高中物理人教版 (2019)选择性必修 第三册第二章 气体、固体和液体3 气体的等压变化和等容变化第2课时学案设计

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一、理想气体
1．理想气体：在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律的气体。
2．理想气体与实际气体
实际气体在温度不低于零下几十摄氏度、压强不超过大气压的几倍时，可以当成理想气体来处理。
3．从微观的角度看，理想气体的特点
(1)气体分子本身的大小与分子间距离相比忽略不计。
(2)气体分子间的相互作用力忽略不计。
(3)气体分子与器壁碰撞的动能损失忽略不计。
4．理想气体是对实际气体的一种科学抽象，是一种理想化模型，实际并不存在。
一定质量的理想气体的内能与什么因素有关？
答案 由于理想气体分子间的相互作用力忽略不计，因此不考虑分子势能，所以一定质量的理想气体的内能只与温度有关。
例1 (多选)下列对理想气体的理解，正确的有( )
A．理想气体实际上并不存在，只是一种理想化模型
B．只要气体压强不是很高就可视为理想气体
C．一定质量的某种理想气体的内能与温度、体积都有关
D．在任何温度、任何压强下，理想气体都遵从气体实验定律
答案 AD
解析 理想气体是一种理想化模型，温度不太低、压强不太大的实际气体可视为理想气体；理想气体在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律，选项A、D正确，B错误。一定质量的某种理想气体的内能只与温度有关，与体积无关，选项C错误。
二、理想气体的状态方程
如图所示，一定质量的某种理想气体从状态A到B经历了一个等温过程，又从状态B到C经历了一个等容过程，请推导状态A的三个参量pA、VA、TA和状态C的三个参量pC、VC、TC之间的关系。
答案 从A→B为等温变化过程，根据玻意耳定律可得pAVA＝pBVB①
从B→C为等容变化过程，根据查理定律可得eq \f(pB,TB)＝eq \f(pC,TC)②
由题意可知：TA＝TB③
VB＝VC④
联立①②③④式可得eq \f(pAVA,TA)＝eq \f(pCVC,TC)。
1．内容：一定质量的某种理想气体，在从一个状态(p1、V1、T1)变化到另一个状态(p2、V2、T2)时，压强p跟体积V的乘积与热力学温度T的比值保持不变。
2．表达式：eq \f(pV,T)＝C或eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)。
公式中常量C仅由气体的种类和质量决定，与状态参量(p、V、T)无关。
3．成立条件：一定质量的理想气体。
4．理想气体状态方程与气体实验定律的关系
eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(T1＝T2时，p1V1＝p2V2 玻意耳定律, V1＝V2时，\f(p1,T1)＝\f(p2,T2) 查理定律, p1＝p2时，\f(V1,T1)＝\f(V2,T2) 盖—吕萨克定律))
例2 (多选)关于一定质量的理想气体的状态变化，下列说法中正确的是( )
A．当气体压强不变而温度由100 ℃上升到200 ℃时，其体积增大为原来的2倍
B．气体由状态1变到状态2时，一定满足方程eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)
C．气体体积增大到原来的4倍，可能是压强减半，热力学温度加倍
D．气体压强增大到原来的4倍，可能是体积加倍，热力学温度减半
答案 BC
解析 一定质量的理想气体，压强不变，体积与热力学温度成正比，不与摄氏温度成正比，温度由100 ℃上升到200 ℃，根据eq \f(V1,273＋100 K)＝eq \f(V2,273＋200 K)，可知体积约增大为原来的1.27倍，故A错误；一定质量的理想气体由状态1变到状态2时，一定满足方程eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)，故B正确；由理想气体状态方程eq \f(pV,T)＝C，可知一定质量的理想气体，体积增大到原来的4倍，可能是压强减半，热力学温度加倍，故C正确；同C选项的分析可知一定质量的理想气体，压强增大到原来的4倍，可能是体积减半，热力学温度加倍，故D错误。
例3 (2022·周口市高二月考)内径均匀的L形直角细玻璃管，一端封闭，一端开口竖直向上，用水银柱将一定质量的空气封存在封闭端内，空气柱长4 cm，水银柱高58 cm，进入封闭端长2 cm，如图所示，温度是87 ℃，大气压强为75 cmHg，求：
