2024年河南省焦作市高考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年河南省焦作市高考数学一模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|x2≤x}，B={x|x3−x=0}，则( )
A. A⫋BB. A⫌BC. A=BD. A∩B=⌀
2.已知复数z满足zi−5=6i，则z的虚部为( )
A. 5B. −5C. 5iD. −5i
3.若圆C：(x−2)2+(y+a2)2=a与x轴相切，则a=( )
A. 1B. 2C. 2D. 4
4.“5cs2α+5sin2α+1=0”是“tanα=−12”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+12DC=0，则△ABC的面积是△ABD的面积的( )
A. 5倍B. 4倍C. 3倍D. 2倍
6.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为( )
A. 48B. 32C. 24D. 16
7.已知函数f(x)=ex−λ(x2+1)有两个极值点p，q，若q=2p，则f(0)=( )
A. 1−ln22B. 1−2ln2C. 1−ln2D. 1−1ln2
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F且与一条渐近线平行的直线与C的右支及另一条渐近线分别交于B，D两点，若FB=BD，则C的渐近线方程为( )
A. y=±2xB. y=± 3xC. y=±xD. y=± 2x
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=2sin(x3−π6)，则( )
A. −12π为f(x)的一个周期B. f(x)的图象关于直线x=2π对称
C. f(x+π)为偶函数D. f(x)在[2π,3π]上单调递增
10.已知正三棱台ABC−A1B1C1中，△A1B1C1的面积为4 3，△ABC的面积为9 3，AA1=2，棱B1C1的中点为M，则( )
A. 该三棱台的侧面积为30B. 该三棱台的高为2 63
C. AM⊥平面BCC1B1D. 二面角A1−AB−C的余弦值为13
11.甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A，B，C三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A，B，C的概率分别为0.5，0.3，0.2，当他负责工序A，B，C时，该项目达标的概率分别为0.6，0.8，0.7，则下列结论正确的是( )
A. 该项目达标的概率为0.68
B. 若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54
C. 若该项目达标，则甲负责工序A的概率为1534
D. 若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为58
12.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线l：x=−12，直线l′：y=kx+m(k≠0)与抛物线C交于M，N两点，P为线段MN的中点，则下列结论正确的是( )
A. 若m=−k2，则以MN为直径的圆与l相交
B. 若m=−2k，则OM⊥ON(O为坐标原点)
C. 过点M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，若l1，l2交于点A，则AP⊥l
D. 若|MN|=1，则点P到直线l的距离大于等于58
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆锥的底面半径为1，体积为2 2π3，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为______．
14.已知数列{an}中，a1=1，且an+1(an+1)+1=0，则{an}的前12项和为______．
15.已知正实数m，n满足(m−1)(m+n)=(1+n)(1−n)，则m+n的最大值为______．
16.若函数f(x)=ex+λx(2−x)e1−x在(0,+∞)上没有零点，则实数λ的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinBsinA+sinAsinB−4csC=0．
(1)证明：a2+b2=2c2；
(2)若csB=sin2BsinAsinC，求csA的值．
18.(本小题12分)
如图所示，在三棱锥S−ABC中，SA=SC=AB2=2，AC=BC=2 2，SB=2 3.(1)求证：平面SAC⊥平面ABC；
(2)若DS=15BS，求直线CD与平面SAB所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an+3⋅2n．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=2an(1−n)(3n−1)(n2+n)，求数列{bn}的前n项和Tn．
