新高考数学一轮复习微专题专练31等比数列及其前n项和（含详解）

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一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝( )
A． eq \r(2) B．2
C． eq \r(5) D．3
2．已知等比数列{an}满足a1＝ eq \f(1,8) ，4a2a4＝4a3－1，则a2＝( )
A．± eq \f(1,4) B． eq \f(1,4)
C．± eq \f(1,16) D． eq \f(1,16)
3．等比数列{an}中，若an>0，a2a4＝1，a1＋a2＋a3＝7，则公比q＝( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2)
C．2 D．4
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝( )
A．7 B．8
C．15 D．16
5．设{an}是公比为q＞1的等比数列，若a2 010和a2 011是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 012＋a2 013＝( )
A．18 B．10
C．25 D．9
6．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－ eq \f(8,9) ，则当Tn取得最大值时，n的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
7．[2022·全国乙卷(理)，8]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12
C．6 D. 3
8．[2023·新课标Ⅱ卷]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )
A．120 B．85
C．－85 D．－120
9．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是( )
A．{an}为单调递增数列
B． eq \f(S6,S3) ＝9
C．S3，S6，S9成等比数列
D．Sn＝2an－a1
二、填空题
10．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝ eq \f(7,4) ，S6＝ eq \f(63,4) ，则a8＝________．
11．[2023·全国乙卷(理)]已知 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.
12．设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________．
[能力提升]
13．[2023·全国甲卷(理)]设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝( )
A． eq \f(15,8) B． eq \f(65,8)
C．15 D．40
14．设首项为1，公比为 eq \f(2,3) 的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
15．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝ eq \f(1,3) ，a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝a6，则S5＝________．
16．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
专练31 等比数列及其前n项和
1．B 由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－q6）,1－q)＝9×\f(a1（1－q3）,1－q)，,\f(a1（1－q5）,1－q)＝62，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q3＝8，,\f(a1（1－q5）,1－q)＝62，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q＝2，,a1＝2，)) 选B.
2．A 因为4a2a4＝4a3－1，所以4a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) q4＝4a1q2－1，又a1＝ eq \f(1,8) ，解得q＝±2，所以a2＝a1·q＝ eq \f(1,8) ×(±2)＝± eq \f(1,4) .故选A.
3．B 由等比数列的性质得a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝a2a4＝1，结合an>0，得a3＝1.由a1＋a2＋a3＝7，得 eq \f(a3,q2) ＋ eq \f(a3,q) ＋a3＝7，则 eq \f(1,q2) ＋ eq \f(1,q) ＝6，结合q>0，得q＝ eq \f(1,2) ，故选B.
4．C ∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴4a2＝4a1＋a3.又{an}为等比数列，∴4q＝4＋q2，∴q＝2.又a1＝1，
∴S4＝ eq \f(a1（1－q4）,1－q) ＝ eq \f(1－24,1－2) ＝15.
5．A 由题意可得：a2010＝ eq \f(1,2) ，a2011＝ eq \f(3,2) ，又{an}为等比数列，∴q＝3.
∴a2012＋a2013＝ eq \f(9,2) ＋ eq \f(27,2) ＝18.
6．C 设等比数列{an}的公比为q，则a4＝－24q3＝－ eq \f(8,9) ，q3＝ eq \f(1,27) ，q＝ eq \f(1,3) ，此等比数列各项均为负数，当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B，而T2＝(－24)2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) ＝24×8＝192，
T4＝(－24)4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(6) ＝84× eq \f(1,9) ＝ eq \f(84,9) ＞192，
T6＝(－24)6× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(15) ＝86× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(9) ＝ eq \f(86,39) ＝ eq \f(1,9) × eq \f(86,37) ＜ eq \f(84,9) ，T4最大，故选C.
7．D 设等比数列{an}的公比为q.由题意知， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a2,q)＋a2＋a2q＝168，,a2－a2q3＝42.)) 两式相除，得 eq \f(1＋q＋q2,q（1－q3）) ＝4，解得q＝ eq \f(1,2) .代入a2－a2q3＝42，得a2＝48，所以a6＝a2q4＝3.故选D.
8．C 方法一 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－q4）,1－q)＝－5,\f(a1（1－q6）,1－q)＝21×\f(a1（1－q2）,1－q))) ，化简整理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q2＝4,\f(a1,1－q)＝\f(1,3))) .所以S8＝ eq \f(a1（1－q8）,1－q) ＝ eq \f(1,3) ×(1－44)＝－85.故选C.
方法二 易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝ eq \f(5,4) .当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝ eq \f(5,4) 时，结合S4＝－5得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－q4）,1－q)＝－5,\f(a1（1－q2）,1－q)＝\f(5,4))) ，化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85，故选C.
9．BD 由a6＝8a3，可得q3a3＝8a3，则q＝2，
当首项a1＜0时，可得{an}为单调递减数列，故A错误；
由 eq \f(S6,S3) ＝ eq \f(1－26,1－23) ＝9，故B正确；
假设S3，S6，S9成等比数列，可得S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝S3S9，
即(1－26)2＝(1－23)(1－29)，显然不成立，
所以S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；
由{an}是公比q的等比数列，可得Sn＝ eq \f(a1－anq,1－q) ＝ eq \f(2an－a1,2－1) ＝2an－a1，故D正确．
10．32
解析：设{an}的首项为a1，公比为q，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－q3）,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a1（1－q6）,1－q)＝\f(63,4)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))
所以a8＝ eq \f(1,4) ×27＝25＝32.
11．－2
解析：方法一 设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1 ①.又a9a10＝a1q8·a1q9＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) q17＝－8 ②，所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.
方法二 设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.
12．－8
解析：由{an}为等比数列，设公比为q.
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a2＝－1，,a1－a3＝－3，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1q＝－1， ①,a1－a1q2＝－3， ②))
显然q≠1，a1≠0，
eq \f(②,①) 得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，
所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
13．C 方法一 若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由 eq \f(1－q5,1－q) ＝5× eq \f(1－q3,1－q) －4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝ eq \f(1－q4,1－q) ＝15.故选C.
方法二 由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.
14．D ∵a1＝1，q＝ eq \f(2,3) ，
∴Sn＝ eq \f(a1（1－qn）,1－q) ＝3 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(n))) ＝3－2· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－1) ＝3－2an.
15. eq \f(121,3)
解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝ eq \f(1,3) ，所以q＝3，所以S5＝ eq \f(a1（1－q5）,1－q) ＝ eq \f(\f(1,3)×（1－35）,1－3) ＝ eq \f(121,3) .
优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝ eq \f(1,3) ，所以q＝3，所以S5＝ eq \f(a1（1－q5）,1－q) ＝ eq \f(\f(1,3)×（1－35）,1－3) ＝ eq \f(121,3) .
16．64
解析：设等比数列{an}的公比为q，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a3＝10，,a2＋a4＝5，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1q2＝10，,a1q＋a1q3＝5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))
∴a1a2…an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(（－3）＋（－2）＋…＋（n－4）)
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1,2)n（n－7）)
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))2)－\f(49,4))) ，
当n＝3或4时， eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))\s\up12(2)－\f(49,4))) 取到最小值－6，此时 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))2)－\f(49,4))) 取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.