(1)在如图所示位置空气柱的压强p1；
(2)在如图所示位置，要使空气柱的长度变为3 cm，温度必须降低到多少摄氏度？
答案 (1)133 cmHg (2)－5 ℃
解析 (1)根据题意，由题图可知，封闭气体的压强为p1＝p0＋ph＝(75＋58) cmHg＝133 cmHg
(2)根据题意，设玻璃管的横截面积为S，温度降低到t，对空气柱，初态有p1＝133 cmHg，
V1＝4S (cm3)，T1＝(273＋87) K＝360 K
末态有p2＝p0＋ph′＝(75＋57) cmHg＝132 cmHg，V2＝3S (cm3)，T2＝(273＋t) K
由理想气体状态方程有eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)
代入数据解得t≈－5 ℃。
例4 (2022·日照市高二期末)如图所示，一汽缸倒置悬挂，汽缸的横截面积S＝10 cm2，高度为H＝16 cm，汽缸壁的厚度忽略不计，活塞质量为m＝2 kg，厚度忽略不计，其中密封一定质量的理想气体，汽缸与活塞之间用一轻弹簧连接，弹簧的劲度系数k＝5 N/cm。已知汽缸和活塞由绝热材料制成，密封性良好，汽缸内壁光滑，弹簧始终处于弹性限度内。外界大气压强p0＝1.0×105 Pa，重力加速度g取10 m/s2。开始时气体的温度为27 ℃，弹簧处于原长，活塞处于汽缸的中间位置。求：
(1)开始时汽缸内密封气体的压强；
(2)对汽缸内气体缓慢加热，使活塞与汽缸口平齐，此时汽缸内密封气体的温度。
答案 (1)8.0×104 Pa (2)900 K
解析 (1)开始时，对活塞，
根据平衡条件p1S＋mg＝p0S，
解得p1＝8.0×104 Pa
(2)活塞与汽缸口平齐时，对活塞
根据平衡条件p2S＋mg＝p0S＋keq \f(H,2)，
解得p2＝1.2×105 Pa
根据理想气体状态方程eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)，
根据题意T1＝300 K，V2＝2V1，
解得T2＝900 K。
应用理想气体状态方程解题的一般步骤
(1)明确研究对象，即一定质量的理想气体；
(2)确定气体在初、末状态的参量p1、V1、T1及p2、V2、T2；
(3)由理想气体状态方程列式求解；
(4)必要时讨论结果的合理性。
三、气体实验定律的微观解释
气体实验定律中温度、体积、压强在微观上分别与什么物理量相关？
答案 在微观上，气体的温度决定气体分子的平均动能，体积决定分子的数密度，而分子的平均动能和分子数密度决定气体的压强。
1．玻意耳定律的微观解释
一定质量的某种理想气体，温度保持不变时，分子的平均动能不变。体积减小时，分子的数密度增大，单位时间内、单位面积上碰撞器壁的分子数就多，气体的压强就增大。
2．盖—吕萨克定律的微观解释
一定质量的某种理想气体，温度升高时，分子的平均动能增大，只有气体的体积同时增大，使分子的数密度减小，才能保持压强不变。
3．查理定律的微观解释
一定质量的某种理想气体，体积保持不变时，分子的数密度保持不变，温度升高时，分子的平均动能增大，气体的压强增大。
例5 如图所示，一定质量的理想气体由状态A沿平行于纵轴的直线变化到状态B，则( )
A．气体的平均动能不变
B．气体的内能增加
C．气体分子的数密度减小
D．气体分子在单位时间内与单位面积器壁碰撞的次数不变
答案 B
解析 从p－V图像中的AB图线看，气体由状态A到状态B为等容升压变化，根据查理定律，一定质量的理想气体，当体积不变时，压强跟热力学温度成正比，由A到B是压强增大，温度升高，分子平均动能增加，故A错误；理想气体的内能只与温度有关，气体的温度升高，内能增加，故B正确；气体体积不变，气体分子的数密度不变，温度升高，气体分
子平均速率增大，则气体分子在单位时间内与单位面积器壁碰撞的次数增加，故C、D错误。
对于气体实验定律的阐释，注意从两个途径分析：
一是从宏观角度分析，三个参量遵循理想气体状态方程；
二是从微观角度分析。
课时对点练
考点一 理想气体及理想气体状态方程的理解
1．(多选)关于理想气体的性质，下列说法正确的是( )
A．理想气体是一种假想的物理模型，实际并不存在
B．理想气体是人为规定的，它是一种严格遵守气体实验定律的气体
C．一定质量的理想气体，平均动能增大，其温度一定升高
D．氦气是液化温度最低的气体，任何情况下均可当作理想气体
答案 ABC
2．(多选)(2022·昆明市第十中学高二期中)对于一定质量的理想气体，下列过程可能发生的是( )
A．气体的温度变化，但压强、体积保持不变
B．气体的温度、压强保持不变，而体积发生变化
C．气体的温度保持不变，而压强、体积发生变化
