2024湖南省长郡中学高一下学期寒假检测（开学考试）数学含解析

这是一份2024湖南省长郡中学高一下学期寒假检测（开学考试）数学含解析，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人： 审题人：
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
★1．命题“，都有”的否定是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，都有D．，都有
★2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．必要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递增的函数为（ ）
A．B．C．D．
★4．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．3D．
5．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），残余量占比与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：．
参考时间轴：
A．战国B．汉C．唐D．宋
6．已知奇函数在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期是B．曲线关于直线对称
C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上的最大值是
8．已知函数与函数的值域相同，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
★9．已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．与向量平行的单位向量仅有D．向量在向量上的投影向量为
10．某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为分钟．假设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系为，1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为米，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．，
D．若在这段时间内，恰有三次取得最大值，则的取值范围为
11．已知函数满足：，，都有成立，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数是偶函数
C．函数是周期函数
D．，，若，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．如图，在中，为边上的中线，为的中点，若，则______．
13．若，，则______．
14．我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象关于点成中心对称，则实数的值为______；若，则实数的取值范围是______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
化简求值：（1）；
（2）已知，求的值．
★16．（本小题满分15分）
已知函数是定义在区间上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式．
17．（本小题满分15分）
某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设．
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值．
18．（本小题满分17分）
已知函数（，）的最小正周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
（1）求函数与的解析式；
（2）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点．
19．（本小题满分17分）
若存在常数、，使得函数对于同时满足：，，则称函数为“”类函数．
（1）判断函数是否为“”类函数？如果是，写出一组的值；如果不是，请说明理由；
（2）函数是“”类函数，且当时，．
（ⅰ）证明：是周期函数，并求出在上的解析式；
（ⅱ）若，，求的最大值和最小值．
长郡中学2024年高一寒假作业捡测
数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B 【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得命题“，都有”的否定是：“，使得”．故选B．
2．B 【解析】由，解得，或，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．
3．C 【解析】对于A：函数的最小正周期为，故A错误；对于B：函数的最小正周期为，故B错误；对于C：函数的最小正周期为，且函数在上单调递减，根据复合函数的单调性，可知函数在上单调递增，故C正确；对于D：函数的最小正周期为，且函数在上单调递增，根据复合函数的单调性，可知函数在上单调递减，故D错误．故选C．
4．C 【解析】，当且仅当时取等号．故选C．
5．B 【解析】由题可知，当时，，故，解得，所以，所以当时，解方程，两边取以2为底的对数得，解得，所以，所以可推断该文物属于汉朝．故选B．
6．C 【解析】由题意：，且：，，据此：，结合函数的单调性有：，即，．故选C．
7．D 【解析】由函数图象可知，所以，所以最小正周期为，故A错误；因为，所以，又函数过点，所以，所以，，解得，，因为，所以，所以，，当时，，故不是函数的对称轴，故B错误；当，所以，因为在区间上不单调，故C错误；当，所以，所以，故D正确．故选D．
8．B 【解析】因为的值域为，所以的值域为．
当时，．
当时，
①若，即，，此时不满足条件；
②若，即，，此时的值域不可能为；
③若，即，，要使的值域为，则，
即，解得：或，又因为，所以．故选B．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．ABD 【解析】选项A：，，所以，A正确；选项B：，所以，B正确；选项C：，所以与向量平行的单位向量是或，C错误；选项D：向量在向量上的投影向量为，D正确．故选ABD．
10．ACD 【解析】设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（，，），则，，所以（），
依题意，所以，
当时且在0附近为增函数，所以，故（），故AC正确，B错误；
对于D：依题意，，
所以
，
今，，解得，，
所以当，时取得最大值，
故，解得，
所以．故D正确．故选ACD．
11．ACD 【解析】令，则，故A正确；
令，所以，
故是奇函数，即B错误；
令，，则，
所以，
即是的一个周期，故C正确；
在时易知，
则，
所以，
即，故D正确．故选ACD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12． 【解析】．故．
13． 【解析】，
，
，，
，解得，
，．
14．2 【解析】因为函数的图象关于点成中心对称，
所以，
即，
即，所以，
所以在定义域上单调递减，
令，
因为函数的图象关于点成中心对称，
所以的图象关于对称，
且单调递减，
因为，即，
即，也即，
所以，则，解得或，
故实数的取值范围是．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．【解析】（1）原式．
（2），
因为，所以原式．
16．【解析】（1）函数是定义在上的奇函数，
，，解得，
，而，解得，
，．
（2）函数在上为減函数．
证明如下：任意，且，
则，
因为，所以，又因为，，
所以，所以，
即，
所以函数在上为减函数．
（3）由题意，，
又，所以，
即解不等式，所以，
所以解得，
所以该不等式的解集为．
17．【解析】（1）由，在直角中，，；
在直角中，，；
，
所以当，即时，的最大值为，
即时，工艺礼品达到最佳观赏效果．
（2）在直角中，由，
可得；
在直角中，，
所以，，
所以
，
所以当时，工艺礼品达到最佳稳定性，此时取得最大值，且最大值为．
18．【解析】（1）由函数的最小正周期为，，得．
又曲线的一个对称中心为，，
故，得，
所以．
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数．
（2）依题意，，
现研究函数在上的零点的情况．
设，（），则函数的图象是开口向下的拋物线，
又，，，
当时，函数有一个零点（另一个零点，舍去），
在上有两个零点，，且，；
当时，函数有一个零点（另一个零点，舍去），
在上有两个零点，，且，；
当时，函数有一个零点，另一个零点，在和上分别有两个零点．
由正弦函数的对称性，可知当时，函数在内总有偶数个零点，从而不存在正整数满足题意．
当时，函数的一个零点，另一个零点；
当时，函数的一个零点，另一个零点，
从而当或时，函数在上有3个零点，
由正弦函数的周期性，，所以依题意得．
综上，当，或，时，函数在内恰有2013个零点．
19．【解析】（1）是“”类函数，
，
可以是（答案不唯一）．
（2）（ⅰ）函数是“”类函数，
，，
，
，是周期函数．
当时，．在上单调递增，在上单调递减．
当时，，．
当时，，，
．
故
（ⅱ）记，由（ⅰ）得：，
①当时，，满足；
②当时，，
由在上恒成立可得：，
解得：；
③当时，，
由在上恒成立可得：，
解得：．
综上所述实数的取值范围为．
所以的最大值为20，最小值为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
C
C
B
C
D
B
ABD
ACD
ACD