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湖南省长沙市麓共体2023-2024学年高二下学期第一次学情检测数学试卷（Word版附解析）
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命题人：肖荣 审题人：唐强
总分：150分 时量：120分钟
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（ ）
A. B. C. D.
2. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
3. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A 0B. -1C. D. 1
4. 已知向量的夹角为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点成中心对称
C. 的图象关于直线对称
D. 的单调递增区间是
6. 式子的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则关于不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间内的人数为16.则下列结论正确的是（ ）
A. 图中
B. 样本容量
C. 估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分
D. 该市要对成绩前的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分
10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A 平面
B. 到平面的距离是
C. 异面直线所成角的余弦值为
D. 平面将正方体分成两部分的体积比为
11. 伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的标准方程可以为
B. 若，则
C. 有且仅有一个点，使得
D. 的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上，共有________种分配方法.
13. 若等比数列的各项均为正数，且，则__________.
14. 若不等式在上恒成立，e是自然对数的底数，则实数的取值范围是__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，平面为矩形，分别是的中点.
（1）证明：平面
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．
17. 党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升．下表为某市2014~2022年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图（如图1），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.
参考数据：.
参考公式：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
（1）设年份编号为（2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为（单位：万元），求经验回归方程（结果精确到0.01）；
（2）为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从2014~2022中任取2年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为，求随机变量的分布列与数学期望.
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
19. 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.
（1）求双曲线标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，求的值；年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
全体居民人均可支配收入（元）
18352
20110
22034
24153
26386
28920
30824
33803
35666
命题人：肖荣 审题人：唐强
总分：150分 时量：120分钟
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（ ）
A. B. C. D.
2. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
3. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A 0B. -1C. D. 1
4. 已知向量的夹角为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点成中心对称
C. 的图象关于直线对称
D. 的单调递增区间是
6. 式子的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则关于不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间内的人数为16.则下列结论正确的是（ ）
A. 图中
B. 样本容量
C. 估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分
D. 该市要对成绩前的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分
10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A 平面
B. 到平面的距离是
C. 异面直线所成角的余弦值为
D. 平面将正方体分成两部分的体积比为
11. 伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的标准方程可以为
B. 若，则
C. 有且仅有一个点，使得
D. 的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上，共有________种分配方法.
13. 若等比数列的各项均为正数，且，则__________.
14. 若不等式在上恒成立，e是自然对数的底数，则实数的取值范围是__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，平面为矩形，分别是的中点.
（1）证明：平面
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．
17. 党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升．下表为某市2014~2022年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图（如图1），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.
参考数据：.
参考公式：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
（1）设年份编号为（2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为（单位：万元），求经验回归方程（结果精确到0.01）；
（2）为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从2014~2022中任取2年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为，求随机变量的分布列与数学期望.
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
19. 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.
（1）求双曲线标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，求的值；年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
全体居民人均可支配收入（元）
18352
20110
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