2023-2024学年福建省四校安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校高三（下）返校联考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省四校安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校高三（下）返校联考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x||x−1|>2}，B={x|lg4x0,b>0)的左右顶点分别为A、B，点P，Q均在C上，且关于x轴对称.若直线AP、BQ的斜率之积为−14，则该双曲线的离心率为( )
A. 72B. 62C. 52D. 2
8.已知正数a，b，c满足ea=b=lnc，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是( )
A. a+c2bC. acb2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A，B是直线y= 32与函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)图象的两个相邻交点，若|AB|=π6，则ω的值可能是( )
A. 2B. 4C. 8D. 10
10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点，则( )
A. 存在唯一点P，使得D1P⊥B1C
B. 存在唯一点P，使得直线D1P与平面ABCD所成的角取到最小值
C. 若DP=12DB，则三棱锥P−BB1C外接球的表面积为8π
D. 若异面直线D1P与A1B所成的角为π4，则动点P的轨迹是抛物线的一部分
11.学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为23，选择B套餐的概率为13.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为12，选择B套餐的概率也是12，如此反复.记某同学第n天选择A套餐的概率为An，选择B套餐的概率为Bn.一个月(30天)后，记甲、乙、丙三位同学选择B套餐的人数为X，则下列说法中正确的是( )
A. An+Bn=1B. 数列{An−25}是等比数列
C. E(X)=1.5D. P(X=1)=36125
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆x2+y2=4，直线l：y=x+b，圆上恰好有两个点到直线l的距离等于1.则符合条件的实数b可以为______.(只需写出一个满足条件的实数即可)
13.梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AD=AB=1，BC=2，分别以AB、BC、AD为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为______．
14.若过点(1,0)可以作曲线y=ln(x+a)的两条切线，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD满足：AB⊥AD，AD//BC．
(1)要经过平面CC1D1D内的一点P和棱BB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？(借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明)
(2)若AD=AB=2，BC=AA1=1，当点P在点C处时，求直线AP与平面CC1D1D所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为X．

(1)若该质点共移动2次，位于原点O的概率．
(2)若该质点共移动6次，求该质点到达数字X的分布列和数学期望．
17.(本小题15分)
有n2(n≥4)个正数，排成n行n列的数表：
a11a12a13a14…a1na21a22a23a24…a2na31a32a33a34…a3na41a42a43a44…a4n………………an1an2an3an4…ann
其中aij表示位于第i行，第j列的数.数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等.已知a24=1，a42=18，a43=316．
(1)求公比．
(2)求a11+a22+⋯+ann．
18.(本小题17分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)经过点P(4,4)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程．
(2)设O为原点，直线y=kx+2与抛物线C交于M，N(异于P)两点，过点M垂直于x轴的直线交直线OP于点T，点H满足MT=TH.证明：直线HN过定点．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=exlnx,g(x)=(x−1e)2−1．
(1)证明：对任意的x∈(0,1)，都有f(x)≥g(x)．
(2)若关于x的方程f(x)=m有两个不等实根x1，x2，证明：1+m2b．
故B选项正确：
对于选项C和选项D，
令b=e，解得a=1，c=e2，此时ac=e2=b2，故选项C和选项D都不正确．
故选：B．
将a和c都用b表示，再利用求导即可比大小．
本题主要考查构造函数比大小，通过求导即可判断，注意有时也可代特殊值来判断选项，属于中等题．
9.【答案】AD
【解析】解：设函数f(x)的最小正周期为T，
则|AB|=16T或者|AB|=56T，
即2π6ω=π6或10π6ω=π6，
解得ω=2或ω=10，
故选：AD．
因为y=sinx的图象与直线y= 32的相邻交点的距离为π3或5π3，占周期的比例的16或56，由此结合周期公式列式求解即可．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A选项：正方形BCC1B1中，有BC1⊥B1C，
正方体中有AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，AB⊥B1C，
又BC1∩AB=B，BC1，AB⊂平面ABC1D1，B1C⊥平面ABC1D1，
只要D1P⊂平面ABC1D1，就有D1P⊥B1C，P在线段AB上，有无数个点，A选项错误；
对于B选项：D1D⊥平面ABCD，直线D1P与平面ABCD所成的角为∠D1PD，D1D=2，∠D1PD取到最小值时，PD最大，
此时点P与点B重合，B选项正确；
对于C选项：若DP=12DB，则P为DB中点，△PBC为等腰直角三角形，外接圆半径为12BC=1，
三棱锥P−BB1C外接球的球心到平面PBC的距离为12BB1=1，则外接球的半径为 2，所以三棱锥P−BB1C外接球的表面积为8π，C选项正确；
对于D选项：以D为原点，DA,DC,DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，设P(x,y,0)(0≤x≤2,0≤y≤2)，则有D1P=(x,y,−2)，A1B=(0,2,−2)，
有|cs|=|D1P⋅A1B||D1P||A1B|=|2y+4| x2+y2+4⋅ 8=csπ4= 22，化简得x2=4y，P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点，
所以P的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确．
故选：BCD．
由线面垂直得线线垂直来确定点P位置，判断选项A；
几何法找线面角，当角最小时确定点P位置，判断选项B；
P为DB中点时，求三棱锥P−BB1C外接球的半径，计算外接球的表面积，判断选项C；
利用向量法解决异面直线所成角的问题，求出动点P的轨迹，判断选项D．
本题主要考查空间中直线与平面所成得角，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由于学校食堂每天中都会提供A，B两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，
故A n+Bn=1，故A正确，
对于B，由题意可得，An+1=An×14+(1−An)×12，
则An+1−25=−14(An−25)(n≥1,n∈N)，
又∵n=1时，A1−25=23−25=415，
∴数列{An−25}是首项为415，公比为−14的等比数列，
∴An−25=415⋅(−14)n−1,An=25−1615⋅(−14)n,Bn=1−An=35+1615⋅(−14)n，
当n>30时，Bn≈35，
∴X～B(3,35),P(X=1)=C31(35)(1−35)2=36125,E(X)=3×35=95=1.8，
故BD正确，C错误．
故选：ABD．
对于A，结合每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，即可求解，
对于BCD，结合等比数列的性质，以及期望公式，即可依次求解．
本题主要考查离散型随机变量的应用，以及等比数列的性质，属于中档题．
12.【答案】2
【解析】解：圆心为(0,0)，圆的半径为2，设圆心到直线l的距离为d，
因为圆上恰好有两个点到直线l的距离等于1，
所以10，
则函数h′(x)在(0,1)上单调递增，
又当x∈(0,1e)时，h′(x)0，
于是函数h(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,1)上单调递增，
因此h(x)≥h(1e)=0，所以对任意的x∈(0,1)，都有f(x)≥g(x)．
(2)函数f(x)=exlnx的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=e(lnx+1)，
当x∈(0,1e)时f′(x)0，f(x)单调递增，
于是f(x)min=f(1e)=−1，显然x∈(0,1e)时，恒有f(x)