新高考数学一轮复习微专题专练02常用逻辑用语（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习微专题专练02常用逻辑用语（含详解），共6页。

一、选择题
1．已知命题p：∀x≥1，2x－lg2x≥1，则命题p的否定为( )
A．∀x＜1，2x－lg2x＜1
B．∀x≥1，2x－lg2x＜1
C．∃x＜1，2x－lg2x＜1
D．∃x≥1，2x－lg2x＜1
2．[2023·全国甲卷(理)]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cs β＝0，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．[2023·福建泉州模拟]在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设命题p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；q：0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝lgmx在(0，＋∞)上为减函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．设p：|x－a|>3，q：(x＋1)(2x－1)≥0，若¬p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4，\f(7,2)))
B．(－∞，－4]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(7,2)))
D．(－∞，－4)∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞))
8．已知A，B，C为不共线的三点，则“| eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) |＝| eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) |”是“△ABC为直角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．(多选)下列命题说法错误的是( )
A．∃x∈R，ex≤0
B．∀x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是 eq \f(a,b) ＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
二、填空题
10．关于函数f(x)＝sin x＋ eq \f(1,sin x) 有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(π,2) 对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
11．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg (x－a)的定义域为集合B.“若x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
12．已知p： eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(x－1,3))) ≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，则m的取值范围为________.
[能力提升]
13．(多选)若“存在x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) ，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能是( )
A． eq \f(3,2) B．2 eq \r(2)
C．3 D． eq \f(9,2)
14．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－5，＋∞) D．(－∞，－3)
15．[2023·新课标Ⅰ卷]设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n))) 为等差数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
16．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
专练2 常用逻辑用语
1．D 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p的否定为“∃x≥1，2x－lg2x＜1”．故选D.
2．B 甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cs2β，等价于sinα＝±cs β，所以由甲不能推导出sin α＋cs β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cs β＝0，得sin α＝－cs β，平方可得sin2α＝cs2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B.
3．C an＝qn－1，
当0所以数列{an}单调递减，故充分性成立，
若数列{an}单调递减，则0< eq \f(an＋1,an) <1，即0所以0故选C.
4．B 由x2－5x<0可得05．B 当a＝0时，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R；
当a≠0时，由不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R知，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4a2－4a<0，)) 得0∴当0≤a<1时不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R，
即p：0≤a<1，又(0，1)[0，1).
∴p是q的必要不充分条件．
6．B 由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，由函数y＝2x＋m－1有零点，则m<1，由函数y＝lgmx在(0，＋∞)上是减函数，得07．B p：xa＋3，q：x≤－1或x≥ eq \f(1,2) ，
¬p：a－3≤x≤a＋3.
因为¬p是q的充分不必要条件，
所以a＋3≤－1或a－3≥ eq \f(1,2) ，
得a∈(－∞，－4]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞)) .
8．A | eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) |＝| eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) |两边平方得到 eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2＋2 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2－2 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ，得 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝0，即 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，故△ABC为直角三角形，充分性成立；若△ABC为直角三角形，当∠B或∠C为直角时，| eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) |≠| eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) |，必要性不成立．故选A.
9．ABC 根据指数函数的性质可得ex>0，故A错误；x＝2时，2x>x2不成立，故B错误；当a＝b＝0时， eq \f(a,b) 没有意义，故C错误；因为“x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题为“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故D正确．故选ABC.
10．②③
解析：要使函数f(x)＝sin x＋ eq \f(1,sin x) 有意义，则有sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝sin (－x)＋ eq \f(1,sin （－x）) ＝－sin x－ eq \f(1,sin x) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,sin x))) ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，
∴①是假命题，②是真命题．
对于③，要证f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(π,2) 对称，只需证f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)) .
∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)) ＋ eq \f(1,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)))
＝cs x＋ eq \f(1,cs x) ，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)) ＋ eq \f(1,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)))
＝cs x＋ eq \f(1,cs x) ，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)) ，∴③是真命题．
令sin x＝t，－1≤t≤1且t≠0，∴g(t)＝t＋ eq \f(1,t) ，－1≤t≤1且t≠0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题．
综上所述，所有真命题的序号是②③.
11．(－∞，－3]
解析：由x2＋x－6<0得－3即：A＝(－3，2)，
由x－a>0，得x>a，即：B＝(a，＋∞)，
由题意得(－3，2)(a，＋∞)，∴a≤－3.
12．[9，＋∞)
解析：由 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(x－1,3))) ≤2，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m，
设p，q表示的范围为集合P，Q，则
P＝{x|－2≤x≤10}，
Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
因为p是q的充分而不必要条件，所以PQ.
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m≥10，)) 解得m≥9.
13．AB 因为“存在x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) ，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，所以对任意x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) ，2x2－λx＋1≥0恒成立，即2x＋ eq \f(1,x) ≥λ对任意x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) 恒成立．因为2x＋ eq \f(1,x) ≥2 eq \r(2) (当且仅当x＝ eq \f(\r(2),2) 时，等号成立)，所以λ≤2 eq \r(2) .故选AB.
14．A 方法一 设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.
方法二 令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C；
同理，取a＝－4，排除D.故选A.
15．C 若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d，所以 eq \f(Sn,n) ＝a1＋(n－1)· eq \f(d,2) ，所以 eq \f(Sn＋1,n＋1) － eq \f(Sn,n) ＝a1＋(n＋1－1)· eq \f(d,2) －[a1＋(n－1)· eq \f(d,2) ]＝ eq \f(d,2) ，为常数，所以{ eq \f(Sn,n) }为等差数列，即甲⇒乙；若{ eq \f(Sn,n) }为等差数列，设其公差为t，则 eq \f(Sn,n) ＝ eq \f(S1,1) ＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{an}为等差数列，即甲⇐乙．所以甲是乙的充要条件，故选C.
16．[0，3]
解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10.
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.又∵S≠∅，如图所示．
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m,1－m≥－2,1＋m≤10)) ，∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].