D．气体的温度、压强、体积都发生变化
答案 CD
解析 根据理想气体状态方程eq \f(pV,T)＝C，可知气体的温度变化，压强和体积至少有一个物理量变化，故A错误；气体的温度、压强保持不变，则体积也保持不变，故B错误；气体的温度保持不变，而压强、体积发生变化，但压强和体积的乘积不变，故C正确；气体的温度、压强、体积可以同时都发生变化，故D正确。
考点二 理想气体状态方程的应用
3.如图所示为伽利略设计的一种测温装置示意图，玻璃管的上端与导热良好的玻璃泡连通，下端插入水中，玻璃泡中封闭有一定质量的空气(可看作理想气体)。若玻璃管中水柱上升，则玻璃泡内气体的变化可能是( )
A．温度降低，压强减小
B．温度升高，压强不变
C．温度升高，压强减小
D．温度不变，压强减小
答案 A
4．一定质量的理想气体，经历了如图所示的状态变化过程，则此三个状态的温度之比是( )
A．1∶3∶5 B．3∶6∶5
C．3∶2∶1 D．5∶6∶3
答案 B
解析 由理想气体状态方程得：eq \f(pV,T)＝C(C为常量)，可见pV＝TC，即p、V的乘积与温度T成正比，故B项正确。
5．(2022·郑州市高二月考)湖底温度为7 ℃，有一球形气泡从湖底升到水面时(气体质量恒定)，其直径扩大为原来的2倍。已知水面温度为27 ℃，大气压强p0＝1×105 Pa，水的密度ρ水＝1×103 kg/m3，重力加速度g＝10 m/s2，气泡内气体为理想气体，则湖水深度约为( )
A．65 m B．55 m
C．45 m D．25 m
答案 A
解析 以气泡内的气体为研究对象，
初状态p1＝p0＋ρ水gh，V1＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))3＝V
T1＝(273＋7) K＝280 K
末状态p2＝p0，V2＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2d,2)))3＝8V
T2＝(273＋27) K＝300 K，
由理想气体状态方程得eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)，
代入数据解得h≈65 m，故A正确，B、C、D错误。
考点三 气体实验定律的微观解释
6．对一定质量的理想气体，下列说法正确的是( )
A．体积不变，压强增大时，气体分子的平均动能一定增大
B．温度不变，压强减小时，单位时间内撞击单位面积器壁的分子数增多
C．压强不变，温度降低时，单位时间内撞击单位面积器壁的分子数减少
D．温度升高，压强和体积可能都不变
答案 A
解析 理想气体的质量一定，分子的总数是一定的，体积不变，分子的数密度不变，故要使压强增大，分子的平均动能一定增大，A正确；当温度不变时，分子的平均动能不变，要使压强减小，则分子的数密度一定减小，即单位时间内撞击单位面积器壁的分子数减少，B错误；当温度降低时，分子的平均动能减小，要保证压强不变，则分子的数密度一定增大，单位时间内撞击单位面积器壁的气体分子数增多，C错误；温度升高，压强和体积至少有一个要发生变化，不可能都不变，D错误。
7.(2022·长春市高二期中)某学生在水瓶中装入半瓶热水，盖紧瓶盖，一段时间后，该同学发现瓶盖变紧。为了分析其本质原因，某同学绘制了水瓶中封闭气体的p－T图像如图所示，以下说法正确的是( )
A．随着时间推移，水瓶中封闭气体是由状态a变化到状态b
B．单位时间内瓶盖受到瓶内气体分子的撞击次数增加
C．瓶内气体分子平均动能减小
D．单位体积的分子数a状态较多
答案 C
解析 在水瓶中装入半瓶热水，盖紧瓶盖，一段时间后，瓶内封闭气体温度降低，所以随着时间推移，水瓶中封闭气体是由状态b变化到状态a，故A错误；由于温度降低，分子的平均动能减少，分子运动平均速率减小，但气体体积不变，所以单位体积的分子数不变，因此单位时间内瓶盖受到瓶内气体分子的撞击次数减少，故C正确，B、D错误。
8．(多选)(2022·潍坊市高二月考)一定质量的气体，处于某一初态，现要使它经过一些状态变化后回到初始温度，下列过程可能实现上述要求的是( )
A．先等压压缩，后等容增压
B．先等容增压，后等压膨胀
C．先等压膨胀，后等容减压
D．先等容减压，后等压膨胀
答案 ACD
解析 根据理想气体状态方程eq \f(pV,T)＝C，等压压缩过程中温度降低，等容增压过程中温度升高，可能回到初始温度，A正确；等容增压过程中温度升高，等压膨胀过程中温度升高，不可能回到初始温度，B错误；等压膨胀过程中温度升高，等容减压过程中温度降低，可能回到初始温度，C正确；等容减压过程中温度降低，等压膨胀过程中温度升高，可能回到初始温度，D正确。
