2023-2024学年安徽省阜阳市八年级（上）竞赛数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省阜阳市八年级（上）竞赛数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，点(−2021,m2+2021)一定在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(−1,−1)，(−1,2)，(3,−1)，则第四个顶点的坐标为( )
A. (2,2)B. (3,2)C. (3,3)D. (2,3)
3.在平面直角坐标系中，将点A(m−1,n+2)先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′.若点A′位于第四象限，则m、n的取值范围分别是( )
A. m>0，n<0B. m>1，n<2
C. m>1，n<0D. m>−2，n<−4
4.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是−3，若输入x的值是−8，则输出y的值是( )
A. 10B. 14C. 18D. 22
5.记者乘汽车赴420m外的农村采访，前一段路为高速公路.后一段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(km)与时间x(h)间的关系如图所示，则该记者从出发到采访地一共需要时间为( )
A. 4小时
B. 4.5小时
C. 5小时
D. 6小时
6.无论m为什么实数时，直线y=mx+m−2总经过点( )
A. (0,−2)B. (−1,−2)C. (1,−2)D. (2,0)
7.已知直线y=3x+1与直线y=mx+n相交于点P(a,4)，那么关于x的方程(m−3)x+n=1的解为( )
A. x=4B. x=−4C. x=1D. x=2
8.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k<0；②a<0；③当x<3时，y1A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
9.如图，DE/​/BC，点A在DE上，∠BAC=90°，∠1=40°，则∠DAB的大小为( )
A. 50°B. 40°C. 30°D. 25°
10.三角形的3边长分别是xcm、(x+1)cm、(x+2)cm，它的周长不超过33cm.则x的取值范围是( )
A. x≤10B. x≤11C. 1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若一次函数y=(1−k)x+2k−4的图象不过第一象限，则k的取值范围是______．
12.如图，点A是一次函数y=2x+1图象上的动点，作AC⊥x轴与C，交一次函数y=−x+4的图象于B.设点A的横坐标为m，当m=______时，AB=1．
13.如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______．
14.小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y(m)与步行时间x(min)之间的函数关系式如图中折线段AB−BC−CD所示．
(1)小聪与小明出发______min相遇；
(2)在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是______m/min．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知点O(0,0)，B(1,2)，点A在坐标轴上，且S△OAB=2，求满足条件的点A的坐标．
16.(本小题8分)
已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2=6a+10b−34，其中c是△ABC中最长的边长，且c为整数，求c的值．
17.(本小题8分)
已知三角形ABC的三边为a，b，c；
(1)若a=2，b=7，c为最长边且为整数，求三角形ABC的周长；
(2)化简：|a+b−c|−|b−a−c|+|a+b+c|．
18.(本小题8分)
已知一次函数y=(a−1)x−2a+1，其中a为常数，且a≠1．
(1)若点(1,−2)在该一次函数的图象上，求a的值；
(2)当该函数的图象与y轴的交点位于原点上方，判断函数值y随自变量x的增大而变化的趋势．
19.(本小题10分)
如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D．
(1)图中有几个三角形；
(2)求证：AB+AC>PB+PC．
20.(本小题10分)
规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y=kx+b和y=bx+k(其中|k|≠|b|)，称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如y=−2x+13和y=13x−2就是互助一次函数．根据规定解答下列问题：
(1)填空：一次函数y=−14x+4与它的互助一次函数的交点坐标为______
(2)若两个一次函数y=(k−b)x−k−2b与y=(k−3)x+3k−52是互助一次函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积．
21.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，若P(a,b)，Q(c,d)，式子|a−c|+|b−d|的值就叫做线段PQ的“勾股距”，记作dPQ=|a−c|+|b−d|.同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”.在平面直角坐标系xOy中，A(2,3)，B(4,2)，C(m,n)．