20.(本小题12分)
为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了n(n≥2)次试验，假设小王每次试验成功的概率为p(0b>0)的离心率为 32，直线l过C的上顶点与右顶点且与圆O：x2+y2=45相切．
(1)求C的方程．
(2)过C上一点A(x0,y0)作圆O的两条切线l1，l2(均不与坐标轴垂直)，l1，l2与C的另一个交点分别为M(x1,y1)，N(x2,y2).证明：
①直线AM，AN的斜率之积为定值；
②x1+x2=0．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：依题意，A={x∈N|0≤x≤1}={0,1}，B={x|x3−x=0}={−1,0,1}，所以A⫋B．
故选：A．
解出集合A，B，再判断包含关系．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可得：z=5+6ii=6−5i，
所以z的虚部为−5．
故选：B．
根据复数的除法运算求z，进而可得结果．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的基本概念，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，C：(x−2)2+(y+a2)2=a，其圆心为(2,−a2)，半径为 a(a>0)，
因为圆C与x轴相切，所以a24=a且a>0，解得a=4．
故选：D．
根据题意，由圆的标准方程求出圆心和半径，分析可得a24=a且a>0，得到答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：5cs2α+5sin2α+1=0⇔5(cs2α−sin2α)+10sinαcsα+cs2α+sin2α=0
⇔3cs2α−2sin2α+5sinαcsα=0，
显然csα≠0，则2tan2α−5tanα−3=0，解得tanα=−12或tanα=3．
所以“5cs2α+5sin2α+1=0”是“tanα=−12”的必要不充分条件．
故选：B．
利用三角恒等变换得到tanα=−12或tanα=3，从而得到答案．
本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：设AB的中点为M，
因为DA+DB+12DC=0，
所以12CD=DA+DB，
即CD=2(DA+DB)，
所以CD=4DM，
即点D是线段CM的五等分点，
所以S△ABCS△ABD=|CM||DM|=5，
所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍．
故选：A．
利用平面向量的线性运算计算即可．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
6.【答案】C
【解析】解：1与4相邻，共有A22=2种排法，
两个2之间插入1个数，共有A21=2种排法，
再把组合好的数全排列，共有A33=6种排法，
则总共有2×2×6=24种密码．
故选：C．
根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：依题意，f′(x)=ex−2λx，
则ep−2λp=0eq−2λq=0，
因为q=2p，所以ep=2λpe2p=4λp，
显然λ，p≠0，两式相除得ep=2，则p=ln2，
代入ep=2λp中，解得λ=1ln2，则f(0)=1−1ln2．
故选：D．
求导，得到方程组，求出p=ln2，进而得到λ=1ln2，得到答案．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：易知C的渐近线方程为y=±bax，不妨设直线BD：y=ba(x−c)，B(x1,y1)，D(x2,y2)，
联立方程得y=ba(x−c)y=−bax，解得x2=c2，y2=−bc2a，所以D(c2,−bc2a)，
又FB=BD，而FB=(x1−c,y1)，BD=(c2−x1,−bc2a−y1)，得到x1−c=c2−x1y1=−bc2a−y1，
解得x1=34c,y1=−bc4a，故B(3c4,−bc4a)，代入x2a2−y2b2=1中，
得9c216a2−c216a2=1，得到c2a2=2，又c2=a2+b2，得到b2a2=1，解得ba=1，
故所求C的渐近线方程为y=±x．
故选：C．
设直线BD：y=ba(x−c)，B(x1,y1)，D(x2,y2)，由y=ba(x−c)y=−bax得到D(c2,−bc2a)，再根据条件得出B(3c4,−bc4a)，代入方程x2a2−y2b2=1，即可求出结果．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，考查数形结合以及计算能力，是中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：因为f(x)的最小正周期T=2π13=6π，所以−12π为f(x)的一个周期，故A正确；
