2024年初三中考第一次模拟考试试题：数学（呼和浩特卷）（参考答案及评分标准）

这是一份2024年初三中考第一次模拟考试试题：数学（呼和浩特卷）（参考答案及评分标准），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13．
14．7人
15．2
16．3.12
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）0，（2）
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算即可解答．
【详解】（1）原式
；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组解集为．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．345米
【分析】作于E，根据坡度，得到，推出，进而求出的长，利用，求出的长，再在直角三角形中，求出的长，再根据，即可得解．
【详解】解：如图，作于E，由题意，可知：四边形为矩形，

∴米，，
∵的坡度为，即：
∴，
又∵米，则（米），（米），
∴（米）
在中，，
则（米），
∴（米），
∴（米）
答：无人机离地面的高度约为345米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，添加辅助线，构造直角三角形．
19．(1)82
(2)小航是七年级的学生，理由见解析
(3)本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数约为104人
(4)见解析
【分析】（1）根据中位数的定义解答即可，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）用400乘以样本中90分及以上的人数所占比例即可；
（4）根据两个年级的平均数、中位数解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，把七年级学生成绩从小到大排列，第25，26名学生的成绩分别为82分，82分，
故，
故答案为：82；
（2）小航是七年级的学生，理由如下：
因为83大于82，他的成绩超过了被抽取的七年级学生成绩的中位数；
（3）（人），
答：本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数约为104人；
（4）八年级学生成绩的平均数比七年级学生成绩的平均数大，八年级学生成绩的中位数比七年级学生成绩的中位数大，所以八年级学生的成绩要比七年级学生的成绩好（答案不唯一）．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数以及加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．(1)菱形，证明见解析；
(2)．
【分析】()根据为的中点，可得出四边形 为平行四边形，根据、即可得出的长度，再结合即可得出 ，从而得出，进而可证出四边形是菱形；
()设，则，，，根据勾股定理可得出的长度，结合即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论；
本题考查了菱形的判定、勾股定理以及逆定理、解一元二次方程，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）四边形是菱形．
∵为的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形是菱形；
（2）设，则，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得：，，
又∵，
∴不合，舍去，
∴，
∴．
21．(1)
(2)
【分析】（1）本题主要考查反比例函数的图象，运用函数图象经过点求函数解析式是解答本题的关键．根据反比例函数图象经过线段的中点以及知道点坐标用待定系数法求解即可．
（2）本题主要考查动点在反比例函数图象上求面积问题，解答本题关键在于用合理设出点的坐标，用坐标之差表示出三角形边长．根据反比例函数解析式已知，合理设出点与的坐标，用坐标表示出三角形的边长再求面积．动点不与点D重合，需要分情况考虑动点在D的上方和下方．
【详解】（1）解：∵，点在轴上，且反比例函数经过的中点，将点代入反比例函数解析式得，
解得：，
；
（2）①当P在线段的上方时如图1，此时，
∵点P在反比例函数的图象上运动，
∴设，
∴；
②当P在线段下方运动时，此时，如图2，
同理
综上
22．(1)甲、乙两种水笔每支进价分别为5元、10元
(2)购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元
(3)169支
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意找出等量关系，列出方程，函数关系式，以及不等式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据“花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等”列出方程求解即可；
（2）设利润为w元，甲种水笔购进x支，根据题意找出等量关系，列出一次函数表达式，根据一次函数的增减性，即可解答；
（3）设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔支，一共购进n支水笔，列出方程化简，得，根据，推出，再结合m、n均为正整数，得出当时，n取得最大值，此时，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，
，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
∴，
解得，
∵x为整数，
∴当时，w取得最大值，此时，，
答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元；
（3）解：设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔支，一共购进n支水笔，
，
化简，得
，
∵，
∴，
∴，
∵m、n均为正整数，
∴当时，n取得最大值，此时，
即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支．
23．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据是的直径，可得，即，根据同弧所对的圆周角相等，以及已知条件可得，等量代换后即可得，进而得证；
（2）连接，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，由垂径定理可得，进而可得，即可求解．
（3）过点作，根据平行线分线段成比例，求得，设的半径为，则，证明，可得，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的切线，
（2）如图，连接，
平分，
，
∴
，
，
，
，
是的直径，
，，
即，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，
由（2）可知，
，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
即，
解得：（负值舍去），
的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)是为定值，该定值为2
【分析】（1）当时，，根据当时，，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，即可得到的长度；
（2）当，时，，求出的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是，则，连接，是等腰直角三角形，得到，则，过点A作，使得，延长线段交抛物线于点P，过点D作轴于点E，则，证明，得到的坐标是，求出的解析式为，与二次函数联立即可求出点P的坐标；
（3）求出点A的坐标是，点B的坐标是，由得到，设直线的解析式为，与二次函数联立得到，则，由，则，由得到，则，进一步得到，设直线的解析式为，与二次函数联立得到，得到，由得到，解得，则，即，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∵，
∴，
解得，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
即的长度为4；
（2）当，时，，
当时，，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
连接，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
过点A作，使得，延长线段交抛物线于点P，过点D作轴于点E，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴点D的坐标是，
设直线的解析式为，把点C和点D的坐标代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点P的坐标是；
（3）当时，，
∵，
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
联立，，
∴，
∴，
∴，
过点D作轴于点H，

∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得到，，
∴，
设直线的解析式为，
联立，
则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数和一次函数交点问题、二次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
C
C
C
B
A
D
B