初中北师大版4 分式方程课后复习题

这是一份初中北师大版4 分式方程课后复习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(母题：教材P109习题T1)下列式子是分式的是( )
A．eq \f(a－b,2) B．eq \f(5＋y,π) C．eq \f(x＋3,x) D．1＋x
2．[2023·株洲]将关于x的分式方程eq \f(3,2x)＝eq \f(1,x－1)去分母可得( )
A．3x－3＝2x B．3x－1＝2x
C．3x－1＝x D．3x－3＝x
3．计算eq \f((x＋y)2－(x－y)2,4xy)的结果为( )
A．1 B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,4) D．0
4．下列各分式中，是最简分式的是( )
A．eq \f(x2＋y2,x＋y) B．eq \f(x2－y2,x＋y) C．eq \f(x2＋x,xy) D．eq \f(xy,y2)
5．下列各式中，正确的是( )
A．－eq \f(－3x,5y)＝eq \f(3x,－5y) B．－eq \f(a＋b,c)＝eq \f(－a＋b,c)
C．eq \f(－a－b,c)＝eq \f(a－b,c) D．－eq \f(a,b－a)＝eq \f(a,a－b)
6．分式方程eq \f(x－2,x－3)＝eq \f(2,x－3)的解为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－4,x2＋4x＋4)＋\f(2,x＋2)))÷eq \f(x,2x＋4)的结果为( )
A．2 B．eq \f(2x－8,x) C．－6 D．－8
8．[2023·扬州一模]若关于x的分式方程eq \f(2,x－1)＝eq \f(m,2x－1)有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是m>4，乙解得的答案是m<2，则正确的是( )
A．只有甲答案对 B．只有乙答案对
C．甲、乙答案合在一起才正确 D．甲、乙答案合在一起也不正确
9．[2023·深圳]某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设每辆大货车运货x吨，则所列方程正确的是( )
A．eq \f(75,x－5)＝eq \f(50,x) B．eq \f(75,x)＝eq \f(50,x－5) C．eq \f(75,x＋5)＝eq \f(50,x) D．eq \f(75,x)＝eq \f(50,x＋5)
10．已知关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3a＜2，,x－2b＞3))的解集为－1＜x＜2，则代数式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(b2,a)))·eq \f(a,a－b)的值是( )
A．eq \f(2,3) B．－2 C．－eq \f(8,3) D．－eq \f(4,3)
二、填空题(每题3分，共24分)
11．eq \f(x,6ab2)与eq \f(y,9a2bc)的最简公分母是________．
12．[2023·南充]若分式eq \f(x＋1,x－2)的值为0，则x的值为________．
13．用换元法解方程eq \f(x,x2－1)＋eq \f(3(x2－1),x)＝4，若设eq \f(x,x2－1)＝y，那么所得到的关于y的整式方程为____________．
14．已知a，b两数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b2－a＋a2＋b－2ab,a－b)))的结果是________．
15．(母题：教材P132复习题T5(3))已知eq \f(2x－3,(x－1)(x＋2))＝eq \f(A,x－1)＋eq \f(B,x＋2)，则A＝________，B＝________.
16．对于非零的两个实数a，b，规定a*b＝eq \f(3,b)－eq \f(2,a)，若5*(3x－1)＝2，则x的值为________．
17．[2023·重庆]若关于x的一元一次不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,2)≤4，,2x－a≥2))至少有2个整数解，且关于y的分式方程eq \f(a－1,y－2)＋eq \f(4,2－y)＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________．
18．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，如，三根弦长度之比是15︰12︰10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声d，mi，s，研究15，12，10这三个数的倒数发现：eq \f(1,12)－eq \f(1,15)＝eq \f(1,10)－eq \f(1,12)，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：4，6，x，若要能组成调和数，则x的值为________．
三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)
19．计算：(1)eq \f(2a,a2－9)－eq \f(1,a－3)； (2)[2023·泸州]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4m＋5,m＋1)＋m－1))÷eq \f(m＋2,m＋1).
