2023-2024学年北京市房山区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年北京市房山区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子为最简二次根式的是( )
A. 3B. 4C. 8D. 12
2.下面的四个图案分别是“向左转弯”、“直行”、“直行和向右转弯”和“环岛行驶”的交通标志，其中可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如果分式2x−3x+2的值为0，那么x的值是( )
A. x=2B. x=−2C. x=23D. x=32
4.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为( )
A. 5
B. 25
C. 27
D. 5 2
5.下列事件中，属于随机事件的是( )
A. 用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
B. 用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形
C. 如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等
D. 有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等
6.如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.依据是( )
A. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
B. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
C. 三边分别相等的两个三角形全等
D. 两点之间线段最短
7.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为( )
A. 60∘B. 75∘C. 90∘D. 120∘
8.如图，在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD=α(0∘<α<180∘)，点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC.则∠BPC的度数是( )
A. 60∘−αB. 45∘−α2C. 30∘D. 30∘+α
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.等腰三角形的腰长为m，则底边x的取值范围是______.
10.任意掷一枚骰子，面朝上的点数大于2的可能性是______.
11.若 3x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______.
12.比较大小：2 2______3(填“>”、“=”或“<”).
13.在50件同种产品中，有5件次品.检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是______.
14.计算( 5)2−(1−3 2)(1+3 2)=______.
15.已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： b2−|a−b|+ (c−a)2−|c|=______.
16.如图所示，在△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC于点E，若△DEB的周长为15cm，则BC的长为______cm.
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算： 8× 2+( 2−1)2.
18.解方程：2x−3x2−1−1x+1=2x−1.
四、解答题：本题共9小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算： 12+(3.14−π)0−327+| 3−2|.
20.(本小题6分)
计算：(1a−1−1)÷a2−2aa2−2a+1.
21.(本小题6分)
如图，在△ABC和△ADC中，AB=AD，请添加一个条件______，使得△ABC≌△ADC；并写出证明△ABC≌△ADC的过程.
22.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50∘.
(1)作线段AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，要求：不写作法，保留作图痕迹；
(2)连接BD，则∠DBC的度数为______.
23.(本小题6分)
先化简，再代入求值：x2x−2⋅(4x+x−4)，其中x= 2.
24.(本小题6分)
已知△ABC，∠C=90∘，D是AB中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E.若AC=4，CE=2，求BC的长.
25.(本小题6分)
随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大.为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同.求现在每天生产多少万件产品？
26.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，若AE=2，CE=1，求BC的长.
27.(本小题7分)
如图，∠A=90∘，AB=AC，BD⊥AB，BC=AB+BD.
(1)写出AB与BD的数量关系.
(2)延长BC到E，使CE=BC，延长DC到F，使CF=DC，连接EF.求证：EF⊥AB.
(3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH=FH.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、 3被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；
B、 4被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；
C、 8被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、 12被开方数含分母，故D错误；
故选：A.
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3.【答案】D
【解析】解：∵分式2x−3x+2的值为零，
∴2x−3=0x+2≠0，
解得：x=32.
故选：D.
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，从而可列出关于x的不等式组，故此可求得x的值．
本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由勾股定理可知：SA=9+16=25，
故选：B.
由勾股定理即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了随机事件，勾股定理的逆定理，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】
解：A.用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形，但1+2=3，所以这是不可能事件，故A不符合题意；
B.用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形，32+42=52，所以这是必然事件，故B不符合题意；
C.如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等，这是必然事件，故C不符合题意；
D.有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等，这是随机事件，故D符合题意；
故选：D.
6.【答案】A
【解析】解：∵点O为AA′、BB′的中点，
∴OA=OA′，OB=OB′，
由对顶角相等得∠AOB=∠A′OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
OA=OA′∠AOB=∠A′OB′OB=OB′，
∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，
∴AB=A′B′，
即只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，
故选：A.
根据点O为AA′、BB′的中点得出OA=OA′，OB=OB′，根据对顶角相等得到∠AOB=∠A′OB′，从而证得△AOB和△A′OB′全等，于是有AB=A′B′，问题得证．
本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图
∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90∘，
∴∠ACB+∠DEF=90∘.
故选：C.
先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
本题考查的是直角三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，属基础题目．
8.【答案】C
【解析】解：如图，连接AP，
∵点B与点P关于直线AD对称，
∴AP=AB，AD⊥PB，
又∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=AP，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60∘，
∴∠APC=∠ACP=180∘−60∘−2α2=60∘−α，
∴∠APB=∠ABP=90∘−α，
∴∠BPC=∠APB−∠APC
=(90∘−α)−(60∘−α)
=30∘，
故选：C.
根据轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质进行计算即可．
本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和是180∘是正确解答的前提．
9.【答案】0【解析】解：根据三边关系可知：m−m故答案为：0由已知条件腰长是4，底边长为x，根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案．
本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系的运用．列出不等式，通过解不等式求解是正确解答本题的关键．
10.【答案】23
【解析】解：∵共有6个面，其中面朝上的点数大于2的有4种，
∴面朝上的点数大于2的可能性是46=23.
故答案为：23.
