2024届安徽省安庆市高三下学期二模数学试题

这是一份2024届安徽省安庆市高三下学期二模数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题：安庆市高考命题研究课题组
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1．设集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，是z的共轭复数，则（ ）
A．B．1C．2D．4
3．设F是椭圆的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长的最小值为（ ）
A．12B．14C．16D．18
4．在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按，，，，，进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（ ）
A．80B．78C．76D．74
5．设是公比不为1的无穷正项等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，对任意的正整数，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知点，，O是坐标原点，点B满足，则与夹角最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在长方体中，，点E是棱上任意一点（端点除外），则（ ）
A．不存在点E，使得
B．空间中与三条直线，，都相交的直线有且只有1条
C．过点E与平面和平面所成角都等于的直线有且只有1条
D．过点E与三条棱，，所成的角都相等的直线有且只有4条
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ）
A．B．
C．函数为减函数D．函数的图象关于点对称
10．抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（ ）
A．当时，
B．面积的最大值为2
C．点E在一条定直线上
D．设直线倾斜角为，为定值
11．满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（ ）
A．存在非零实数t，使得为等差数列
B．存在非零实数t，使得为等比数列
C．
D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在二项式的展开式中，常数项为__________．
13．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为M，底面直径．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，则该圆锥的全面积为__________．
14．剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为的曲线C（称为星形线），则曲线C的内切圆半径为__________；以曲线C上点为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在平面凸四边形中，．
（1）求；
（2）若，，求．
16．（15分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
17．（15分）如图，将边长为2的菱形沿其对角线对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边所在平面的两侧，且，．设E是的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
18．（17分）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．
第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值时体能指标合格；
第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．
经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布．
参考数值：，，
．
（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；
（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立．
①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．
②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望．
19．（17分）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：
设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分．
（1）直接写出和的值；
（2）设a，，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；
（3）对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，，i，，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数（，，）的指数．
2024年安庆二模数学参考答案
一、单项选择题
二、多项选择题
三、填空题
12．21013．14．，a
四、解答题
15．【解析】（1）由已知得：，
故，
所以．
因为，故，所以．
（2）由已知，为边长为4的等边三角形，
在中，，由正弦定理得，
故．
由于，所以，故．
在中，由余弦定理得，
即，得．
16．【解析】（1）当时，，其定义域为，
求导，得．
令，得（舍去），
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）方法1：由条件可知，于是，解得．
当时，，构造函数，，
对其求导，得，
所以函数在上单调递减，于是，
因此实数m的取值范围是．
方法2：由条件可知对任意的恒成立，
令，，只需即可．
对函数求导，得，，
所以函数在上单调递增，
于是，所以函数在上单调递增，
所以，于是，因此实数m的取值范围是．
17．【解析】（1）证明：取的中点O，连接、，如图所示．
因为四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，
所以也是边长为2的等边三角形．
在等边中，O是的中点，故；且，
又，故；又，故平面；
又平面，故平面平面．
（2）由（1）知，，．
又O是等边的边中点，故．
所以，以为原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴，建立如图示空间直角坐标系．
则，，，，故．
因为是边长为2的等边三角形，故，所以，且，
又，，故平面，则D在平面内．故求得，
所以，，
设平面的法向量为，显然可令；
设平面的法向量为，则，
令，则，，即．所以，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面的夹角的正弦值为．
18．【解析】（1）．
所以符合该项指标的学生人数为：人．
（2）①记表示解答A类试题第一次测试合格，
，分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M，
则，．
②设X的取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为
数学期望．
19．【解析】（1）1，0.25；
（2）证明：因为，等式两边同时乘b，得．
因为a，b都为整数，所以也为整数，
又，所以．所以，得证．
假设b，，…，都小于等于a，因为，
所以，所以．
因为，所以，所以b的倍数中不大于a的正整数的个数为．
（3），将2，3，…，n每一个数都分解为质因数的乘积．
对于质因数，利用（2）中结论，的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，
将这些数都提取出来，此时p的倍数中还有可以提取出的数，
注意到的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，将这些数提取出来；
同理，的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，
依此这样进行下去，则质因数的指数，得证．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
B
C
A
B
D
题号
9
10
11
答案
ACD
CD
BCD
X
0
1
2
P