(1)线段OA的“勾股距”dOA= ______；
(2)若点C在第三象限，且dOC=2dAB，求dAC并判断△ABC是否为“等距三角形”．
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+b交y轴于点A(0,1)，交x轴于点B(3,0).平行于y轴的直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x=1上一动点，且在点D的上方，设P(1,n)．
(1)求直线AB的表达式；
(2)求△ABP的面积(用含n的代数式表示)．
23.(本小题14分)
为锻炼学生体质，某中学准备购买A，B两种体育器材共30件，从市场了解到A，B两种器材的单价分别是16元和4元.设准备购买A种器材x(件)，学校要求购买B种器材的数量多于总器材数量的一半，但不高于A种器材数量的2倍，购买两种器材的总费用为y(元)．
(1)写出总费用y(元)与x(件)之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
(2)实际购买时，每件A种器材下降了a(a>0)元，每件B种器材上涨了2a元，此时购买这两种商品所需的最少费用为378元，求a的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵m2≥0，
∴m2+2021>0，
∴点(−2021,m2+2021)一定在第二象限．
故选：B．
直接利用偶次方的性质结合第二象限内点的坐标特点，横坐标为负数，纵坐标为正数，即可得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：如图可知第四个顶点为：
即：(3,2)．
故选：B．
本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2．
本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案．
3.【答案】D
【解析】解：由题意，m−1+3>0n+2+2<0，
∴m>−2n<−4，
故选：D．
构建不等式解决问题．
本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是构建不等式解决问题，属于中考常考题型．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数值；熟练掌握函数值的求法是解题的关键．
将x=8代入y=−x+b2中求出b=2，再将x=−8代入y=−2x+b中即可求解．
【解答】
解：当x=8时，y=−8+b2=−3，
∴b=2，
∴当x=−8时，y=−2×(−8)+2=16+2=18，
故选：C．
5.【答案】D
【解析】解：汽车在乡村公路上行驶的速度为：(270−180)÷(3.5−2)=60(km/h)，
则该记者到达采访地的时间为：2+(420−180)÷60=6(h)，
故选：D．
根据题意表示出乡村公路的速度，从而可以求出到达的时间．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出汽车在乡村公路上行驶的速度，利用数形结合的思想解答．
6.【答案】B
【解析】解：∵y=mx+m−2，
∴(x+1)m=y+2，
∵m有无数个值，
∴x+1=0，y+2=0，解得x=−1，y=−2，
∴直线y=mx+m−2总经过点(−1,−2)．
故选：B．
把解析式变形得到关于m的不定方程形式得到(x+1)m=y+2，利用m有无数个值，x+1=0，y+2=0，然后解出x和y的值即可判断直线y=mx+m−2恒过一定点．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，(k≠0，且k，b为常数)的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是(−ba,0)；与y轴的交点坐标是(0,b).直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
7.【答案】C
【解析】解：∵直线y=3x+1经过点P(a,4)，
∴4=3a+1，
解得a=1，
∴P(1,4)，
∴方程3x+1=mx+n的解为x=1，
∴关于x的方程(m−3)x+n=1的解为x=1，
故选：C．
首先把P(a,4)代入直线y=3x+1即可求出a的值，从而得到P点坐标，根据两函数图象的交点的横坐标就是3x+1=mx+n的解可得答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是掌握两函数图象的交点的横坐标就是3x+1=mx+n的解．
8.【答案】B
【解析】解：∵y1=kx+b的函数值随x的增大而减小，
∴k<0．
故①结论正确；
∵y2=x+a的图象与y轴交于负半轴，
∴a<0．
故②结论正确；
当x<3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象，
∴y1>y2，
故③结论错误．
故选：B．
根据y1=kx+b和y2=x+a的图象可知：k<0，a<0，所以当x<3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象．
本题考查了两条直线相交问题，一次函数的性质．
9.【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=∠1，∠1=40°，
∴∠ACB=40°，
在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABC=90°−∠ACB=50°，
