新高考数学一轮复习微专题专练45椭圆（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习微专题专练45椭圆（含详解），共6页。

一、选择题
1．椭圆 eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,6) ＝1上一点M到其中一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆 eq \f(x2,3) ＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为( )
A．2 eq \r(3) B．4 eq \r(3)
C．6 D．12
3．已知椭圆 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的离心率为 eq \f(1,2) ，则( )
A.a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
4．[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F2是椭圆C： eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,4) ＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12
C．9 D．6
5．已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,4) ＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(2\r(2),3)
6．[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C1： eq \f(x2,a2) ＋y2＝1(a>1)，C2： eq \f(x2,4) ＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝ eq \r(3) e1，则a＝( )
A． eq \f(2\r(3),3) B． eq \r(2)
C． eq \r(3) D． eq \r(6)
7．[2023·全国甲卷(理)]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,6) ＝1的两个焦点，点P在C上，cs ∠F1PF2＝ eq \f(3,5) ，则|OP|＝( )
A． eq \f(13,5) B． eq \f(\r(30),2)
C． eq \f(14,5) D． eq \f(\r(35),2)
8．设椭圆 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或 eq \f(3,2)
C． eq \f(3,2) D．6或3
9．[2022·全国甲卷(理)，10]椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为 eq \f(1,4) ，则C的离心率为( )
A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)
二、填空题
10．若方程 eq \f(x2,5－k) ＋ eq \f(y2,k－3) ＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．
12．已知F1，F2是椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
[能力提升]
13．[2022·全国甲卷(文)，11]已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的离心率为 eq \f(1,3) ，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为( )
A． eq \f(x2,18) ＋ eq \f(y2,16) ＝1 B． eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,8) ＝1
C． eq \f(x2,3) ＋ eq \f(y2,2) ＝1 D． eq \f(x2,2) ＋y2＝1
14．[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C： eq \f(x2,3) ＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝( )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(\r(2),3)
C．－ eq \f(\r(2),3) D．－ eq \f(2,3)
15．F1，F2是椭圆 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
16．[2022·新高考Ⅰ卷，16]已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为 eq \f(1,2) .过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．
专练45 椭圆
1．D ∵a＝4，由椭圆的定义知，M到另一个焦点的距离为2a－3＝2×4－3＝5.
2．B 由椭圆的方程得a＝ eq \r(3) .设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 eq \r(3) .
3．B 由题意得， eq \f(c,a) ＝ eq \f(1,2) ，∴ eq \f(c2,a2) ＝ eq \f(1,4) ，又a2＝b2＋c2，∴ eq \f(a2－b2,a2) ＝ eq \f(1,4) ， eq \f(b2,a2) ＝ eq \f(3,4) ，∴4b2＝3a2.故选B.
4．C 由题，a2＝9，b2＝4，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)) ＝2a＝6，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1)) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)) ≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)),2))) 2＝9(当且仅当 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)) ＝3时，等号成立).
故选C.
5．C 由题可知椭圆的焦点落在x轴上，c＝2，
∴a2＝4＋c2＝8，∴a＝2 eq \r(2) ，∴e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(2,2\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) .
6．A 方法一 由已知得e1＝ eq \f(\r(a2－1),a) ，e2＝ eq \f(\r(4－1),2) ＝ eq \f(\r(3),2) ，因为e2＝ eq \r(3) e1，所以 eq \f(\r(3),2) ＝ eq \r(3) × eq \f(\r(a2－1),a) ，得a＝ eq \f(2\r(3),3) .故选A.
方法二 若a＝ eq \f(2\r(3),3) ，则e1＝ eq \f(\r(a2－1),a) ＝ eq \f(\r(（\f(2\r(3),3)）2－1),\f(2\r(3),3)) ＝ eq \f(1,2) ，又e2＝ eq \f(\r(3),2) ，所以e2＝ eq \r(3) e1，所以a＝ eq \f(2\r(3),3) 符合题意．故选A.
7．B
方法一 依题意a＝3，b＝ eq \r(6) ，c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(3) .如图，不妨令F1(－ eq \r(3) ，0)，F2( eq \r(3) ，0).设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs ∠F1PF2＝ eq \f(m2＋n2－12,2mn) ＝ eq \f(3,5) ①，
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝ eq \f(15,2) .
设|OP|＝x.
在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理得 eq \f(x2＋3－m2,2\r(3)x) ＝－ eq \f(x2＋3－n2,2\r(3)x) ，
得x2＝ eq \f(m2＋n2－6,2) ＝ eq \f(（m＋n）2－2mn－6,2) ＝ eq \f(15,2) ，所以|OP|＝ eq \f(\r(30),2) .
方法二 依题意a＝3，b＝ eq \r(6) ，c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(3) .
如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，α＝∠F1PF2，
则cs ∠F1PF2＝cs α＝ eq \f(3,5) ，
故sin ∠F1PF2＝sin α＝ eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2)) ＝ eq \f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)) ＝ eq \f(4,5) ，则tan eq \f(α,2) ＝ eq \f(1,2) 或tan eq \f(α,2) ＝2(舍去).
故△F1PF2的面积S△F1PF2＝b2tan eq \f(α,2) ＝6× eq \f(1,2) ＝3.
