2023-2024学年山东省青岛实验高中高二（下）期初质检数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省青岛实验高中高二（下）期初质检数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a，3，b，9，c成等比数列，且a>0，则lg3b−lg3c等于( )
A. −1B. −12C. 12D. 1
2.直线与平行，则a的值为
( )
A. 12B. 12或0C. 0D. -2或0
3.已知点A(1,1)和点B(4,4)，P是直线x−y+1=0上的一点，则|PA|+|PB|的最小值是( )
A. 3 6B. 34C. 5D. 2 5
4.A，B两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若A去甲城市的概率为0.6，B去甲城市的概率为0.2，则A，B不去同一城市上大学的概率为( )
A. 0.3B. 0.56C. 0.54D. 0.7
5.若椭圆x225+y216=1和双曲线x24−y25=1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cs∠F1PF2的值为( )
A. 1121B. 712C. 1921D. 37
6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2−8x+7=0都外切的圆的圆心轨迹是( )
A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的左支D. 双曲线的右支
7.已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2)，令an=1f(n+1)+f(n)，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则
S2021=( )
A. 2021−1B. 2021C. 2022D. 2022−1
8.已知定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x>0时，有2f(x)+xf′(x)>0，且f(−1)=0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A. (−1,0)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，S11>0，S120).若直线l：3x+4y+n=0与圆C相切于点A(1,−2)，则圆C的标准方程为 ．
16.设经过点M(2,1)的等轴双曲线的焦点为F1，F2，此双曲线上一点N满足NF1⊥NF2，则△NF1F2的面积______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且各局比赛的胜负互不影响．有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制(先胜2局者获胜，比赛结束)；方案二：五局三胜制(先胜3局者获胜，比赛结束)．
(1)若选择方案一，求甲获胜的概率；
(2)用掷硬币的方式决定比赛方案，掷3枚硬币，若恰有2枚正面朝上，则选择方案一，否则选择方案二．判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由．
18.(本小题12分)
设Sn是数列{an}的前n项和，已知Sn=2an−2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1(n+1)lg2an，求数列{bn}的前n项和Tn
19.(本小题12分)
已知直线2x+y−1=0平分圆C：x2+y2+Dx+Ey−8=0的圆周，且该圆被y轴截得的弦长是圆的一条最长的弦．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知动点M在直线y=9上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B.记四边形MACB的面积为S，求S的最小值．
20.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=7，S6=48，数列{bn}满足2bn+1=bn+2，b1=3．
(1)证明：数列{bn−2}是等比数列，并求数列{an}与数列{bn}通项公式；
(2)若cn=an(bn−2)，求数列{cn}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
设函数f(x)=x−aex(a∈R)．
(Ⅰ)求函数f(x)的极值：
(Ⅱ)若f(x)≤ax在x∈[0,+∞)时恒成立，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与直线ax+2by− 3ab=0相切．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为4 2，求F2P⋅F2Q的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出．
本题考查了等比数列的性质和对数的运算性质，属于基础题．
【解答】
解：a，3，b，9，c成等比数列，
则bc=81，b2=27，
∴b2bc=bc=13，
∴lg3b−lg3c=lg313=−1，
故选：A．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查两直线平行的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
当a=0时，检验两直线是否平行，当a≠0时，由一次项系数之比相等但不等于常数项之比，求出a的值．
【解答】
解：当a=0时，两直线重合；
当a≠0时，由a−11=−a2a≠1−1，解得a=12，
综上可得，a=12，
故选A．
3.【答案】D
【解析】解：点A(1,1)和点B(4,4)，
P是直线x−y+1=0上的一点，
过A作直线y=x+1的对称点A′，设A′(m,n)，
可得n−1m−1=−1，n+12=m+12+1，
解得m=0，n=2，即A′(0,2)，
连接A′B，可得|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|= (4−0)2+(4−2)2=2 5，
当且仅当A′，P，B三点共线时，取得最小值2 5．
故选：D．
过A作直线y=x+1的对称点A′，设A′(m,n)，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得m，n，
连接A′B，由三点共线的性质可得最小值．
本题考查距离和的最值求法，注意运用对称思想，考查运算求解能力，是中档题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意知：A去甲城市的概率为0.6，B去甲城市的概率为0.2，
即A去乙城市的概率为0.4，B去乙城市的概率为0.8，
所以A，B去同一城市上大学的概率P1=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44，
所以则A，B不去同一城市上大学的概率P=1−P1=1−0.44=0.56．
故选：B．
根据条件得到A，B分别去乙城市的概率，从而求得A，B去同一城市上大学的概率，即可得到A，B不去同一城市上大学的概率．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题可知，焦距F1F2=6，不妨设点P是双曲线右支上的一点，
由椭圆和双曲线的定义可知，
PF1+PF2=10PF1−PF2=4，解得PF1=7PF2=3，
在△PF1F2中，由余弦定理可知，cs∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222⋅PF1⋅PF2=49+9−362×7×3=1121．
故选：A．
由题可知，焦距F1F2=6，设点P是双曲线右支上的一点，由椭圆和双曲线的定义可列出关于线段PF1和PF2的长的方程组PF1+PF2=10PF1−PF2=4，解之可得PF1和PF2的长，然后在△PF1F2中，结合余弦定理即可得解．
本题考查椭圆和双曲线的定义，考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1；圆x2+y2−8x+7=0的圆心为F(4,0)，半径为3．
依题意得|PF|=3+r，|PO|=1+r，则|PF|−|PO|=(3+r)−(1+r)=20可知：两边同乘以x得：
2xf(x)+x2f′(x)>0，
设g(x)=x2f(x)，
则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0;
∴g(x)在(0,+∞)单调递增，
又f(x)是定义在R上的偶函数，f(−1)=0，
得f(1)=0，
当x>0，f(x)>0成立的x的取值范围是：x>1，
当x