人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题4.2等差数列的概念（九个重难点突破）（2份打包，原卷版+解析版）

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知识点一 等差数列的概念与通项公式
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
2.等差中项
由三个数 SKIPIF 1 < 0 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道, SKIPIF 1 < 0 .
3.等差数列的递推公式及通项公式
已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ,公差为d，则递推公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
通项公式为 SKIPIF 1 < 0
知识点二 等差数列的性质与应用
1.等差数列通项公式的变形及推广
（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 .
2.若 SKIPIF 1 < 0 分别是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列,则有
3.下标性质
在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .特别的,若 SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0
重难点1利用定义判断等差数列
1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，其中p，q为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么这个数列一定是等差数列吗？
3．判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由．
(1)7，13，19，25，31；
(2)2，4，7，11；
(3) SKIPIF 1 < 0 ．
4．判断下列数列是否为等差数列：
(1)an=3-2n；
(2)an=n2-n.
5．已知在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于 ．
6．（多选）若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为常数)
D． SKIPIF 1 < 0
重难点2利用定义得到等差数列的通项公式
7．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ．
9．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 .
10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．36B．37C．38D．39
11．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．已知数列 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 .
重难点3等差数列基本量的计算
13．已知递增数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2024B．2023C．4048D．4046
14．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则首项 SKIPIF 1 < 0 与公差 SKIPIF 1 < 0 分别为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 单调递增且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
16．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
17．已知在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
18．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
重难点4等差中项及其应用
19．一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长是 .
20．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
21．记等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，则d的值为（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
22．有穷等差数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 .
23．已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，则 SKIPIF 1 < 0 的公差为
24．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
重难点5等差数列的性质
25．已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
26．已知正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
27．若 SKIPIF 1 < 0 是公差不为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
28．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．6C．8D．9
29．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
30．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 ．
重难点6等差数列的证明
31．已知数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
32．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），令 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
33．已知 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
34．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
35．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
36．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
37．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
重难点7构造等差数列
38．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．18B．24C．30D．36
39．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2023B．2024C．2027D．4046
40．已知各项均不为0的数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
41．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
42．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
43．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
重难点8等差数列的实际应用
44．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列 SKIPIF 1 < 0 （单位万元， SKIPIF 1 < 0 ），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 倍，已知 SKIPIF 1 < 0 ．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ）
A．72万元B．96万元C．120万元D．144万元
45．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：
由此推断并十苯的分子式为 .
46．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个.
47．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．
重难点9等差数列与数学文化的结合
48．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 尺B．13尺C． SKIPIF 1 < 0 尺D． SKIPIF 1 < 0 尺
49．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（ ）
A．戊戌年B．辛丑年C．己亥年D．庚子年
50．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 升B． SKIPIF 1 < 0 升C． SKIPIF 1 < 0 升D． SKIPIF 1 < 0 升
51．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文D．乙分到34文，丁分到40文
52．诺沃尔（Knwall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔 SKIPIF 1 < 0 年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 .
53．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列最大项和最小项之和为 ．
数列
结论
SKIPIF 1 < 0
公差为d的等差数列(c为任一常数)
SKIPIF 1 < 0
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
SKIPIF 1 < 0
公差为2d的等差数列(k为常数 SKIPIF 1 < 0 )
SKIPIF 1 < 0
公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列(p,q为常数)
名称
萘
蒽
并四苯
…
并n苯
结构简式
…
…
分子式
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
…
…