辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2023-2024学年高三第六次模拟考试暨假期质量测试数学试题及答案

这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2023-2024学年高三第六次模拟考试暨假期质量测试数学试题及答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；
C．充要条件；D．既不充分也不必要条件．
3．在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．若是上周期为3的偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．2C．D．
5．若，且．则（ ）
A．B．2C．3D．
6．函数在区间上所有零点的和等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．是双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．设是一个无穷数列的前项和,若一个数列满足对任意的正整数,不等式恒成立,则称数列为和谐数列,有下列3个命题:
①若对任意的正整数均有,则为和谐数列;
②若等差数列是和谐数列,则一定存在最小值;
③若的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有( )个
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
9．下列命题中，真命题有（ ）
A．若随机变量，则
B．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位数是8.5
C．若随机变量，，则
D．若事件，满足且，则与独立
10．如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（ ）
A．存在唯一点，使得
B．存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值
C．若，则三棱锥外接球的表面积为
D．若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分
11．已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．D．
三、填空题
12．若复数（其中表示虚数单位），则 ．
13．如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，向量的斜坐标为，，，则的面积为 .
14．已知的三个内角A，B，C满足，当最大时，动点P使得AP，AB，PB的长依次成等差数列，此时的最大值为 ．
四、解答题
15．已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和.
16．如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.
17．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.
(1)若，求数学期望；
(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数的取值有关.团队A提出函数模型为.团队B提出函数模型为.现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第i组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.
（ⅰ）试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用p表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：.
18．如图，已知抛物线，点，过点任作两条直线，分别与抛物线交于A，B与C，D．
(1)若的斜率分别为，求四边形的面积；
(2)设
（ⅰ）找到满足的等量关系；
（ⅱ）交于点，证明：点在定直线上.
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：
（i）；
（ii）．
参考答案：
1．C
【分析】求出集合A,B中元素的范围，然后求即可.
【详解】,
,
,
.
故选：C.
2．B
【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】解，当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
故“”成立时，等价于；
当“”成立时，等价于，
故成立时，不一定推出成立，反之成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
3．B
【分析】根据若n为偶数，则二项式系数最大的是中间一项即第项，若n为奇数，则二项式系数最大的是中间两项，即第项和第项求解.
【详解】因为在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，
所以，
解得，
故选：B
4．C
【分析】根据是上周期为3的偶函数，结合对数运算求解.
【详解】因为是上周期为3的偶函数，且当时，，
所以，
故选：C
5．C
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式化简得，进而根据齐次式以及弦切互化即可求解.
【详解】由 得 ，
进而得，化简得： ，所以或，
由于，所以，故，
故选：C
6．D
【分析】根据在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且在上有8个交点，即可求出.
【详解】因为，
令，则，
则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标，
可得和的函数图象都关于直线对称，
则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示.
观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点，
即有8个零点，且关于直线对称，
故所有零点的和为.
故选：D
7．D
【分析】根据向量加法运算法则，结合平行四边形的性质可确定以为邻边的平行四边形为菱形，得到，结合双曲线定义可求得，利用余弦定理可构造的齐次方程，从而求得离心率.
【详解】
设，则，
是以为邻边的平行四边形的一条对角线，
又，为的角平分线，
以为邻边的平行四边形为菱形，，
由双曲线定义知：，，，
在中，由余弦定理得：，
双曲线的离心率.
故选：D.
8．D
【分析】先得出的等价条件,然后再进行判断,对于③可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可.
【详解】对于①,，
若,则,所以①正确;
对于②,设等差数列的公差为，
则,所以，
即为公差为的等差数列,
若为和谐数列,即,则，
所以关于的二次函数,开口向上，
所以在上一定存在最小值,所以②正确;
对于③,取,
则,
,
下面证明,即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列,
即证,
即证,
即证,
当,上式左边为负数,显然成立,
当,时,即证,即证，（*）
设,
所以,即（*）式成立,所以③正确.
故选：D
9．AD
【分析】对于A：利用方差公式求解；对于B：通过百分位数的概念计算；对于C：利用正态分布的对称性计算；对于D：利用独立事件的概念判断.
【详解】对于A：根据二项分布的方差公式可得，A正确；
对于B：数据1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10的分位数，，则，B错误；
对于C：随机变量，，则，C错误；
对于D：因为，
所以，故与独立，D正确.
故选：AD
10．BCD
【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点位置，判断选项A；几何法找线面角，当角最小时确定点位置，判断选项B；为中点时，求三棱锥外接球的半径，计算外接球的表面积，判断选项C；利用向量法解决异面直线所成角的问题，求出动点的轨迹，判断选项D.
【详解】对于A选项：正方形中，有，
正方体中有平面，平面，，
又，平面，平面，
只要平面，就有，在线段上，有无数个点，A选项错误；
对于B选项：平面，直线与平面所成的角为，，取到最小值时，最大，
此时点与点重合，B选项正确；
对于C选项：若，则为中点，为等腰直角三角形，外接圆半径为，三棱锥外接球的球心到平面的距离为，则外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，C选项正确；
对于D选项：以D为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，则有，，
有，化简得，是正方形内部(含边界)的一个动点，
所以的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确.
故选：BCD
11．AC
【分析】由得出的图象关于点对称，由和得出可判断A；由和可判断B；根据的定义域均为和图象关于点对称可判断C；记，，，结合选项A知数列和数列均为等差数列，利用等差数列的求和公式可判断D.
