新高考数学一轮复习微专题专练10指数与指数函数（含详解）

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一、选择题
1．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
2．已知函数g(x)＝3x＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞)
3．若a2x＝ eq \r(2) －1，则 eq \f(a3x＋a－3x,ax＋a－x) 等于( )
A．2 eq \r(2) －1 B．2－2 eq \r(2)
C．2 eq \r(2) ＋1 D． eq \r(2) ＋1
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝( )
A． eq \f(1,2) B．2
C．4 D． eq \f(1,4)
5．函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．06．已知，则( )
A．aC．c7．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
8．函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(1－x2) 的单调减区间为( )
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－1，1)
9．(多选)已知函数f(x)＝22x－2x＋1＋2的定义域为M，值域为[1，2]，则下列结论中一定正确的是( )
A．M＝[0，2] B．M⊆(－∞，1]
C．0∈M D．1∈M
二、填空题
10. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8))) eq \s\up12(－\f(2,3)) ＋(0.002)－ eq \f(1,2) －10( eq \r(5) －2)－1＋( eq \r(2) － eq \r(3) )0的值为________.
11．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.
12．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________.
[能力提升]
13．(多选)[2023·黑龙江省六校阶段联考]若2a＋1＝3，2b＝ eq \f(8,3) ，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝3 B．b－a＜1
C． eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＞2 D．ab＞ eq \f(3,4)
14．若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln (y－x＋1)>0 B．ln (y－x＋1)<0
C．ln |x－y|>0 D．ln |x－y|<0
15．已知常数a>0，函数f(x)＝ eq \f(2x,2x＋ax) 的图象经过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p，\f(6,5))) 、Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q，－\f(1,5))) .若2p＋q＝36pq，则a＝________.
16．已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，则m的取值范围是________．
专练10 指数与指数函数
1．C 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－3a＋3＝1，,a>0，,a≠1，)) 得a＝2.
2．A 若函数g(x)＝3x＋t的图象不经过第二象限，则当x＝0时，g(x)≤0，即30＋t≤0，解得t≤－1.故选A.
3．A eq \f(a3x＋a－3x,ax＋a－x) ＝a2x＋a－2x－1＝ eq \r(2) －1＋ eq \f(1,\r(2)－1) －1＝ eq \r(2) －1＋ eq \r(2) ＋1－1＝2 eq \r(2) －1.
4．B ∵y＝ax在[0，1]上单调，∴a0＋a1＝3，得a＝2.
5．D 由f(x)＝ax－b的图象知00，∴b<0.
6．D ∵y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up12(x) 为减函数，∴bc，∴b7．B 设2x＝t(t>0)，∴y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2，
又y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上单调递增，∴y>1，
∴所求函数的值域为(1，＋∞).
8．C 由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0).
9．BCD 由f(x)＝22x－2x＋1＋2＝(2x－1)2＋1∈[1，2]，得(2x－1)2∈[0，1]，则2x－1∈[－1，1]，所以2x∈[0，2]，所以x∈(－∞，1].当函数f(x)取得最小值1时，可得x＝0，所以0∈M，故C正确；当函数f(x)取得最大值2时，可得x＝1，所以1∈M，故D正确；由上分析知，M⊆(－∞，1]，故B正确；因为f(2)＝10∉[1，2]，所以M＝[0，2]不成立，故A错误．故选BCD.
10．－ eq \f(167,9)
解析：原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8))) eq \s\up12(－\f(2,3)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,500))) eq \s\up12(－\f(1,2)) － eq \f(10,\r(5)－2) ＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,27))) eq \s\up12(\f(2),3) ＋500 eq \f(1,2) －10( eq \r(5) ＋2)＋1＝ eq \f(4,9) ＋10 eq \r(5) －10 eq \r(5) －20＋1＝－ eq \f(167,9) .
11．－ eq \f(3,2)
解析：①当0即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝0，,a0＋b＝－1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝－2，)) 此时a＋b＝－ eq \f(3,2) .
②当a>1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递增，由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）＝－1，,f（0）＝0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝－1，,a0＋b＝0，)) 显然无解，所以a＋b＝－ eq \f(3,2) .
12．1
解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝1，所以函数f(x)＝2|x－1|的图象如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1.
13．BCD 由2a＋1＝3，2b＝ eq \f(8,3) ，得2a＋1·2b＝8，所以a＋1＋b＝3，则a＋b＝2，故A不正确．
又2a＋1＝2·2a＝3，所以 eq \r(2) ＜2a＝ eq \f(3,2) ＜2，所以b＞1＞a＞ eq \f(1,2) .因为 eq \f(2b,2a) ＝2b－a＝ eq \f(16,9) ＜2，所以b－a＜1，故B正确；
eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \f(a＋b,ab) ＝ eq \f(2,ab) ，因为0＜ab＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) ＝1，
所以 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \f(2,ab) ＞2，故C正确；
ab＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，因为 eq \f(1,2) ＜a＜1，所以－(a－1)2＋1∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1)) ，
所以ab＞ eq \f(3,4) ，故D正确．
综上所述，选BCD.
14．A 因为2x－2y<3－x－3－y，所以2x－3－x<2y－3－y.设f(x)＝2x－3－x，则f′(x)＝2x ln 2－3－x×ln 3×(－1)＝2x ln 2＋3－xln 3，易知f′(x)>0，所以f(x)在R上为增函数．由2x－3－x<2y－3－y得x1，所以ln (y－x＋1)>0，故选A.
15．6
解析：由题意得f(p)＝ eq \f(6,5) ，f(q)＝－ eq \f(1,5) ，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2p,2p＋ap)＝\f(6,5)，①,\f(2q,2q＋aq)＝－\f(1,5)，②))
①＋②，
得 eq \f(2p（2q＋aq）＋2q（2p＋ap）,（2p＋ap）（2q＋aq）) ＝1，
整理得2p＋q＝a2pq，又2p＋q＝36pq，
∴36pq＝a2pq，又pq≠0，
∴a2＝36，∴a＝6或a＝－6，又a>0，得a＝6.
16. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
解析：设t＝2x，则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.
因为x∈[－2，2]，所以t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4)) .
又函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，
即y＝t2＋mt－2在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4)) 上单调递增，
故有－ eq \f(m,2) ≤ eq \f(1,4) ，解得m≥－ eq \f(1,2) .
所以m的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) .