2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县九年级（上）四科联赛数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县九年级（上）四科联赛数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果把向东走3km记作+3km，那么−2km表示的实际意义是( )
A. 向东走2kmB. 向西走2kmC. 向南走2kmD. 向北走2km
2.如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示−1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆周上表示哪个数字的点重合？( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.若关于x的方程(k−2019)x−2017=7−2019(x+1)的解是整数，则整数k的取值个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
4.方程x3+x15+x35…+x2005×2007=1的解是x=( )
A. 20062007B. 20072006C. 20071003D. 10032007
5.已知点M(1−m,m−3)，则点M不可能在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.在平面直角坐标系中，直线l经过点A(0,−1)，点A1，A2，A3，A4，A5，A6…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线l上，若点An的纵坐标为−2023，则n的值为( )
A. 4044B. 4045C. 4046D. 4047
7.有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干.若如图②放置时，测得液面高为12h；若如图3放置时，测得液面高为23h.则该玻璃密封容器的容积(圆柱体容积=底面积×高)是( )
A. 5π6a2hB. 5π24a2hC. 56a2hD. 53ah
8.如图，已知矩形AEPG的面积等于矩形GHCD的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道( )
A. 矩形AEFD与矩形PHCF的面积之差
B. 矩形ABHG与矩形PHCF的面积之差
C. 矩形AEFD与矩形PHCF的面积之和
D. 矩形ABHG与矩形PHCF的面积之和
9.已知a= 5− 3 5+ 3，b= 5+ 3 5− 3，则二次根式 a3b+ab3+19的值是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
10.把35块蛋糕最多放到个盘子里，可以保证总有一个盘子里至少有9块蛋糕．( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
11.某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原有的成品活动房一样多，每个车间的生产能力也一样．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员前两天时间将第一、二车间的所有成品(原来的和这两天生产的)检验完毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又用去三天时间；同时这五天时间B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，那么B组检验员人数为( )
A. 8人B. 10人C. 12人D. 14人
12.某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5～25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20～30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
所有合理推断的序号是( )
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④
13.甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度V1与V2(V10)图象上一点，直线y=−x+1分别交x轴、y轴于点A、B，作PM⊥x轴于点M，交AB于点E，作PN⊥y轴于点N，交AB于点F.则AF⋅BE的值为( )
A. 2
B. 2
C. 1
D. 12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
16.已知xy=3，那么x yx+y xy的值是______．
17.如果关于x的不等式3x−a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围______．
18.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在边BC上，且BM=3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM+PN的值为______．
19.将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图所示，其中∠A=∠C=90°，AB=7厘米，BC=9厘米，CD=2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是______平方厘米．
20.某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是______分钟．
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
21.某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元，“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．
现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉x台(x>10)．
(1)若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？(用含x的式子表示)
(2)若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
(3)当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？
22.两个警察抓两个小偷，目击者说：两个小偷分别躲藏在六个房间中的两间，但不知道他们到底躲藏在哪两间．而如果警察冲进了无人的房间，那么小偷就会趁机逃跑．如果两个警察随机地冲进两个房间抓小偷，
(1)至少能抓获一个小偷的概率是多少？
(2)两个小偷全部抓获的概率是多少？请简单说明理由．
四、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题8分)
如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度=1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB.(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式)
24.(本小题10分)
有一块长32cm，宽14cm的矩形铁皮．
(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为280cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．
(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为180的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
25.(本小题12分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0．
(1)判断方程根的情况；
(2)若方程的两根x1、x2满足(x1−1)(x2−1)=6，求k值；
(3)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，
①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．
26.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=x+b交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，AB=6 2，点C在x轴的正半轴上，tan∠BCO=3．
(1)如图1，求直线BC的解析式；
(2)如图2，点D在第四象限的直线BC上，DE⊥AB于点E，DE=AB，求点D的坐标；
(3)如图3，在(2)的条件下，点F在线段OA上，点G在线段OB上，射线FG交直线BC于点H，若∠FGO=2∠AEF，FG=5，求点H的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】如果把向东走3km记作+3km，那么−2km表示的实际意义是向西走2km.故选B．
本题考查了正负数的意义，规定向东为正，向西则为负．解题关键是理解正负数的意义是相反的，所以规定向东为正，向西则为负．
本题要先确定正方向，就可以找到它的反方向为负．
2.【答案】B
【解析】解：2024−(−1)=2025，
2025÷4=506……1，
所以数轴上表示2024的点与圆周上的数字1重合，
故选：B．
根据圆的周长为4个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以4，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合．
本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：方程(k−2019)x−2017=7−2019(x+1)整理化简，可得
kx=5，即x=5k，
∵该方程的解是整数，k为整数，
∴x=1或−1或5或−5，
即5k=1或−1或5或−5，
解得：k=5或−5或1或−1，
∴整数k的取值个数是4个，
故选：C．
原方程依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得到关于k的x的值，根据“该方程的解是整数”，得到几个关于k的一元一次方程，解之即可．
本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，是道难题.这是一个比较复杂的方程，解答此题的关键是将方程变形为x[12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)+…+12(12005−12007)]=1，然后根据乘法的分配律提出12，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解．
【解答】
解：x3+x15+x35…+x2005×2007=1，
根据乘法的分配律提出x，得
x(13+115+135+…+12005×2007)=1，
将方程变形，得
x[12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)+…+12(12005−12007)]=1，
根据乘法的分配律提出12，得
x2(1−13+13−15+15−17+…+12005−12007)=1，
移项，合并同类项，得
x2(1−12007)=1，
系数化为1，得
x=20071003．
故选C．
5.【答案】A
【解析】解：点M不可能在第一象限，理由如下：
点M的坐标是(1−m,m−3)，若点M在第一象限，则有：
1−m>0①m−3>0②，
∴解①得m3，
∴不等式组无解，符合题意；
∴点M不可能在第一象限；
点M的坐标是(1−m,m−3)，若点M在第二象限，则有：
1−m0②，
∴解①得m>1，
解②得m>3，
∴不等式组解集是m>3，不符合题意；
点M的坐标是(1−m,m−3)，若点M在第三象限，则有：
1−m