浙江省宁波市慈溪市2023_2024学年高一数学上学期10月检测试题含解析

这是一份浙江省宁波市慈溪市2023_2024学年高一数学上学期10月检测试题含解析，共14页。试卷主要包含了 已知集合，下列说法正确的是， 命题 “”，则p为， 下列命题中，正确的是， 函数的值域为， 设全集，集合，，则， 已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解方程可求得集合，再根据元素和集合的关系即可求解.
【详解】由得或，则集合，所以，，，.
故选：B.
2. 命题 “”，则p为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定形式求解.
【详解】命题 “”为全称命题，其否定为特称命题，
即p：.
故选：C
3. 下列命题中，正确的是
A若，则B. 若，，则
C. 若 ，，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质或反例可判断各选项正确与否.
【详解】对于A，取，则，但，故A错；
对于B，取，则，
但，，故B错；
对于C，取，则，
但，，故C错；
对于D，因为，故即，故D正确；
综上，选D.
【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.
4. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．
【详解】解：不等式，
，解得，
故不等式的解集为：，
则其一个充分不必要条件可以是，
故选：．
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．
5. 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）
A. 甲先到教室B. 乙先到教室
C. 两人同时到教室D. 谁先到教室不确定
【答案】B
【解析】
【分析】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作差比较.
【详解】解：设步行速度与跑步速度分别为，，
则，总路程为，
则甲用时间，乙用时间为，
则.
所以，故乙先到教室.
故选：B.
6. 函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】，画出函数图像，如图所示：
根据图像知，函数值域为.
故选：B
7. 已知函数满足对任意，都有成立，则a的范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题得函数在定义域上单调递增，列出不等式组得解.
【详解】因为对任意都有，
所以函数在定义域上单调递增，
所以，解得，
所以a的范围是
故选：B
8. 若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】对不等式进行因式分解，根据题意得到，解不等式，然后结合题意分类讨论即可.
【详解】∵不等式，即恰有2个整数解，
∴，解得或.
当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，
∴，即，解得；
当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，
∴，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是-或.
故选：B.
【点睛】关键点睛：根据不等式解的情况得到不等式，运用分类讨论方法进行求解是解题的关键.
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．
9. 设全集，集合，，则（）
A. B.
C. D. 集合的真子集个数为8
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.
【详解】因为全集，集合，，
所以，，，
因此选项A、C正确，选项B不正确，
因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，
故选：AC
10. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 的定义域为
B. 的值域为
C. 在区间上单调递增
D. 的值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】变换得到，计算定义域和值域得到A正确，B错误，根据反比例函数单调性确定C正确，根据计算得到D正确，得到答案.
【详解】，
对选项A：函数的定义域满足，即，正确；
对选项B：的值域为，错误；
对选项C：在区间上单调递增，正确；
对选项D：，，
故，正确.
故选：ACD
11. 已知关于x的不等式的解集是，则（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由关于的不等式的解集是，则是一元二次方程的两根 ．利用根与系数的关系等即可判断出结论．
【详解】由关于x不等式的解集是，
所以是一元二次方程的两根；
所以，选项A正确；
，选项B正确；
所以，选项D正确．
由，可得：是错误的，即选项C错误．
故选：ABD．
12. 德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的说法错误的是（）
A. 对任意实数，
B. 既不是奇函数又不是偶函数
C. 对于任意的实数，，
D. 若，则不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意结合奇偶性、一元二次不等式解法逐项分析判断.
【详解】若是有理数，则；
若是无理数，则，故A正确；
若是有理数，则也是有理数，此时；
若是无理数，则也是无理数，此时；
即为偶函数，故B错误；
若是无理数，取，则是无理数，此时，，即，故C错误；
若是有理数，则的解集为；
若是有理数，，显然不成立，故D错误．
故选：BCD．
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域是______.
【答案】且
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，
则，解得且，
所以函数的定义域为且.
故答案为：且.