因为f(2π)=2sin(2π3−π6)=2sinπ2=2，故B正确；
因为f(x+π)=2sin[13(x+π)−π6]=2sin(x3+π6)，不具有奇偶性，故C错误；
因为x∈[2π,3π]，则x3−π6∈[π2,5π6]，且y=sinx在[π2,5π6]内单调递减，
所以f(x)在[2π,3π]上单调递减，故D错误．
故选：AB．
根据题意结合正弦函数性质逐项分析判断．
本题考查了正弦函数的对称性，单调性以及周期性，考查了学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，根据条件可得A1B1=4，AB=6，
分别过点A1、B1在平面ABB1A1内作A1T⊥AB，B1N⊥AB，
垂足分别为点T、N，
因为AA1=BB1，∠A1AT=∠B1BN，∠ATA1=∠BNB1=90°，
所以△AA1T≌△BB1N，则AT=BN，
因为AB/​/A1B1，A1T⊥AB，B1N⊥AB，则四边形A1B1NT为矩形，
所以TN=A1B1=4，所以AT=BN=AB−TN2=6−42=1，
则A1T= AA12−AT2= 4−1= 3，即等腰梯形ABB1A1的高为 3，
其面积为(A1B1+AB)⋅A1T2=(4+6)× 32=5 3，
所以该三棱台的侧面积为5 3×3=15 3，故A错误；
对于B，设△ABC的中心为O，△A1B1C1的中心为O1，
可知OAA1O1是直角梯形，
过点A1在平面OAA1O1内作A1E⊥AO，垂足为点E，
因为A1O1//AO，A1E⊥AO，OO1⊥AO，
则四边形OEA1O1为矩形，
因为S△ABC= 34AB2=9 3，解得AB=6，同理可得A1B1=4，
所以OA=AB2sin60∘=6 3=2 3，O1A1=A1B12sin60∘=4 3=4 33，
所以OE=A1O1=4 33，则AE=AO−OE=2 3−4 33=2 33，
所以OO1=A1E= AA12−AE2= 4−43=2 63，故B正确；
对于C，分别延长棱AA1、BB1、CC1交于点P，
因为B1C1BC=23，BC/​/B1C1，则PB1PB=PB1PB1+2=B1C1BC=23，可得PB1=4，
则PB=PB1+BB1=4+2=6，同理可得PA=PC=6=BC，
所以四面体PABC为正四面体，
延长PM交BC于点F，则PMPF=C1MCF=B1C1BC=23，所以PM=23PF，
且C1M=23CF，即CF=32C1M=32×12B1C1=32×12×23BC=12BC，
则F为BC的中点，又因为PM=23PF，
则M为正△PBC的中心，故AM⊥平面BCC1B1，故C正确；
对于D，二面角A1−AB−C即正四面体相邻侧面的夹角，
因为F为BC的中点，△ABC为等边三角形，则AF⊥BC，
且OF=13AF=13× 32AB= 36×6= 3，
因为△PBC是边长为6的等边三角形，则PF⊥BC，
且PF=PBsin60°=6× 32=3 3，
故二面角B1−BC−A的平面角为∠PFA，
因为PO⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，则PO⊥AF，
则cs∠PFA=OFPF= 33 3=13，
故二面角A1−AB−C的余弦值为13，故D正确．
故选：BCD．
计算出正三棱台侧面上的高，结合梯形的面积公式可判断A选项；利用梯形的几何性质求出该三棱台的高，可判断B选项；分别延长棱AA1、BB1、CC1交于点P，推导出三棱锥P−ABC为正四面体，且M为等边△PBC的中心，结合正四面体的几何性质可判断C选项；利用二面角的定义可判断D选项．
本题考查空间几何体的面积和距离，考查线面关系的判定及二面角的余弦值，属中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：记甲负责工序A为事件M1，工序B为事件M2，工序C为事件M3，该项目达标为事件N．
对于选项A，该项目达标的概率为
P(N)=P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)+P(M3)P(N|M3)=0.5×0.6+0.3×0.8+0.2×0.7=0.68，故A正确；
对于选项B，
P(N|(M1+M2))=P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)P(M1)+P(M2)=0.5×0.6+0.3×0.80.5+0.3=2740，故B错误；
对于选项C，P(M1|N)=P(M1)P(N|M1)P(N)=0.5×，故C正确；
对于选项D，P(M1|N−)=P(M1)P(N−|M1)P(N−)=0.5×(1−0.6)1−0.68=58，故D正确．
故选：ACD．
根据题设条件，逐一对各个选项分析判断即可得出结果．
本题考查条件概率的应用，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：由题可得抛物线C：y2=2x，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
对于选项A，当m=−k2时，直线l′：y=k(x−12)过C的焦点F(12,0)，
