2023-2024学年四川省雅安中学等校联考高三（下）开学数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省雅安中学等校联考高三（下）开学数学试卷（文科）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数2i(3−i)的共轭复数为( )
A. −1B. 2−6iC. −2+6iD. −2−6i
2.已知集合A={x||x−2|≤3}，B={x|y=1 x−1}，则A∪B=( )
A. (1,+∞)B. [−1,+∞)C. (1,5]D. [−1,5]
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=3，b=2，sinA=23，则csB=( )
A. 659B. − 659C. 49D. ± 659
4.已知非零向量a，b满足|a|=3|b|，且(a+2b)⊥(a−4b)，则a与b夹角的余弦值为( )
A. 112B. 16C. 14D. 13
5.已知l，m，n是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若l/​/α，α/​/β，则l/​/β
B. 若α∩β=l，m/​/l，则，m/​/α且m//β
C. 若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α
D. 若α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ，则l⊥γ
6.函数f(x)=3x+3−xx2−1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.一组数据x1，x2，x3，⋯，xn的平均数和标准差分别为3和1，另一组数据ax1+b，ax2+b，ax3+b，⋯，axn+b(其中a>0)的平均数和标准差分别为10和4，则ab=( )
A. 16B. 8C. 116D. 18
8.执行如图所示的程序框图，若输入的值为a=0.30.2，b=0.20.3，c=−lg0.20.3，则输出的值为( )
A. lg0.20.3B. 0.30.2C. 0.20.3D. −lg0.20.3
9.已知函数f(x)=2x+ x−4，若存在x10)在[0,π]上恰有两个零点，则ω的取值范围为( )
A. [53,83)B. (53,83]C. [136,256)D. (136,256]
12.我们把形如C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)和C2：y2b2−x2a2=1(a>0,b>0)的两个双曲线叫做共轭双曲线.设共轭双曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则当2e1+3e2取得最大值时，e1=( )
A. 132B. 133C. 136D. 1313
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知实数x，y满足约束条件x+y−4≤0x−1≥0y−1≥0，则其表示的封闭区域的面积为______．
14.已知抛物线E：y2=8x的焦点为F，M(x0,y0)是E上一点，且|MF|=4x03，则x0= ______．
15.一个封闭的玻璃圆锥容器AO内装有部分水(如图1)，此时水面与线段AO交于点B，将其倒置后(如图2)，水面与线段AO还是交于点B，则(ABAO)3= ______．
16.已知α，β分别是函数f(x)=x+ex−xex和g(x)=x+lnx−xlnx的零点，且α>1，β>e，则1α+1β= ______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1+a22+a33+⋯+ann=n⋅2n+1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an2n+2}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
为了防止注册账号被他人非法登录，某系统在账号登录前，要先输入验证码.已知该系统登入设置的每个验证码均由有序数字串abc组成，其中a，b，c∈{1,2,3}，某人非法登录一个账号，任选一组验证码输入．
(1)求这个人输入的验证码恰有两位正确的概率；
(2)若这个人通过技术获得了验证码的第一位数，求这个人输入的验证码正确的概率．
19.(本小题12分)
如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面ABB1A1均是边长为2的正方形．
(1)证明：BD1⊥B1C.
(2)若∠B1BC=120°，求点C1到平面BCD1的距离．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x(lnx−a)+lnx+a．
(1)若a=1，当x>1时，证明：f(x)>0．
(2)若ab>0)的离心率为 33，且椭圆C的短轴长为2 6．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设P是椭圆C上第一象限内的一点，A是椭圆C的左顶点，B是椭圆C的上顶点，直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N.记△ABN的面积为S1，△AMN的面积为S2.证明：|S1−S2|为定值．
22.(本小题10分)
已知曲线C的参数方程为x=csθ+sinθy=csθ−sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x=12+tcsαy=12+tsinα(t为参数)，l与C相交于A，B两点．
(1)求曲线C的普通方程；
(2)设M(12,12)，证明：|MA|⋅|MB|为定值．
23.(本小题12分)
已知正实数a，b，c满足a2+b2+c2=3．
(1)若a=1，证明：1b2+1c2≥2．
(2)求ab+bc+ca的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为2i(3−i)=6i−2i2=2+6i，
故复数2i(3−i)的共轭复数为2−6i．
故选：B．
利用复数的乘法化简复数2i(3−i)，再利用共轭复数的定义可得出结果．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由|x−2|≤3，解得−1≤x≤5，所以A=[−1,5]．
因为函数y=1 x−1的定义域为{x|x>1}，所以B=(1,+∞)，
所以A∪B={x|x≥−1}．
故选：B．
根据绝对值不等式的解法及函数定义域的求法，由集合并集可得结果．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为a=3，b=2，sinA=23，
由正弦定理知asinA=bsinB，则可得sinB=49，
因为b1时，f(x)>0，排除选项B．
故选：A．
先判断函数的奇偶性，然后结合x>1时的函数值为正即可判断．
本题主要考查了函数值在函数图象判断中的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题可知，3a+b=10a2×1=42a>0，解得a=4b=−2，
则ab=4−2=116．
故选：C．
根据两组数据的线性关系确定它们的平均数与标准差的关系列方程，即可得a，b的值，从而可得答案．
本题主要考查了平均数和方差的性质，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由程序框图可知，输出的值为a，b，c中的最小值，
因为a=0.30.2>0，b=0.20.3>0，c=−