9.如图所示为一圆筒形真空容器，在筒顶系着的轻弹簧下挂一质量不计的活塞，弹簧处于自然长度时，活塞正好触及筒底，当在活塞下方注入一定质量的理想气体后，温度为T时，气柱高为h，则温度为T′时，气柱高为(活塞与圆筒间摩擦不计，弹簧始终处于弹性限度内)( )
A.eq \f(T′h,T) B.eq \f(Th,T′)
C．heq \r(\f(T′,T)) D．heq \r(\f(T,T′))
答案 C
解析 设弹簧的劲度系数为k，当气柱高为h时，弹簧弹力F＝kh，产生的压强为eq \f(F,S)＝eq \f(kh,S)(S为容器的横截面积)。取封闭的气体为研究对象，初状态为(T，hS，eq \f(kh,S))，末状态为(T′，h′S，eq \f(kh′,S))，由理想气体状态方程得eq \f(\f(kh,S)·hS,T)＝eq \f(\f(kh′,S)·h′S,T′)，则h′＝heq \r(\f(T′,T))，故C正确。
10.(2019·全国卷Ⅱ)如p－V图所示，1、2、3三个点代表某容器中一定量理想气体的三个不同状态，对应的温度分别是T1、T2、T3。用N1、N2、N3分别表示这三个状态下气体分子在单位时间内撞击容器壁上单位面积的平均次数，则N1________N2，T1________T3，N2________N3。
(填“大于”“小于”或“等于”)
答案 大于 等于 大于
解析 对一定质量的理想气体，eq \f(pV,T)为定值，由p－V图像可知，2p1·V1＝p1·2V1>p1·V1，所以T1＝T3>T2。状态1与状态2气体体积相同，单位体积内分子数相同，但状态1下的气体分子平均动能更大，在单位时间内撞击器壁单位面积的平均次数更多，即N1>N2；状态2与状态3气体压强相同，状态3下的气体分子平均动能更大，在单位时间内撞击器壁单位面积的平均次数较少，即N2>N3。
11.(2022·信阳市高二期末)如图所示，粗细均匀的U型玻璃管竖直放置，右管口封闭，左管开口，管内A、B两段水银柱将管内封闭有长均为10 cm的a、b两段气体，水银柱A长为5 cm，水银柱B在右管中的液面比在左管中的液面高5 cm，大气压强为75 cmHg，环境温度为320 K，现将环境温度降低，使气柱b长度变为9 cm，求：
(1)降低后的环境温度；
(2)水银柱A下降的高度。
答案 (1)280.32 K (2)2.24 cm
解析 (1)开始时，左管中气柱a的压强为
p1＝75 cmHg＋5 cmHg＝80 cmHg，
右管中气柱b的压强为
p2＝p1－5 cmHg＝75 cmHg，
温度降低后，气柱a的压强不变，气柱b的压强为
p2′＝p1－7 cmHg＝73 cmHg，
对气柱b研究，根据理想气体状态方程
eq \f(p2L2S,T1)＝eq \f(p2′L2′S,T2)，
解得T2＝280.32 K
(2)气柱a发生等压变化，则eq \f(L1S,T1)＝eq \f(L1′S,T2)
解得L1′＝8.76 cm，
则水银柱A下降的高度为
h＝1 cm＋10 cm－8.76 cm＝2.24 cm。
12．(2022·银川市高二期中)如图(a)所示，一导热性能良好、内壁光滑的汽缸水平放置，横截面积为S＝2×10－3 m2、质量为m＝4 kg、厚度不计的活塞与汽缸底部之间封闭了一部分气体，此时活塞与汽缸底部之间的距离为24 cm，在活塞的右侧12 cm处有一对与汽缸固定连接的卡环，气体的温度为300 K，大气压强p0＝1.0×105 Pa。现将汽缸竖直放置，如图(b)所示，取g＝10 m/s2。求：
(1)活塞与汽缸固定连接卡环之间的距离；
(2)加热到630 K时封闭气体的压强。
答案 (1)16 cm (2)1.4×105 Pa
解析 (1)汽缸水平放置时p1＝p0＝1×105 Pa，T1＝300 K
V1＝24 cm×S＝4.8×10－4 m3，
当汽缸竖直放置时p2＝p0＋eq \f(mg,S)＝1.2×105 Pa，T2＝T1＝300 K，V2＝HS
根据理想气体状态方程有eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)，
解得H＝20 cm
所以活塞与汽缸固定连接卡环之间的距离为16 cm
(2)假设加热到T3时，恰好到达卡环处
p3＝p2＝p0＋eq \f(mg,S)＝1.2×105 Pa，V3＝36 cm×S＝7.2×10－4 m3
根据理想气体状态方程有eq \f(p2V2,T2)＝eq \f(p3V3,T3)
解得T3＝540 K，
所以加热到630 K时，活塞已经到达卡环处
V4＝V3＝36 cm×S＝7.2×10－4 m3，T4＝630 K
根据理想气体状态方程有eq \f(p3V3,T3)＝eq \f(p4V4,T4)
解得p4＝1.4×105 Pa。