云南省大理州祥云县部分高中（云上联盟五校协作体）2024届高三下学期复习摸底诊断联合测评数学试题及详细答案

这是一份云南省大理州祥云县部分高中（云上联盟五校协作体）2024届高三下学期复习摸底诊断联合测评数学试题及详细答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．样本中共有个个体，其值分别为、、、、，若该样本的中位数为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（ ）
A．2B．－2C．6D．－6
4．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A．150种B．300种C．720种D．1008种
6．已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
7．已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一个半径为R的球，被一个距离球心为d（）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
11．如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，四点共面，则
B．存在点，使得平面
C．若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值
D．若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题
12．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
13．已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ．
14．如图，在中，，在直角梯形中，，，记二面角的大小为，若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ．
四、解答题
15．已知函数在点处的切线方程为．
(1)求实数和的值；
(2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．
16．三月的祥云，随着气温回暖，忙碌的农田里也春意渐浓.祥云县坚持鼓励农业生产，进一步保障粮食安全，守好人民的“粮袋子”.已知某种业公司根据当地气候条件和土壤状况培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：g）将它们分成5组：，，，，，得到如下频率分布直方图.
(1)用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间，，内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.记这3个石榴中质量在区间内的个数为，求的分布列与数学期望.
17．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，O，E分别为底面的中心和的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
18．已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线与直线的交点为，证明：直线过定点．
19．十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或1（）.
(1)记，求证：；
(2)记为整数的二进制表达式中的0的个数，如，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求（用数字作答）.
参考答案：
1．C
【分析】对实数的取值进行分类讨论，将数据由小到大排序，结合中位数的定义可得出实数的取值范围.
【详解】若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意；
若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意；
若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为；
若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为；
若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
2．D
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由于，所以，
由,
（当且仅当时取等号），可得的最小值为3，
故选：D．
3．D
【分析】据题意，，，，根据向量的数量积运算即可求.
【详解】
因为为边上的中线，所以，
又BE为边AC上的高，
所以，且在中，，
所以
.
故选：D.
4．A
【分析】根据复数乘法运算和模长运算可直接求得结果.
【详解】，.
故选：A.
5．A
【分析】分和两种情况，结合排列组合知识进行求解.
【详解】若三个场地分别承担个项目，则有种安排，
若三个场地分别承担个项目，则有种安排，
综上，不同的安排方法有种.
故选：A
6．A
【分析】由已知条件求出等比数列公比，得到，利用基本不等式求的最小值.
【详解】设正项等比数列公比为，由，，成等差数列，
有，即，得，由，解得，
若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，
则，即，得，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为3.
故选：A
7．D
【分析】不妨设渐近线的方程为，求出点的坐标，根据已知条件可得出关于的齐次等式，解方程求，由此可得双曲线的渐近线的方程.
【详解】设双曲线焦距为，则、，
不妨设渐近线的方程为，如图：

因为直线与直线垂直，则直线的方程为，
联立可得，即点，
所以，，
因为，所以，
又，故，
所以，
，
整理可得，
所以，又，
所以，
故该双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
8．D
【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.
【详解】，即，，即，
因为，所以，即，
且，则，
所以.
故选：D
9．BC
【分析】由为奇函数，可知，可得函数图像关于直线对称，再由，可得，函数图像关于点对称，再代入特值，可判断各选项.
【详解】由为奇函数可得，即，
，即，即，
所以函数的图像关于直线对称，
由是偶函数可得为奇函数，
，
即，
所以函数的图像关于点对称；
将代入，得，
将代入，得，B选项正确；
将代入得，得，A选项错误；
，C选项正确；
将代入，得，故，，D选项错误.
故选：BC.
10．ACD
【分析】对于A，，化简即可验算；对于B，化简即可验算；对于C，，将代入即可判断；对于D，求的最小值即可.
【详解】（同底等高），
，A对．
，B错．
对于C，，，C对．
对于D，时，，
，
在，，D对．
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是首先得到，然后通过换元求导得函数最小值即可验证，从而顺利得解.
11．BCD
【分析】利用假设法即可判断A，利用线面平行的判定即可判断B，利用棱锥体积公式即可判断C，求出外接球半径，找到球心位置即可判断D.