20．先化简，再求值：
(1)eq \f(x2－4x＋4,x)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)－1))，其中x＝2－eq \r(2)；
(2)[2023·广元]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x＋y,x2－y2)＋\f(2x,y2－x2)))÷eq \f(2,x2y－xy2)，其中x＝eq \r(3)＋1，y＝eq \r(3).
21．解分式方程：
(1)[2022·宿迁]eq \f(2x,x－2)＝1＋eq \f(1,x－2)； (2)eq \f(x＋1,x－1)＋eq \f(4,x2－1)＝1.
22．若整数a使关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x－1,2)≤\f(11＋x,3)，,4x－a>x＋1))有且只有45个整数解，且使关于y的方程eq \f(2y＋a＋2,y＋1)＋eq \f(60,1＋y)＝1的解为非正数，求整数a的值．
23．[2023·扬州一模]将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为eq \f(a,b)(b>a>0)．
(1)再往杯中加入m(m>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为________；
(2)请证明(1)中的数学关系式；
(3)在△ABC中，三条边的长度分别为a，b，c，证明：eq \f(a,b＋c)＋eq \f(b,c＋a)＋eq \f(c,a＋b)<2.
24．[2022·衢州]金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用＝年行驶费用＋年其他费用)
答案
一、1．C 2．A 3．A 4．A 5．D 6．C 7．A
8．D 【点拨】eq \f(2,x－1)＝eq \f(m,2x－1)，
去分母得4x－2＝mx－m，
移项，合并同类项得(4－m)x＝2－m，解得x＝eq \f(2－m,4－m).
∵关于x的分式方程eq \f(2,x－1)＝eq \f(m,2x－1)有正数解，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2－m,4－m)>0，,\f(2－m,4－m)≠1，,\f(2－m,4－m)≠\f(1,2)，))
解得m>4或m<2，且m≠0，
∴甲、乙答案合在一起也不正确，故D正确．
9．B 【点拨】∵每辆大货车运货x吨，
∴每辆小货车运货(x－5)吨，
依题意得eq \f(75,x)＝eq \f(50,x－5).故选B.
10．D 【点拨】解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3a＜2，,x－2b＞3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＜\f(3a＋2,2)，,x＞3＋2b.))
∵不等式组的解集为－1＜x＜2，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3a＋2,2)＝2，,3＋2b＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝－2.))
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(b2,a)))·eq \f(a,a－b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2－b2,a)))·eq \f(a,a－b)
＝a＋b＝eq \f(2,3)－2
＝－eq \f(4,3).
二、11．18a2b2c 12．－1 13．y2－4y＋3＝0 14．b－a＋1
15．－eq \f(1,3)；eq \f(7,3) 【点拨】eq \f(2x－3,(x－1)(x＋2))＝eq \f(A,x－1)＋eq \f(B,x＋2)＝eq \f(A(x＋2)＋B(x－1),(x－1)(x＋2))＝eq \f((A＋B)x＋2A－B,(x－1)(x＋2)).
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＋B＝2，,2A－B＝－3，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝－\f(1,3)，,B＝\f(7,3).))
16．eq \f(3,4) 【点拨】根据新定义，得eq \f(3,3x－1)－eq \f(2,5)＝2，解方程即可．
17．4 【点拨】解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,2)≤4，,2x－a≥2，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤5，,x≥\f(a＋2,2).))
∵至少有2个整数解，∴eq \f(a＋2,2)≤4，∴a≤6.
解分式方程eq \f(a－1,y－2)＋eq \f(4,2－y)＝2，得y＝eq \f(a－1,2).
∵y的值是非负整数，a≤6，a是整数，
∴当a＝5时，y＝2，当a＝3时，y＝1，
当a＝1时，y＝0.
∵y＝2是分式方程的增根，
∴a＝5不合题意，舍去，
∴满足条件的a的值有3和1.
∵3＋1＝4，
∴所有满足条件的整数a的值之和是4.
18．12或3或eq \f(24,5) 【点拨】当x<4时，根据题意得eq \f(1,4)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,4)，
整理得eq \f(1,x)＝eq \f(1,3)，解得x＝3；
当4整理得eq \f(2,x)＝eq \f(5,12)，解得x＝eq \f(24,5)；
当x>6时，根据题意得eq \f(1,6)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,6)，
整理得eq \f(1,x)＝eq \f(1,12)，解得x＝12.
