度大的物体，动能一定大
B．动能像重力势能一样有正负
C．质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
答案 C
解析 因动能与物体的质量和速度有关，运动速度大的物体，动能不一定大，A错误；动能是标量，没有正负，B错误；质量一定的物体，动能变化，则速度的大小一定变化，所以速度一定变化，但速度变化时，如果只是方向改变而大小不变，则动能不变，比如做匀速圆周运动的物体，C正确；动能不变的物体，速度方向可能变化，故不一定处于平衡状态，D错误。
2．(多选)(2022·哈尔滨第三十二中高一期末)改变汽车的质量和速度，都可能使汽车的动能发生改变。在下列几种情况下，汽车的动能变化正确的是( )
A．质量不变，速度增大到原来的2倍，动能变为原来的2倍
B．速度不变，质量增大到原来的2倍，动能变为原来的2倍
C．质量减半，速度增大到原来的4倍，动能变为原来的8倍
D．速度减半，质量增大到原来的4倍，动能变为原来的8倍
答案 BC
3.如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，物体始终与电梯保持相对静止，则在这个过程中，下列说法或表达式正确的是( )
A．对物体，动能定理的表达式为WN＝eq \f(1,2)mv22，其中WN为支持力做的功
B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功
C．对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12
D．对电梯，其所受合力做功为eq \f(1,2)Mv22－eq \f(1,2)Mv12－mgH
答案 C
解析 物体受重力和支持力作用，根据动能定理得WN－mgH＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12，故选项C正确，A、B错误；对电梯，所受合力做功等于电梯动能的变化量，故选项D错误。
考点二 动能定理的简单应用
4．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉着它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s。如图所示，甲在光滑面上运动，乙在粗糙面上运动，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )
A．力F对甲物体做功多
B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C．甲物体获得的动能比乙大
D．甲、乙两个物体获得的动能相同
答案 BC
解析 由W＝Fs可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，C正确，D错误。
5．一个人站在阳台上，从阳台边缘以相同的速率v0分别把三个质量相同的球竖直上抛、竖直下抛、水平抛出，不计空气阻力，则三个球落地时的动能( )
A．上抛球最大 B．下抛球最大
C．平抛球最大 D．一样大
答案 D
解析 设阳台离地面的高度为h，根据动能定理得mgh＝Ek－eq \f(1,2)mv02，三个小球质量相同，初速度相同，高度相同，所以三个球落地时动能相同，D正确。
6．光滑水平面上有一物体，在水平恒力F作用下由静止开始运动，经过时间t1速度达到v，再经过时间t2，速度由v增大到2v，在t1和t2两段时间内，外力F对物体做功之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．3∶1 D．1∶4
答案 B
解析 根据动能定理得，第一段过程：W1＝eq \f(1,2)mv2，第二段过程：W2＝eq \f(1,2)m(2v)2－eq \f(1,2)mv2＝eq \f(3,2)mv2，解得W1∶W2＝1∶3，B正确。
7．人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为( )
A．－400 J B．－3 800 J
C．－50 000 J D．－4 200 J
答案 B
解析 下坡过程中运用动能定理得mgh＋Wf＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02，解得Wf＝－3 800 J，故选B。
8．(2023·金溪一中高一期中)如图，C919在水平跑道上滑跑试飞。当发动机提供2.1×105 N的牵引力时，C919滑跑1.6×103 m即可离地起飞。将滑跑过程视为初速度为零的匀加速直线运动，已知飞机的质量为7.0×104 kg，受到的阻力恒为其重力的十分之一，重力加速度g取10 m/s2，则C919起飞的速度约为( )
A．57 m/s B．80 m/s
C．89 m/s D．113 m/s
答案 B
解析 依题意，根据动能定理可得(F－Ff)l＝eq \f(1,2)mv2－0，Ff＝0.1mg，即(2.1×105－0.1×7.0×104×10)×1.6×103＝eq \f(1,2)×7.0×104×v2，解得v＝80 m/s，故选B。
9．(2023·北京昌平高一期末)运动员将质量为400 g的静止的足球踢出后，某人观察它在空中飞行情况，估计上升的最大高度是5.0 m，在最高点的速度为20 m/s。不考虑空气阻力，g取10 m/s2。运动员踢球时对足球做的功约为( )
A．100 J B．80 J C．60 J D．20 J
答案 A
