新高考数学一轮复习微专题专练24平面向量基本定理及坐标表示（含详解）

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一、选择题
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
2．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量 eq \f(1,2) a－ eq \f(3,2) b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
3．已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，c(－1，1).若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，则m＋n等于( )
A． eq \f(1,4) B．1
C．－ eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,2)
4．设 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(1，－2)， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(a，－1)， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) 的最小值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝－3a，则点N的坐标为( )
A．(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
6．已知向量m＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin A，\f(1,2))) 与向量n＝(3，sin A＋ eq \r(3) cs A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,2)
7．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是( )
A．2 eq \r(6) B． eq \f(25,12) C． eq \f(25,24) D． eq \f(25,6)
8．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B．(－6，8)
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(8,5))) D．(6，－8)
9．正三角形ABC的内切圆圆心为Q，点P为圆Q上任意一点．若 eq \(QP,\s\up6(→)) ＝m eq \(QC,\s\up6(→)) ＋n eq \(QA,\s\up6(→)) ，则m＋n的取值范围是( )
A．[－1，1] B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))) D．[－ eq \r(2) ， eq \r(2) ]
二、填空题
10．[2022·全国甲卷(文)，13]已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．
11．已知 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(2 eq \r(3) ，0)， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(0，2)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝t eq \(AB,\s\up6(→)) ，t∈R，当| eq \(OC,\s\up6(→)) |最小时，t＝________．
12．已知△ABC和点M满足 eq \(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MC,\s\up6(→)) ＝0，若存在实数m，使得 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝m eq \(AM,\s\up6(→)) 成立，则m＝________．
[能力提升]
13．已知在Rt△ABC中，A＝ eq \f(π,2) ，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设 eq \(AQ,\s\up6(→)) ＝a eq \(AB,\s\up6(→)) ＋b eq \(AC,\s\up6(→)) ，则a＋b的最大值为( )
A． eq \f(13,12) B． eq \f(5,4)
C． eq \f(17,12) D． eq \f(19,12)
14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若 eq \(CA,\s\up6(→)) ＝λ eq \(CE,\s\up6(→)) ＋μ eq \(DB,\s\up6(→)) (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A． eq \f(6,5) B． eq \f(8,5)
C．2 D． eq \f(8,3)
15．(多选)已知向量m＝(1，0)，n＝( eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) )，则( )
A．|m|＝ eq \r(2) |n|
B．(m－n)∥n
C．(m－n)⊥n
D．m与－n的夹角为 eq \f(3π,4)
16．如图，已知平面内有三个向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 、 eq \(OB,\s\up6(→)) 、 eq \(OC,\s\up6(→)) ，其中 eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OB,\s\up6(→)) 的夹角为120°， eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OC,\s\up6(→)) 的夹角为30°，且| eq \(OA,\s\up6(→)) |＝| eq \(OB,\s\up6(→)) |＝1，| eq \(OC,\s\up6(→)) |＝2 eq \r(3) .若 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝λ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋μ eq \(OB,\s\up6(→)) (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
专练24 平面向量基本定理及坐标表示
1．D 选项A中，设e1＋e2＝λe1，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝0)) 无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,－2＝2λ)) 无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝－λ)) 无解；
选项D中，e1＋3e2＝ eq \f(1,2) (6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．
2．D eq \f(1,2) a－ eq \f(3,2) b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3,2))) ＝(－1，2).
3．C ∵a＋b＝(3，1＋x)，b－c＝(2，x－1)，
∵(a＋b)∥(b－c)，∴3(x－1)＝2(x＋1)，
得x＝5，∴b＝(1，5)，又c＝ma＋nb，
∴(－1，1)＝m(2，1)＋n(1，5)
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋n＝－1，,m＋5n＝1，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(2,3)，,n＝\f(1,3)，))
∴m＋n＝－ eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,3) ＝－ eq \f(1,3) .
4．D ∵ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(a－1，1)， eq \(CB,\s\up6(→)) ＝(a＋b，－1)，
∵A，B，C三点共线，
∴(a－1)×(－1)＝1×(a＋b)，∴2a＋b＝1，
又a＞0，b＞0，
∴ eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b))) (2a＋b)＝4＋ eq \f(b,a) ＋ eq \f(4a,b) ≥4＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b)) ＝8(当且仅当 eq \f(b,a) ＝ eq \f(4a,b) 即a＝ eq \f(1,4) ，b＝ eq \f(1,2) 时等号成立)
5．A 设点N的坐标为(x，y)，则 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝(x－5，y＋6)
又 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝－3a＝(－3，6)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－5＝－3，,y＋6＝6，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0.))
6．C ∵m∥n，∴sin A(sin A＋ eq \r(3) cs A)－ eq \f(3,2) ＝0，
∴2sin2A＋2 eq \r(3) sinA cs A＝3.
可化为1－cs 2A＋ eq \r(3) sin 2A＝3，∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6))) ＝1.
∵A∈(0，π)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6))) ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11π,6))) .
因此2A－ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,2) ，解得A＝ eq \f(π,3) .故选C.
7．C ∵a∥b，∴3y－5＝－2x，∴2x＋3y＝5，
又x，y均为正数，∴5＝2x＋3y≥2 eq \r(2x·3y) ＝2 eq \r(6xy) ，(当且仅当2x＝3y，即：x＝ eq \f(5,4) ，y＝ eq \f(5,6) 时等号成立)，
∴xy≤ eq \f(25,24) ，故选C.
8．D 由题意不妨设b＝(－3m，4m)(m