新高考数学一轮复习微专题专练50二项式定理（含详解）

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一、选择题
1．(x＋1)6的展开式中的第二项为( )
A．6x B．15x2
C．6x5 D．15x4
2. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x3))) eq \s\up12(5) 的展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80
C．40 D．－40
3．(多选)已知(a＋2b)n的展开式中第6项的二项式系数最大，则n的值可能为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
4．若(x＋2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)－x)) eq \s\up12(5) 展开式中的常数项为80，则a＝( )
A．－2 B．2
C．±2 D．4
5．若(x－2y)6的展开式中的二项式系数和为S，x2y4的系数为P，则 eq \f(P,S) 为( )
A． eq \f(15,2) B． eq \f(15,4)
C．120 D．240
6．在二项式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(3,x))) eq \s\up12(n) 的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
7. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x))) (x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
8．设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，则S＝( )
A．(x－2)4 B．(x－1)4
C．x4 D．(x＋1)4
9．(多选)已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则( )
A．a0的值为2
B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D．a1＋a3＋a5的值为120
二、填空题
10．[2022·新高考Ⅰ卷，13] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y,x))) (x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答).
11．在二项式( eq \r(2) ＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.
12．在(x－ eq \f(1,x) )7的展开式中，系数最大的是第________项．
专练50 二项式定理
1．C
2．C 由二项展开式通项知Tk＋1＝(－2)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·(x2)5－k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x3))) eq \s\up12(k) ＝(－2)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) x10－5k，令10－5k＝0，得k＝2.
∴常数项为T3＝(－2)2C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝40.
3．BCD
4．B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)－x)) eq \s\up12(5) 的展开式的通项公式为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·(－1)k·a5－k·x2k－5，显然，2k－5为奇数，故(x＋2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)－x)) eq \s\up12(5) 展开式中的常数项为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ·a3＝80，所以a＝2.
5．B 由题意得S＝26＝64，P＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) (－2)4＝15×16＝240，∴ eq \f(P,S) ＝ eq \f(240,64) ＝ eq \f(15,4) .
6．B 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(3,x))) eq \s\up12(n) 的展开式中令x＝1，得A＝4n，各项二项式系数之和为B＝2n，由 4n＋2n＝72，得n＝3，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(3,x))) eq \s\up12(n) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(3,x))) eq \s\up12(3) ，其通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(3)) ( eq \r(x) )3－k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,x))) eq \s\up12(k) ＝3kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(3)) x eq \f(3－3k,2) ，令 eq \f(3－3k,2) ＝0，得k＝1，故展开式的常数项为T2＝3C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝9.
7．C 要求 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x))) (x＋y)5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出(x＋y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可，由二项式定理可得(x＋y)5的展开式中x2y3的系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝10，x4y的系数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ＝5，故 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x))) (x＋y)5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15.故选C.
8．C S＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) (x－1)4＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) (x－1)3＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) (x－1)2＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) (x－1)1＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) (x－1)0＝(x－1＋1)4＝x4.
9．ABC 对于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正确；对于B，(1－2x)5的展开式的通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) (－2x)k＝(－2)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) xk，所以a5＝2×(－2)5C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＋1×(－2)4C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) ＝－64＋80＝16，故B正确；对于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 ①，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故C正确；对于D，令x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6 ②，由①②解得a1＋a3＋a5＝－123，故D不正确．综上所述，选ABC.
10．－28
解析：(1－ eq \f(y,x) )(x＋y)8＝(x＋y)8－ eq \f(y,x) (x＋y)8，由二项式定理可知其展开式中x2y6的系数为C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(8)) －C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(8)) ＝－28.
11．16 eq \r(2) 5
解析：该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(9)) ( eq \r(2) )9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为( eq \r(2) )9＝16 eq \r(2) ；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.
12．5
解析：二项式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x))) eq \s\up12(7) 的展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(7)) ·x7－k·(－1)kx－k＝(－1)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(7)) x7－2k，故第k＋1项的系数为(－1)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(7)) ，当k＝0，2，4，6时，系数为正，因为C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(7))