【详解】，
的图象关于点对称，即，
对于A，，①，
，②，
②-①得，故A正确；
对于B，，③，
④，
③-④得，的图象关于点对称，故B错误；
对于C，的定义域为且图象关于点对称，，故C正确；
对于D，的定义域为且图象关于点对称，，
由②知，当时，，，
当时，，，
，，，
记，，，
由选项A知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，，
，故D错误.
故选：AC.
12．
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合虚部的定义即可求解.
【详解】由题意知，，
复数z的虚部为，所以.
故答案为：
13．
【分析】设平面内一组不共线的基底，则根据题意可以将 ，用，表示，即可求得三角形的三边长，进而可以求得三角形的面积.
【详解】设与轴方向相同的单位向量为，与轴方向相同的单位向量为，
则，，，，
所以所以，
又因为，所以；
，所以；
故.
故答案为：
14．
【分析】利用已知条件找到和另两个角的恒等关系，再找到最大时的形状，最利用椭圆定义及性质求解．
【详解】由，利用两角和差的余弦公式展开，
整理得，即．
因为，则，
从而，当仅仅当时，等号成立，
因为，所以当最大时，，
则，为等腰三角形，
不妨设．
以AB为轴，AB中垂线为轴建立直角坐标系，则，
由AP，AB，PB的长依次成等差数列，得|AP|＋|PB|＝2|AB|＝8，8＞|AB|，
则点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为8的椭圆，其中a＝4，c＝2，b＝，
则椭圆的方程为．
设，
则，
根据二次函数的性质可知，
当时，．
所以的最大值为．
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可.
（2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则，，，
又，可得，
所以.
（2）由（1）可得，
故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，
所以，
所以数列的前2n项和为：.
即: 数列的前2n项和为.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，四边形为平行四边形，从而得到，根据平面可得平面，从而得到需求证的面面垂直.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出及平面的法向量后可求线面角的正弦值.
【详解】（1）取中点，由题意，，
又，故.
又，故，
所以四边形为平行四边形，则.
由平面，故平面，
又面，故平面平面.
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：，
故
设平面的法向量
而，
故，令，得
设所求角的大小为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．(1)
(2)（ⅰ）
（ⅱ）答案见解析，
【分析】（1）易知随机变量服从二项分布，由，
得，数学期望即可求解；
（2）设，依题意得
化简即可；记，
求导分析单调性可得最大值，分别在团体A，B中提出函数模型即可得答案．
【详解】（1）由题知，随机变量服从二项分布，，
由，即，
得，所以．
（2）（ⅰ），
，
．
（ⅱ）记，
则，
当时，，单增；
当时，，单减；
当时，取得最大值，即取得最大值．
在团体提出的函数模型中，
记函数，，
当时，，单增；
当时，，单减．
当时，取得最大值，则不可以估计．
在团体提出的函数模型中，
记函数，单调递增，
令，解得，
则是的最大似然估计．
【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望
（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，
可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．
18．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据题意，联立直线与抛物线方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果；
（2）（ⅰ）根据题意，表示出直线的方程，结合过点，即可得到关系式；
（ii）根据题意，联立直线与直线的方程，即可解得点的坐标，再将满足的等量关系代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由已知，
联立直线得，
设，则，
所以，
联立直线与抛物线得，
设，则，
所以，
因为，所以.
（2）（ⅰ）因为，所以的直线方程为，
整理得，因为过点，
所以①，
因为过点，所以；
（ⅱ）证明：由（ⅰ）同理可得②，
同理可得AC：，BD：，
联立与方程，解出点坐标，
，，
由①②得，代入点纵坐标
则
，
所以点坐标在直线上.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是联立与方程，解出点坐标，再根据上一问的结论得到，，将其代入化简即可.
19．(1)当时，在上单调递增；
当时， 在上单调递增，在上单调递减．
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】(1)先求函数的定义域，再利用导数求得出单调性和单调区间. (2)先用换元法构造函数，进而导数讨论的单调性和最值，从而得到的取值范围.（i）构造函数，讨论的单调性和取值范围最值，通过化简变形得到，从而得到，即可证明要证的不等式成立.（ii）用分析法把要证的不等式转化为，分别令 和，得到关于的不等式组，化简即可得到所要证的不等式.
【详解】（1）由题意得，函数的定义域为.
由得：，
当时，在上单调递增；
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为是方程的两不等实根，
即是方程的两不等实根，
令，则，
即是方程的两不等实根.
令，则，
所以在上递增，在上递减，，
当时，；当时，且.
所以，即.
令．
（i）要证，只需证，
解法1：令，
则，
令，
则
，
所以在上递增，，
所以，所以，
所以，
所以，即，所以．
解法2：先证，
令，只需证，
只需证，
令，
，
所以在上单调递减，所以．
因为，所以，
所以，即，
所以．
解法3：由，
设，
所以，
即，
构造函数，
，
所以在上单调递增，所以．
（ii）要证：，只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
令得
即 ①
令得
即 ②
①+②得：，
即．
【点睛】关键点点睛：本题第2小问的关键点在于构造函数，将不等式的证明转化为利用导数讨论函数的单调性和最值问题.构造函数是导数题里常用的方法，可以根据不等式形式上的特点进行适当的配凑和换元.在求函数的单调性和最值时，如果求一次导不能判断，则可以通过求二次导来解决.