又S△F1PF2＝ eq \f(1,2) ×2c|y0|＝ eq \r(3) |y0|，
故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，又 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6) ＝1，
所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(9,2) ，|OP|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(15,2) ，|OP|＝ eq \f(\r(30),2) .
方法三 依题意a＝3，b＝ eq \r(6) ，c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(3) .
如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，利用焦点三角形面积公式知S△F1PF2＝ eq \f(b2sin α,1＋cs α) .
因为cs ∠F1PF2＝ eq \f(3,5) ，所以sin ∠F1PF2＝ eq \f(4,5) ，故S△F1PF2＝ eq \f(6×\f(4,5),1＋\f(3,5)) ＝3.又S△F1PF2＝ eq \f(1,2) ×2c|y0|＝ eq \r(3) |y0|，故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，
又 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6) ＝1，所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(9,2) ，|OP|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(15,2) ，|OP|＝ eq \f(\r(30),2) .
方法四 依题意a＝3，b＝ eq \r(6) ，c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(3) .
如图(图同方法一)，不妨令F1(－ eq \r(3) ，0)，F2( eq \r(3) ，0).
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs ∠F1PF2＝ eq \f(m2＋n2－12,2mn) ＝ eq \f(3,5) ①，
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝ eq \f(15,2) .
因为 eq \(PO,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) (PF1＋PF2)，
所以| eq \(PO,\s\up6(→)) |2＝ eq \f(1,4) (m2＋n2＋2mn cs ∠F1PF2)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（m＋n）2－\f(4,5)mn)) ＝ eq \f(15,2) ，所以|PO|＝ eq \f(\r(30),2) .
8．C 由已知a＝2，b＝ eq \r(3) ，c＝1，
若P为短轴的顶点(0， eq \r(3) )时，∠F1PF2＝60，△PF1F2为等边三角形，
∴∠P不可能为直角，
若∠F1＝90°，则|PF1|＝ eq \f(b2,a) ＝ eq \f(3,2) ，
S△PF1F2＝ eq \f(1,2) · eq \f(b2,a) ·2c＝ eq \f(3,2) .
9．A 设P(x1，y1)，则点Q的坐标为(－x1，y1).由题意，得点A(－a，0).又直线AP，AQ的斜率之积为 eq \f(1,4) ，所以 eq \f(y1,x1＋a) · eq \f(y1,－x1＋a) ＝ eq \f(1,4) ，即 eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝ eq \f(1,4) ①.又点P在椭圆C上，所以 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2) ＝1②.由①②，得 eq \f(b2,a2) ＝ eq \f(1,4) ，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(3),2) .故选A.
10．(3，4)∪(4，5)
解析：由题意可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3，))
解得3故k的取值范围为(3，4)∪(4，5).
11. eq \f(3,5)
解析：由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝ eq \f(3,5) 或e＝－1(舍去).
12．3
解析：如图，
∵PF1⊥PF2，
∴△PF1F2为直角三角形，
又△PF1F2的面积为9，
∴ eq \f(1,2) |PF1||PF2|＝9，
得|PF1||PF2|＝18，
在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，即2(a2－c2)＝|PF1||PF2|＝18，
得b2＝a2－c2＝9，∴b＝3.
13．B 由椭圆C的离心率为 eq \f(1,3) ，可得e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(\f(a2－b2,a2)) ＝ eq \f(1,3) .化简，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以·＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8a2＝9b2，,－a2＋b2＝－1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝8.)) 所以C的方程为 eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,8) ＝1.故选B.
14．C 由题意，F1(－ eq \r(2) ，0)，F2( eq \r(2) ，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即 eq \f(|－\r(2)＋m|,\r(2)) ＝2× eq \f(|\r(2)＋m|,\r(2)) ，解得m＝－ eq \f(\r(2),3) 或m＝－3 eq \r(2) (舍去)，故选C.
15. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
解析：设P0为椭圆 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1的上顶点，由题意得∠F1P0F2≥90°，
∴∠OP0F2≥45°，∴ eq \f(c,a) ≥sin 45°，∴e≥ eq \f(\r(2),2) ，
又016．13
解析：由题意知e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(1,2) ，所以a＝2c，b＝ eq \r(3) c，所以△AF1F2是等边三角形，所以DE垂直平分AF2，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长为|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF2|＋|EF2|.由椭圆的定义，可知|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c.因为直线DE的斜率k＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3) ，所以直线DE的方程为y＝ eq \f(\r(3),3) (x＋c)，即x＝ eq \r(3) y－c.由椭圆方程 eq \f(x2,4c2) ＋ eq \f(y2,3c2) ＝1，得3x2＋4y2＝12c2.将x＝ eq \r(3) y－c代入并整理，得13y2－6 eq \r(3) cy－9c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝ eq \f(6\r(3)c,13) ，y1y2＝－ eq \f(9c2,13) ，所以|DE|＝ eq \r(1＋\f(1,k2)) eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2) ＝ eq \r(1＋3) · eq \r(\f(108c2,169)＋\f(36c2,13)) ＝ eq \f(12,13) eq \r(3c2＋13c2) ＝ eq \f(48,13) c＝6，解得c＝ eq \f(13,8) .所以△ADE的周长是8c＝13.