解析 根据题意，设运动员踢球时对足球做的功约为W，从开始踢球到足球上升到最大高度的过程，根据动能定理有W－mgh＝eq \f(1,2)mv2，解得W＝mgh＋eq \f(1,2)mv2＝100 J，故选A。
10.(2022·郴州市高一期末)如图所示，轨道由水平轨道AB和足够长斜面轨道BC平滑连接而成，斜面轨道BC与水平面间的夹角为θ＝37° 。质量为m＝1 kg 的物块静止在距离B点x0＝8 m 的水平轨道上，物块与水平面和斜面间的动摩擦因数均为μ＝0.50。现在物块上作用一个大小F＝6 N、方向水平向右的拉力，物块到达B点时撤去该拉力。sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2。求：
(1)物块到达B点时的速度大小vB；
(2)物块沿斜面上滑的最大距离xm。
答案 (1) 4 m/s (2)0.8 m
解析 (1)根据动能定理Fx0－μmgx0＝eq \f(1,2)mvB2，解得vB＝4 m/s
(2)根据动能定理－mgxmsin 37°－μmgxmcs 37°＝0－eq \f(1,2)mvB2，解得xm＝0.8 m。
11.如图所示，一质量为m＝10 kg的物体，由eq \f(1,4)光滑圆弧轨道上端从静止开始下滑，到达底端后沿水平面向右滑动1 m距离后停止。已知圆弧底端与水平面平滑连接，圆弧轨道半径R＝0.8 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)物体滑至圆弧底端时的速度大小；
(2)物体滑至圆弧底端时对轨道的压力大小；
(3)物体沿水平面滑动过程中克服摩擦力做的功。
答案 (1)4 m/s (2)300 N (3)80 J
解析 (1)设物体滑至圆弧底端时速度大小为v，由动能定理可知mgR＝eq \f(1,2)mv2
得v＝eq \r(2gR)＝4 m/s；
(2)设物体滑至圆弧底端时受到轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律得FN－mg＝meq \f(v2,R)，故FN＝mg＋meq \f(v2,R)＝300 N
根据牛顿第三定律得FN′＝FN，所以物体对轨道的压力大小为300 N；
(3)设物体沿水平面滑动过程中摩擦力做的功为Wf，根据动能定理可知Wf＝0－eq \f(1,2)mv2＝－80 J
所以物体沿水平面滑动过程中克服摩擦力做的功为80 J。
12．一个人站在距地面20 m的高处，将质量为0.2 kg的石块以v0＝12 m/s的速度斜向上抛出，石块的初速度方向与水平方向之间的夹角为30°，g取10 m/s2。
(1)人抛石块过程中对石块做了多少功？
(2)若不计空气阻力，石块落地时的速度大小是多少？
(3)若石块落地时的速度大小为22 m/s，则石块在空中运动过程中克服阻力做了多少功？
答案 (1)14.4 J (2)23.32 m (3)6 J
解析 (1)人抛石块的过程中，根据动能定理得W＝eq \f(1,2)mv02＝14.4 J。
(2)不计空气阻力，石块从抛出至落地过程中，根据动能定理得mgh＝eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)mv02
解得v1≈23.32 m/s。
(3)考虑阻力，设石块从抛出至落地过程中，克服阻力做的功为W克f，由动能定理得
mgh－W克f＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv02
解得W克f＝6 J。
13．(多选)(2022·锦州市高一期末)2022年2月2日，北京冬奥会冰壶比赛在“冰立方”拉开帷幕，比赛场地如图所示。比赛时运动员在P点将静止的冰壶用力推出，作用时间极短可忽略不计，冰壶运动至营垒中的Q点刚好停下，P、Q两点之间的距离L＝40 m。假设冰壶与冰面之间的动摩擦因数为0.02，冰壶的质量为20 kg，g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．运动员给冰壶的初速度为5 m/s
B．摩擦力的平均功率为8 W
C．整个过程中摩擦力对冰壶所做的功与运动员对冰壶所做的功大小之比为2∶1
D．整个过程中摩擦力对冰壶所做的功与运动员对冰壶所做的功大小之比为1∶1
答案 BD
解析 运动员推出冰壶后，对冰壶根据动能定理有－μmgL＝0－eq \f(1,2)mv02，得v0＝4 m/s，故A错误；运动员推出冰壶后，冰壶的加速度大小为a＝μg＝0.2 m/s2，则冰壶运动的时间为t＝eq \f(v0,a)＝20 s，可得摩擦力的平均功率为eq \x\t(P)＝eq \f(μmgL,t)＝eq \f(160,20) W＝8 W，故B正确；由动能定理可知，整个过程中摩擦力对冰壶所做的功与运动员对冰壶所做的功的代数和等于冰壶整个过程动能的变化量，则有W－Wf＝0，所以W∶Wf＝1∶1，故D正确。牛顿运动定律
动能定理
适用条件
只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况
对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动的情况均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
结论
应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错
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