∵DE/​/BC，
∴∠DAB=∠ABC=50°，
故选：A．
由对顶角线段得到∠ACB=40°，再根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABC=50°，最后由两直线平行，内错角相等即可得解．
此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，(x+1)cm，(x+2)cm，它的周长不超过33cm，
∴x+(x+1)>x+2x+(x+1)+(x+2)≤33，
解得1故选：C．
根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可．
本题考查的是三角形三边关系、解一元一次不等式组，在解答此题时要注意三角形的三边关系．
11.【答案】1【解析】解：∵函数y=(1−k)x+2k−4的图象不过第一象限，
∴1−k<0，且2k−4≤0，
∴1故答案为：1根据一次函数的图象即可得关于k的不等式组，求解即可．
本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象系数的关系是解题的关键．
12.【答案】23或43
【解析】解：∵一次函数y=2x+1图象与y轴的交点为(0,1)，一次函数y=−x+4图象与y轴的交点为(0,4)，
∴两交点间的距离为3，
∴m>0，
由题意得y=2x+1y=−x+4，
解得x=1y=3，
∴B点坐标为(1,3)，
∵AC⊥x轴，B点在线段AC上，
∴A，B两点的横坐标相同，
∵A点在直线y=2x+1，B点在直线y=−x+4，点A的横坐标为m，
∴AC=2m+1，BC=−m+4，
∵AB=1，
∴当0即−m+4−(2m+1)=1，
即得m=23；
当m>1时，AC−BC=AB=1，
∴2m+1−(−m+4)=1，
解得m=43，
综上，当m=23或43时，AB=1．
故答案为：23或43．
根据一次函数函数图象上点的特征先确定m>0，再求解两函数图象的的交点坐标，由AC⊥x轴可得A，B两点的横坐标相同，根据A点横坐标为m可得AC=2m+1，BC=−m+4，再分两种情况：当01时，AC−BC=AB=1，可得关于x的方程，解方程求得x值即可求解．
本题主要考查一次函数图象上点的特征，分类讨论是解题的关键．
13.【答案】360°
【解析】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠E+∠F，∠3=∠C+∠D，
又∵∠1+∠2+∠2=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：360°．
首先利用三角形的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解．
本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360°，理解有关定理是关键．
14.【答案】25 100
【解析】解：(1)由图象可得，
小聪与小明出发25min相遇，
故答案为：25；
(2)由图象可得，
小聪的速度为：4500÷56.25=80(m/min)，
则小明的速度为：4500÷25−80=180−80=100(m/min)，
故答案为：100．
(1)根据题意和函数图象中的数据，可以直接写出小聪与小明出发多长时间相遇；
(2)根据题意可知，小聪晚到达乙地，则小聪用的时间为56.25min，根据速度=路程÷时间，可以计算出小聪的速度，再根据25min时两人相遇，即可计算出小明的速度．
本题考查一次函数的应用，从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键．
15.【答案】解：当点A在x轴上时，设点A的坐标为(x,0)，
∵S△OAB=2，B(1,2)，
∴12⋅|x|×2=2，
解得x=±2，
∴点A的坐标为(2,0)或(−2,0)；
当点A在y轴上时，设点A的坐标为(0,y)，
∵S△OAB=2，B(1,2)，
∴12⋅|y|×1=2，
解得y=±4，
∴点A的坐标为(0,4)或(0,−4)；
综上，点A的坐标为(2,0)或(−2,0)或(0,4)或(0,−4)．
【解析】分点A在x轴上、y轴上两种情况，利用三角形的面积即可求出点A的坐标．
本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键．
16.【答案】解：∵a2+b2=6a+10b−34，
∴a2−6a+9+b2−10b+25=0，
∴(a−3)2+(b−5)2=0，
∴a=3，b=5，
∵三角形两边之和大于第三边和三角形的两边差小于第三边，
∴5−3即2∵c是△ABC中最长的边长，
∴c=5、6、7．
【解析】先将a2+b2=6a+10b−34进行因式分解，再根据三角形两边之和大于第三边和三角形的两边差小于第三边的知识点，求解即可．
本题考查的是因式分解的应用和三角形的三边关系，解题的关键是灵活掌握因式分解的步骤和三角形三边关系的定理．
17.【答案】解：(1)∵a=2，b=7，
∴7−2即5∵c为最长边且为整数，
∴7∴c=8，
∴三角形ABC的周长=2+7+8=17；
(2)∵三角形ABC的三边为a，b，c，
∴a+b>c，b∴a+b−c>0，b−a−c<0，a+b+c>0，
∴|a+b−c|−|b−a−c|+|a+b+c|=a+b−c+b−a−c+a+b+c=a+3b−c．
【解析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，求出c的取值范围是解题的关键．
(1)根据三角形三边关系得出c的取值范围，进而解答即可；
(2)根据三角形三边关系判断绝对值号内的正负，进而解答即可．
18.【答案】解：(1)∵点(1,−2)在该一次函数的图象上，
∴a−1−2a+1=−2，
解得a=2；
