2025版高考数学一轮复习真题精练第七章立体几何第24练空间中的平行与垂直关系课件

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1 [2022全国乙卷·7,5分,难度★★☆☆☆]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D
【解析】如图,对于选项A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,从而EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故选项A正确;对于选项B,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由选项A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故选项B错误;对于选项C,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC不平行,故选项C错误;对于选项D,连接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1,所以平面A1C1D与平面B1EF不平行,故选项D错误.故选A.
2[2021浙江卷·6,4分,难度★★☆☆☆]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
3[2019全国Ⅲ卷·8,5分,难度★★☆☆☆]如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
5[多选][2021新高考Ⅱ卷·10,5分,难度★★☆☆☆]如图,下列各正方体中,O为下底面的中心,M,N为顶点,P为所在棱的中点,则满足MN⊥OP的是
7[2019北京卷·13,5分,难度★★☆☆☆]已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:　. 
【解析】7.若l⊥m,l⊥α,则m∥α(或若m∥α,l⊥α,则l⊥m,答案不唯一)　其中两个论断作为条件,一个论断作为结论,可组成3个命题.命题(1):若l⊥m,m∥α,则l⊥α,此命题不成立,可以举一个反例,例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面ABCD为平面α,A1D1和A1B1分别为l和m,满足条件,但结论不成立.命题(2):若l⊥m,l⊥α,则m∥α,此命题正确.证明:作直线m1∥m,且与l相交,故l与m1确定一个平面β,且l⊥m1,因为l⊥α,所以平面α与平面β相交,设α∩β=n,则l⊥n,又m1,n⊂β,所以m1∥n,又m1∥m,所以m∥n,又m在平面α外,n⊂α,故m∥α.命题(3):若m∥α,l⊥α,则l⊥m,此命题正确.证明:过直线m作一平面,且与平面α相交,交线为a,因为m∥α,所以m∥a.因为l⊥α,a⊂α,所以l⊥a,又m∥a,所以l⊥m.
8[2020全国Ⅲ卷·19,12分,难度★★★☆☆]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EF⊥AC;(2)点C1在平面AEF内.
9[2023全国甲卷·18,12分,难度★★★☆☆]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.
【解析】9.【参考答案】　(1)第1步:根据直线与平面垂直得到直线与直线垂直因为A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以A1C⊥BC, 第2步:利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC,又A1C∩AC=C,A1C,AC⊂平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1,第3步:根据平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直又BC⊂平面BB1C1C,所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)第1步:作辅助线得到直线与平面垂直,进而找到四棱锥A1-BB1C1C的高如图,过点A1作A1H⊥CC1,交CC1于点H,由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,又平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1,A1H⊂平面ACC1A1,所以A1H⊥平面BB1C1C, 即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H.第2步:利用三角形全等的性质得到CA=CA1
10[2022全国甲卷·19,12分,难度★★★☆☆]小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)证明:EF∥平面ABCD;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).