新高考数学一轮复习微专题专练04基本不等式（含详解）

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一、选择题
1．函数y＝2x＋ eq \f(2,2x) 的最小值为( )
A．1 B．2
C．2 eq \r(2) D．4
2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则 eq \f(1,ab) 的最小值为( )
A．2 B． eq \f(1,2)
C．4 D． eq \f(1,4)
3．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lg x＋ eq \f(1,lg x) ≥2
B．当x∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 时，sin x＋ eq \f(4,sin x) 的最小值为4
C．当x>0时， eq \r(x) ＋ eq \f(1,\r(x)) ≥2
D．当04．下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2ab
C．a＋b≥2 eq \r(|ab|) D．a＋b≥－2 eq \r(|ab|)
5．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则 eq \f(xy,2x＋y) 的最大值为( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,5)
C． eq \f(1,9) D． eq \f(1,12)
6．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，则ab＋bc＋ac的最大值为( )
A．8 B．4
C．2 D．1
7．若直线 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)，a与b相互垂直，则9x＋3y的最小值为( )
A．12 B．2
C．3 D．6
9．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( )
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
二、填空题
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋ eq \f(1,8b) 的最小值为________.
11．已知函数f(x)＝4x＋ eq \f(a,x) (x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
12．[2023·山东聊城一中高三测试]已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
[能力提升]
13．[2023·合肥一中高三测试]若a，b都是正数，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b))) 的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
14．(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥ eq \f(1,2)
B．2a－b＞ eq \f(1,2)
C．lg2a＋lg2b≥－2
D． eq \r(a) ＋ eq \r(b) ≤ eq \r(2)
15．(多选)已知a，b，c为正实数，则( )
A．若a＞b，则 eq \f(a,b) ＜ eq \f(a＋c,b＋c)
B．若a＋b＝1，则 eq \f(b2,a) ＋ eq \f(a2,b) 的最小值为1
C．若a＞b＞c，则 eq \f(1,a－b) ＋ eq \f(1,b－c) ≥ eq \f(4,a－c)
D．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2的最小值为3
16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
专练4 基本不等式
1．C 因为2x>0，所以y＝2x＋ eq \f(2,2x) ≥2 eq \r(2x·\f(2,2x)) ＝2 eq \r(2) ，当且仅当2x＝ eq \f(2,2x) ，即x＝ eq \f(1,2) 时取“＝”．故选C.
2．B ∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2 eq \r(2ab) (当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴03．C 当x∈(0，1)时，lg x<0，故A不成立，对于B中sin x＋ eq \f(4,sin x) ≥4，当且仅当sin x＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B不正确；D中y＝x－ eq \f(1,x) 在(0，2]上单调递增，故当x＝2时，y有最大值，故D不正确；又 eq \r(x) ＋ eq \f(1,\r(x)) ≥2 eq \r(\r(x)·\f(1,\r(x))) ＝2(当且仅当 eq \r(x) ＝ eq \f(1,\r(x)) 即x＝1时等号成立).故C正确．
4．B 对于A，C，D，当a＝0，b＝－1时，a2＋b2＞2ab，a＋b＜2 eq \r(ab) ，a＋b＜－2 eq \r(|ab|) ，故A，C，D错误；对于B，因为a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a|·|b|＝2|ab|≥－2ab，所以B正确．故选B.
5．C x＋2y＝1⇒y＝ eq \f(1－x,2) ，则 eq \f(xy,2x＋y) ＝ eq \f(x－x2,3x＋1) .
∵x>0，y>0，x＋2y＝1，
∴0设3x＋1＝t(1原式＝ eq \f(－t2＋5t－4,9t) ＝ eq \f(5,9) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,9)＋\f(4,9t))) ≤ eq \f(5,9) －2 eq \r(\f(4,81)) ＝ eq \f(1,9) ，
当且仅当 eq \f(t,9) ＝ eq \f(4,9t) ，即t＝2，x＝ eq \f(1,3) ，y＝ eq \f(1,3) 时，取等号，则 eq \f(xy,2x＋y) 的最大值为 eq \f(1,9) ，故选C.
6．B ∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2＝4.
7．C 因为直线 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝1.所以a＋b＝(a＋b)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b))) ＝2＋ eq \f(a,b) ＋ eq \f(b,a) ≥2＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a)) ＝4，当且仅当 eq \f(a,b) ＝ eq \f(b,a) 即a＝b＝2时取“＝”，故选C.