此时|MN|=x1+x2+p=x1+x2+1，
又MN的中点P(x1+x22,y1+y22)到准线l：x=−12的距离为x1+x2+12=|MN|2，
则以MN为直径的圆与l相切，故选项A错误；
对于选项B，当m=−2k时，直线l′：y=kx−2k，
将x=y22代入，得ky2−2y−4k=0，则y1y2=−4，
又易知OM=(x1,y1),ON=(x2,y2)，
所以OM⋅ON=x1x2+y1y2=y12y224+y1y2=0，故选项B正确；
对于选项C，由题可设抛物线C在点M处的切线方程为y−y1=k(x−x1)(k≠0)，
由y−y1=k(x−x1)y2=2x，消x得到y2−2ky+2y1k−2x1=0，
由Δ=4k2−8y1k+8x1=0，得到Δ=1k2−2y1k+2x1=0，
又y12=2x1，所以1k2−2y1k+y12=0，得到k=1y1，
所以C在点M处的切线方程为y−y1=1y1(x−y122)，整理得到y1y=x1+x，
同理可得抛物线C在点N处的切线方程为y2y=x2+x，
联立y1y=x1+xy2y=x2+x，解得yA=y1+y22=yP，故AP⊥l，故选项C正确；
对于选项D，由抛物线的对称性，可知当MN⊥x轴时，点P到直线l的距离最小，
由|MN|=1，不妨取y1=12，代入y2=2x，得到x1=18，
所以xM=xN=18，点P到直线l的距离为58，故选项D正确．
故选：BCD．
根据条件得到C：y2=2x，再结合各个选项的条件，逐一分析判断即可得出结果．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
13.【答案】2π3
【解析】解：设圆锥(如图所示)的高为h，
因为13⋅π⋅12⋅h=2 2π3，
所以h=2 2，母线SA= 12+(2 2)2=3，
将圆锥沿SA展开所得扇形的弧长为底面周长2π，根据弧长公式α⋅SA=2π，
所以圆心角α=2π3．
故答案为：2π3．
根据体积先计算出圆锥的高，再根据高计算出圆锥的母线，即展开图扇形的半径，最后再根据弧长公式求出圆心角．
本题主要考查了圆锥的结构特征，属于基础题．
14.【答案】−6
【解析】解：依题意an≠−1，故an+1=−1an+1，a1=1，
所以a2=−12，a3=−2，a4=1，…，
故{an}的前12项和为(1−12−2)×4=−6．
故答案为：−6．
由已知可得an+1=−1an+1，借助数列的周期性、分组求和即可得出结果．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：依题意得m2+n2−(m+n)+mn=1，
则1=(m+n)2−(m+n)−mn≥(m+n)2−(m+n)−14(m+n)2，
即1≥34(m+n)2−(m+n)，则3(m+n)2−4(m+n)−4≤0，
解得00)，
依题意，离心率e=ca= 1−b2a2= 32，
所以a=2b，c= 3b，
直线l：xa+yb=1，即bx+ay−ab=0，
因为直线l与圆O相切，所以ab a2+b2=2 5，
解得a=2，b=1，
故C的方程为x24+y2=1．

(2)证明：①设过点A且与圆O相切的直线的方程为y−y0=k(x−x0)(k≠0)，
则|kx0−y0| 1+k2=2 5，整理得(5x02−4)k2−10x0y0k+5y02−4=0，
记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，则k1k2=5y02−45x02−4=5(1−x024)−45x02−4=−14，为定值．
②由①可知直线AM：y−y0=k1(x−x0)，
联立y−y0=k1(x−x0),x2+4y2−4=0,则有(1+4k12)x2+8k1(y0−k1x0)x+4(y0−k1x0)2−4=0，
所以x1+x0=8k1(k1x0−y0)1+4k12，
直线AN：y−y0=k2(x−x0)，
同理可得x2+x0=8k2(k2x0−y0)1+4k22，
所以x1+x0+x2+x0=8k1(k1x0−y0)1+4k12+8k2(k2x0−y0)1+4k22=8k1(k1x0−y0)1+4k12+8(−14k1)(−14k1x0−y0)1+4(−14k1)2
=8k12x0−8k1y01+4k12+2x0+8k1y01+4k12=2x0+8k12x01+4k12=2x0，
故x1+x2=0．
【解析】(1)结合椭圆的几何性质与点到直线的距离公式，求出a和b的值，即可得椭圆方程；
(2)①利用点到直线的距离可得切线斜率满足的方程，结合韦达定理，求证斜率之积为定值即可； ②分别联立直线AM、AN与椭圆的方程，结合韦达定理求证即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，点到直线的距离公式，直线的方程等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．x
(0,1)
1
(1,2)
(2,4)
4
(4,+∞)
g′(x)
+
0
−
−
0
+
g(x)
增
极大值
减
减
极小值
增
X
0
1
2
3
4
P
1681
3281
827
881
181