【详解】对A，由四点共面，得，则，
若不是棱的中点，则，故A错误.
对B，当是棱的中点时，取的中点，连接，则为的中点.
因为为的中点，则.
因为平面平面，所以平面，则B正确.
根据长方体性质知，且平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
则点，到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值， 所以三棱锥和三棱锥的体积都为定值，
则四棱锥的体积为定值，故C正确.
取棱的中点，由题中数据可得，
则，所以为等腰直角三角形，所以是外接圆的圆心，
外接圆的半径.设三棱锥的外按球的球心为，
半径为，设，则，
即，解得，则，此时点位于中点，
从而三棱锥的外接球的表面积是，故D正确.
故选：BCD.
12．80
【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对，有，
令，则，有.
故答案为：.
13．
【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】当时，
若，可得；
若，，函数的值域不可能为；
②当时，，
所以函数在 ，上单调递增，
若函数的值域为，只需，可得．
由上知，实数a的取值范围为．
故答案为：
14．
【分析】根据题意以和过点垂直于平面的直线建立空间直角坐标系，可知为二面角的平面角，设出点的坐标，由线面角的空间向量法求解最值.
【详解】如图，以和过点垂直于平面的直线建立空间直角坐标系，
则
由，，可知为二面角的平面角，
又，，
设，，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
其中，，
当且仅当，即时，取得最大值,
则的最大值为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：根据题意设出点的坐标，从而由空间向量法表示出线面角的正弦值，利用基本不等式求解最值.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义可求的值，再根据切线过切点求的值；
（2）根据导数与函数单调性的关系，分析函数在给定区间上的单调性，再求函数的最大值.
【详解】（1）因为
所以，
由题意可得，，
解得:，.
（2）由(1)可得，
所以，且，
易得，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，，且，
即最大值为：.
16．(1)416g
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由频率分布直方图中，样本平均数的计算公式求解；
（2）由分层抽样，计算这三个组中抽取的个数，根据可能的取值，计算对应的概率，列出分布列，由公式求数学期望.
【详解】（1）该品种石榴的平均质量为
，
所以该品种石榴的平均质量为416g；
（2）质量在区间，，内的频率比为
，
所以分层抽样抽取时，
质量在区间，，内的石榴个数分别为2，2，3.
由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
.
17．(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，并求出平面与平面的夹角的余弦值，得到和的关系式即可求出的值.
【详解】（1）连接、，
∵O，E分别为的中点和的中点，
∴∥，
∵∥，∴∥，
∴四点、 、 、共面，
∵ ， ，且，、平面，
平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面，
（2）分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
则，，，，
设平面的法向量，则，
即，令，则，∴，
设平面的法向量，则，
即，令，则，，∴，
∴，
∴.
18．(1)
(2)证明过程见解析
【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合之间的平方关系即可求解；
（2）设直线的方程为，，联立双曲线方程结合韦达定理得，用以及的坐标表示出点以及的方程，根据对称性可知，只需在的直线方程中，令，证明相应的为定值即可求解.
【详解】（1）由题意，所以双曲线的标准方程为.
（2）由题意，当直线斜率为0时，直线，
当直线斜率不为0时，设直线的方程为，，
，
所以，
直线的方程为：，
所以的方程为，
由对称性可知过的定点一定在轴上，
令
，
又，
所以，
所以直线过定点.
19．(1)证明见解析
(2)（ⅰ）2；（ⅱ）9841
【分析】（1）借助二进制的定义计算可得，，即可得证；
（2）（ⅰ）借助二进制的定义可计算出，即可得表达式中的0的个数；（ⅱ）计算出从到中，、、，的个数，即可得.
【详解】（1），
，
，
，
；
（2）（ⅰ），
，
（ⅱ），
，故从到中，
有、、、共9个，
有个，由，即共有个
有个，由，即共有个
……，
有个，
.
【点睛】关键点点睛：本体最后一小问关键点在于结合二进制的定义，得到，，通过组合数的计算得到、、、的个数，再结合组合数的性质计算得到结果.
X
0
1
2
3
P