8．D ∵a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(4，y)＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，
∴9x＋3y＝32x＋3y≥2 eq \r(32x＋y) ＝2 eq \r(32) ＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，∴9x＋3y的最小值为6.
9．C 设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x＞0，y＞0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤ eq \f(（x＋y）2,4) ＝ eq \f(42,4) ＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.
10. eq \f(1,4)
解析：∵a－3b＋6＝0，∴ a－3b＝－6，∴ 2a＋ eq \f(1,8b) ＝2a＋2－3b≥2 eq \r(2a·2－3b) ＝2 eq \r(2a－3b) ＝2 eq \r(2－6) ＝ eq \f(1,4) .当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋ eq \f(1,8b) 取得最小值为 eq \f(1,4) .
11．36
解析：∵x>0，a>0，∴4x＋ eq \f(a,x) ≥2 eq \r(4x·\f(a,x)) ＝4 eq \r(a) ，
当且仅当4x＝ eq \f(a,x) ，即：x＝ eq \f(\r(a),2) 时等号成立，由 eq \f(\r(a),2) ＝3，a＝36.
12．2＋ eq \r(3)
解析：由3a＋b＝2ab，得 eq \f(3,2b) ＋ eq \f(1,2a) ＝1，
∴a＋b＝(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2b)＋\f(1,2a))) ＝2＋ eq \f(b,2a) ＋ eq \f(3a,2b) ≥2＋2 eq \r(\f(b,2a)·\f(3a,2b)) ＝2＋ eq \r(3) (当且仅当 eq \f(b,2a) ＝ eq \f(3a,2b) 即b＝ eq \r(3) a时等号成立).
13．C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b))) ＝5＋ eq \f(b,a) ＋ eq \f(4a,b) ≥5＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b)) ＝9(当且仅当 eq \f(b,a) ＝ eq \f(4a,b) 即b＝2a时等号成立).
14．ABD 对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥ eq \f(1,2) ，正确；对于选项B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝ eq \f(1,2) ，正确；对于选项C，令a＝ eq \f(1,4) ，b＝ eq \f(3,4) ，则lg2 eq \f(1,4) ＋lg2 eq \f(3,4) ＝－2＋lg2 eq \f(3,4) ＜－2，错误；对于选项D，∵ eq \r(2) ＝ eq \r(2（a＋b）) ，∴[ eq \r(2（a＋b）) ]2－( eq \r(a) ＋ eq \r(b) )2＝a＋b－2 eq \r(ab) ＝( eq \r(a) － eq \r(b) )2≥0，∴ eq \r(a) ＋ eq \r(b) ≤ eq \r(2) ，正确．故选ABD.
15．BCD 因为a>b，所以 eq \f(a,b) － eq \f(a＋c,b＋c) ＝ eq \f(c（a－b）,b（b＋c）) ＞0，所以 eq \f(a,b) ＞ eq \f(a＋c,b＋c) ，选项A不正确；因为a＋b＝1，所以 eq \f(b2,a) ＋ eq \f(a2,b) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a)＋a)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,b)＋b)) －(a＋b)≥2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝1，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2) 时取等号，所以 eq \f(b2,a) ＋ eq \f(a2,b) 的最小值为1，故选项B正确；
因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c))) ＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（a－b）＋（b－c）)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))
＝2＋ eq \f(b－c,a－b) ＋ eq \f(a－b,b－c) ≥2＋2 eq \r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c)) ＝4，当且仅当b－c＝a－b时取等号，所以 eq \f(1,a－b) ＋ eq \f(1,b－c) ≥ eq \f(4,a－c) ，故选项C正确；
因为a2＋b2＋c2＝ eq \f(1,3) [(a2＋b2＋c2)＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)]≥ eq \f(1,3) (a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝ eq \f(1,3) [(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2]＝ eq \f(1,3) (a＋b＋c)2＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，所以a2＋b2＋c2的最小值为3，故选项D正确．
16．30
解析：一年的总运费为6× eq \f(600,x) ＝ eq \f(3 600,x) (万元).
一年的总存储费用为4x万元．
总运费与总存储费用的和为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3 600,x)＋4x)) 万元．
因为 eq \f(3 600,x) ＋4x≥2 eq \r(\f(3 600,x)·4x) ＝240，当且仅当 eq \f(3 600,x) ＝4x，即x＝30时取得等号，
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．