故x的值为12或3或eq \f(24,5).
三、19．【解】(1)原式＝eq \f(2a,(a＋3)(a－3))－eq \f(a＋3,(a＋3)(a－3))＝eq \f(a－3,(a＋3)(a－3))＝eq \f(1,a＋3).
(2)原式＝[eq \f(4m＋5,m＋1)＋eq \f((m－1)(m＋1),m＋1)]×eq \f(m＋1,m＋2)
＝eq \f(m2＋4m＋4,m＋1)×eq \f(m＋1,m＋2)
＝eq \f((m＋2)2,m＋1)×eq \f(m＋1,m＋2)
＝m＋2.
20．【解】(1)原式＝eq \f((x－2)2,x)÷eq \f(2－x,x)＝eq \f((2－x)2,x)·eq \f(x,2－x)＝2－x.
当x＝2－eq \r(2)时，原式＝2－x＝2－(2－eq \r(2))＝eq \r(2).
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x＋y,x2－y2)－\f(2x,x2－y2)))÷eq \f(2,x2y－xy2)
＝eq \f(3x＋y－2x,(x－y)(x＋y))·eq \f(xy(x－y),2)
＝eq \f(x＋y,(x－y)(x＋y))·eq \f(xy(x－y),2)
＝eq \f(xy,2).
当x＝eq \r(3)＋1，y＝eq \r(3)时，原式＝eq \f(\r(3)(\r(3)＋1),2)＝eq \f(3＋\r(3),2).
21．【解】(1)eq \f(2x,x－2)＝1＋eq \f(1,x－2)，
去分母，得2x＝x－2＋1，解得x＝－1.
经检验，x＝－1是原方程的解．
则原方程的解是x＝－1.
(2)方程两边都乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2＋4＝(x＋1)(x－1)，解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x＋1)(x－1)≠0，所以原分式方程的解为x＝－3.
22．【解】解不等式组，得eq \f(a＋1,3)∵不等式组有且只有45个整数解，
∴－20≤eq \f(a＋1,3)<－19，解得－61≤a＜－58.
解关于y的方程得y＝－a－61.
∵关于y的方程eq \f(2y＋a＋2,y＋1)＋eq \f(60,1＋y)＝1的解为y＝－a－61，y≤0，
∴－a－61≤0，解得a≥－61.
∵y＋1≠0，∴y≠－1，∴a≠－60.
故整数a的值为－61或－59.
23．(1)eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a,b)
(2)【证明】利用作差法比较大小：
eq \f(a＋m,b＋m)－eq \f(a,b)＝eq \f(b(a＋m),b(b＋m))－eq \f(a(b＋m),b(b＋m))＝eq \f(bm－am,b(b＋m))＝eq \f(m(b－a),b(b＋m)).
∵m>0，b>a>0，∴b－a>0，b＋m>0，即eq \f(m(b－a),b(b＋m))>0，
∴eq \f(a＋m,b＋m)－eq \f(a,b)>0，即eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a,b).
(3)【证明】在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b，且a>0，b>0，c>0，
∴eq \f(a,b＋c)<1，eq \f(b,c＋a)<1，eq \f(c,a＋b)<1.
由糖水不等式得eq \f(a,b＋c)∴eq \f(a,b＋c)＋eq \f(b,c＋a)＋eq \f(c,a＋b)∴eq \f(a,b＋c)＋eq \f(b,c＋a)＋eq \f(c,a＋b)<2.
24．【解】(1)新能源车的每千米行驶费用为eq \f(60×0.6,a)＝eq \f(36,a)(元)．
(2)①由题意得eq \f(40×9,a)－eq \f(36,a)＝0.54，解得a＝600，
经检验，a＝600是所列分式方程的解，且符合题意，
则eq \f(40×9,a)＝eq \f(40×9,600)＝0.6，eq \f(36,a)＝eq \f(36,600)＝0.06.
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元．
②设每年行驶里程为x千米，由题意得0.6x＋4 800>0.06x＋7 500，解得x>5 000.
答：每年行驶里程超过5 000千米时，买新能源车的年费用更低．