(2)∵函数的图象与y轴的交点位于原点上方，
∴1−2a>0，
∴a<12，
当a−1>0，即a>1，此情况不符合题意；
当a−1<0，则a<12，此时函数y随x的增大而减小．
【解析】(1)将点(1,−2)的坐标代入解析式即可求出a值；
(2)先根据条件确定a<12，再分两种情况分析讨论即可．
本题考查了一次函数的性质和图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．
19.【答案】(1)解：图中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5个．
(2)证明：∵AB+AD>BD，PD+CD>PC，
∴AB+AD+PD+CD>BD+PC，
∴AB+AD+PD+CD>BP+PD+PC，
∴AB+AC>PB+PC．
【解析】(1)直接找出图中的三角形即可，注意要不重不漏；
(2)利用三角形的三边关系可得AB+AD>BD，PD+CD>PC，再把两个式子相加进行变形即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
20.【答案】(1,154)
【解析】【分析】
本题考查了一次函数与三角形的面积公式，正确理解互助函数的定义，正确求得两个函数的交点坐标是关键．
(1)根据互助函数的定义，写出互助函数，然后解两个函数的解析式组成的方程组即可求得交点坐标；
(2)首先根据互助函数的定义得到一个关于k，b的方程组求得k、b的值，即可求得两个函数的解析式，然后求出函数与y轴的交点坐标，以及两个函数的交点坐标，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】
解：(1)一次函数y=−14x+4的它的互助一次函数是y=4x−14．
解y=−14x+4y=4x−14，
得：x=1y=154，
则交点坐标是：(1,154)；
故答案为：(1,154)；
(2)根据题意得：k−3=−k−2bk−b=3k−52，
解得：b=12k=1，
则两个函数是y=x+0.5和y=0.5x+1．
y=x+0.5和y轴的交点是(0,0.5)，y=0.5x+1和y轴的交点是(0,1).两个函数的交点是：(1,1.5)．
在两个函数与y轴围成的三角形的面积是：12×1.5×1=0.75
21.【答案】5
【解析】解：(1)∵A(2,3)，
∴由“勾股距”的定义知：dOA=|2−0|+|3−0|=2+3=5．
故答案为：5；
(2)∵dAB=|4−2|+|2−3|=2+1=3，
∴2dAB=6，
∵点C在第三象限，
∴m<0，n<0，
dOC=|m−0|+|n−0|=|m|+|n|=−m−n=−(m+n)，
∵dOC=2dAB，
∴−(m+n)=6，即m+n=−6，
∴dAC=|2−m|+|3−n|=2−m+3−n=5−(m+n)=5+6=11，
dBC=|4−m|+|2−m|=4−m+2−n=6−(m+n)=6+6=12，
∵3+11≠12，11+12≠3，12+3≠11，
∴△ABC不是为“等距三角形”．
(1)根据线段“勾股距”，由O，A两点的坐标求出线段OA的“勾股距”；
(2)根据“勾股距”的定义求出dAB，dAC，dBC，再根据等距三角形的定义判断即可．
本题考查坐标与图形的性质，绝对值的意义，关键是对“勾股距”和“等距三角形”新概念的理解，运用“勾股距”和“等距三角形”解题．
22.【答案】解：(1)把A(0,1)，B(3,0)代入y=kx+b得：
b=13k+b=0，
解得k=−13b=1，
∴直线AB的表达式为y=−13x+1；
(2)在y=−13x+1中，令x=1得y=23，
∴D(1,23)，
∵P(1,n)，
∴PD=n−23，
∴S△ABP=12PD⋅|xB−xA|=12⋅(n−23)×3=32n−1；
∴△ABP的面积为32n−1．
【解析】(1)把A(0,1)，B(3,0)代入y=kx+b得b=13k+b=0，解出k，b的值即可得直线AB的表达式为y=−13x+1；
(2)求出D(1,23)，PD=n−23，故S△ABP=12PD⋅|xB−xA|=12⋅(n−23)×3=32n−1．
本题考查用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
23.【答案】解：(1)设购买A种器材x件，则购买B种器材(30−x)件，
根据题意得：y=16x+4(30−x)=12x+120．
∵购买B种器材的数量多于总器材数量的一半，但不高于A种器材数量的2倍，
∴30−x>12×3030−x≤2x，
解得10≤x<15，且x为正整数，
∴总费用y(元)与x(件)之间的函数关系式为y=12x+120，自变量x的取值范围为10≤x<15，且x为正整数；
(2)根据题意得：y=(16−a)x+(4+2a)(30−x)=(12−3a)x+120+60a，10≤x<15，且x为正整数，
此时购买这两种商品所需的最少费用为378元，进行分类讨论；
①当12−3a≥0时，解得0根据一次函数的图象及性质知，y随着x的增大而增大，
∴当x=10时，y取到最小值，
即：y=(12−3a)×10+120+60a=378，
解得：a=4.6(不符合0②当12−3a<0时，解得a>4，
根据一次函数的图象及性质知，y随着x的增大而减小，
∴当x=14时，y取到最小值，
即：y=(12−3a)×14+120+60a=378，
解得：a=5．
综上所述：a=5．
【解析】(1)根据题中条件，可用(30−x)表示购买B种器材件数，根据总费用=两种器材费用之和列出函数解析式，再根据购买B种器材的数量多于总器材数量的一半，但不高于A种器材数量的2倍列出不等式组求出x的取值范围；
(2)先写出调价后y与x的函数解析式，再根据一次项系数进行分类讨论．
本题考查了一次函数在生活中的实际应用，解题的关键是：理清楚题中变量范围，关于一次函数的最值问题，通常要进行分类讨论．