14. 已知，则x的值为__________．
【答案】0或2
【解析】
【分析】根据，由，，， 并利用集合的特性判断求解.
【详解】因为，
所以当时，集合为 不成立；
当 时，集合为 ，成立；
当 时，解得 （舍去）或，
若，则集合为，成立.
所以x的值为0或2
故答案为：0或2
15. 关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况，利用判别式法求解.
【详解】解：当时，不等式可化为，无解，满足题意；
当时，不等式化为，解得，不符合题意，舍去；
当时，要使得不等式的解集为，
则解得．
综上，实数a的取值范围是．
故答案为：
16. 设函数的最大值为M，最小值为m，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】变换，设，确定函数为奇函数，再根据函数奇偶性的性质计算得到答案.
【详解】，
设，则，函数为奇函数，
，，.
故答案为：2.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定，，再计算并集即可.
（2）确定得到，解得答案.
【小问1详解】
，，故.
【小问2详解】
，则，故，解得，即.
18. 若不等式的解集是，
（1）求的值；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知不等式的解集得到的两个实数根为和2，利用韦达定理即可求出的值；
（2）代入的值，由一元二次不等式的求解即可得解．
【小问1详解】
依题意可得：的两个实数根为和2，
由韦达定理得：，解得：；
【小问2详解】
由（1）不等式，
即，解得：，
故不等式的解集是．
19. 已知函数为幂函数，且为奇函数．
（1）求m的值；
（2）求函数在的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数得到或，再验证奇偶性得到答案.
（2）确定，函数在上单调递增，计算最值得到值域.
【小问1详解】
函数为幂函数，则，解得或；
当时，为奇函数，满足条件；
当时，为偶函数，不满足条件，舍去.
综上所述：.
【小问2详解】
，函数在上单调递增，
故，，故值域为
20. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
（1）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．
【答案】（1）菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小
（2）．
【解析】
【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；
（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．
【小问1详解】
由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，
当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
【小问2详解】
由已知得x+2y＝30，
又∵（）•（x+2y）＝55+29，
∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．
∴的最小值是．
21. 已知f(x)＝，x∈(－2，2)．
(1) 判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2) 求证：函数f(x)在(－2，2)上是增函数；
(3) 若f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 见解析：(2) 见解析：(3)
【解析】
【详解】试题分析：（1）定义域关于原点对称，同时满足f(x)=-f(-x)，所以是奇函数．（2）由定义法证明函数的单调性，按假设，作差，变形，判断，下结论过程完成．（3）由奇函数，原不等式变形为f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，再由函数单调性及定义域可知，解不等式组可解．
试题解析：(1) 解：∵ f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴ f(x)是奇函数．
(2) 证明：设x1，x2为区间(－2，2)上的任意两个值，且x1＝，
因为－20，x1x2－4<0，所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)所以函数f(x)在(－2，2)上是增函数．
(3) 解：因为f(x)为奇函数，所以由f(2＋a)＋f(1－2a)>0得，f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，
因为函数f(x)在(－2，2)上是增函数，
所以即
故a∈.
22. 已知函数，．
（1）若，求方程的解；
（2）若方程有两解，求出实数a的取值范围；
（3）若，记，试求函数在区间上最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）答案不唯一，详见解析
【解析】
【分析】（1）解方程得到答案.
（2）确定，考虑，和三种情况，根据二次函数的性质得到答案.
（3）确定，考虑，，，四种情况，根据二次函数的单调性计算最值得到答案.
【小问1详解】
，，，即，即，
解得.
【小问2详解】
，，，即，
当时，，方程在有两解，
则，解得；
当时，，不成立；
当时，，方程在有两解，
则，解得；
综上所述：
【小问3详解】
，
①当时，则，对称轴 ，函数在上是增函数，
函数的最大值为；
②当时，，
对称轴，所以函数在上是减函数，在上是增函数，
，，若，即，函数的最大值为；
若，即，函数的最大值为.
③当时，对称轴，此时；
④当时，对称轴，.综上所述：