根据概率公式直接进行解答即可．
此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.
11.【答案】x≥−13
【解析】解：由题意可得：3x+1≥0，
解得x≥−13，
∴实数x的取值范围为：x≥−13.
故答案为：x≥−13.
由分式有意义及二次根式有意义的条件，进而得出x的取值范围．
此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
12.【答案】<
【解析】【分析】
本题考查了实数的大小比较，主要考查学生的比较能力．
求出2 2= 8，3= 9，再比较即可．
【解答】
解：因为2 2= 8，3= 9，
所以2 2<3，
故答案为：<.
13.【答案】110
【解析】解：取出次品的可能性大小是550=110.
故答案为：110.
根据概率公式求解即可．
本题考查可能性的大小，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn.
14.【答案】22
【解析】解：原式=5−(1−18)
=5+17
=22.
故答案为：22.
先根据二次根式的性质和平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．
15.【答案】0
【解析】解：由数轴可知，c则c−a<0，a−b>0，
∴原式=−b−a+b−c+a+c=0，
故答案为：0.
根据数轴得到a−c>0，c−b<0，根据二次根式的性质化简，合并同类项得到答案．
本题考查的是二次根式的化简、数轴的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．
16.【答案】15
【解析】解：∵∠A=90∘，CD平分∠ACB，DE⊥BC，
∴AD=DE，
在Rt△ADC和Rt△EDC中，由勾股定理得：AC2=DC2−AD2，CE2=DC2−DE2，
∴AC=CE，
∵AB=AC，
∴AB=AC=CE，
∴△DEB的周长是BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE=CE+BE=BC=15cm，
故答案为：15.
根据角平分线性质求出AD=DE，根据勾股定理求出AC=CE=AB，求出△DBE的周长等于BC，代入求出即可．
本题考查了角平分线性质，勾股定理的应用，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
17.【答案】解：原式= 8×2+2−2 2+1
=4+2−2 2+1
=7−2 2.
【解析】利用完全平方公式计算乘方，利用二次根式的乘法运算法则计算乘法，最后算加减．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2的结构是解题关键．
18.【答案】解：2x−3x2−1−1x+1=2x−1
2x−3x−1x+1−1x+1=2x−1
去分母得：2x−3−(x−1)=2(x+1)，
解得：x=−4，
检验：把x=−4代入得：(x+1)(x−1)≠0，
所以分式方程的解为x=−4.
【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
19.【答案】解： 12+(3.14−π)0−327+| 3−2|
=2 3+1−3+2− 3
= 3.
【解析】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
先化简各式，然后再进行计算即可．
20.【答案】解：原式=(1a−1−a−1a−1)÷a(a−2)(a−1)2
=1−(a−1)a−1⋅(a−1)2a(a−2)
=−a+2a−1⋅(a−1)2a(a−2)
=−a−2a−1⋅(a−1)2a(a−2)
=−a−1a.
【解析】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
根据分式的运算法则对式子进行化简即可．
21.【答案】BC=DC(答案不唯一)
【解析】解：添加一个条件BC=DC，证明如下：
在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
故答案为：BC=DC(答案不唯一).
根据SSS证明△ABC≌△ADC即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22.【答案】15∘
【解析】解：(1)如图，直线DE即为所求；
(2)∵∠A=50∘，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=(180∘−50∘)÷2=65∘，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=50∘，
∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=65∘−50∘=15∘.
(1)以A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，过两弧的交点作直线交AB于E，交AC于D，则直线DE即为AB的垂直平分线；
(2)求出∠ABC，∠ABD，可得结论．
本题考查作图-基本作图，涉及等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的作法和性质．
23.【答案】解：原式=x2x−2⋅4+(x−4)xx
=x2x−2⋅x2−4x+4x
=x2x−2⋅(x−2)2x
=x(x−2)
=x2−2x，
当x= 2时，上式=2−2 2.
【解析】先根据分式的加减法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，求出x2−2x=2，最后代入求出即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
24.【答案】解：如图，连接AE，
∵∠C=90∘，AC=4，CE=2，
∴AE= AC2+CE2= 42+22=2 5，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE=2 5，
∴BC=CE+BE=2+2 5.
【解析】根据勾股定理求出AE=2 5，根据线段的判定与性质求出AE=BE=2 5，再根据线段的和差求解即可．
此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
25.【答案】解：设更新技术前每月生产x万件产品，则更新技术后每月生产(x+30)万件产品，
由题意列方程，得：400x=500x+30，
解得：x=120，
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，
120+30=150(万件)，
答：更新技术前每月生产150万件产品．
【解析】设更新技术前每月生产x万件产品，则更新技术后每月生产(x+30)万件产品，由“在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同”列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键．
26.【答案】解：过B作BH⊥CE交CE延长线于H，CH交AB与F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠AFE，
∵CE⊥AD，
∴∠AEF=∠AEC=90∘，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
∵AE⊥CE，
∴FE=EC=1，
∵AB=2AC，
∴AB=2AF，
∴BF=AF，
∵∠H=∠AE90∘，∠BFH=∠AFE，
∴△BHF≌△AEF(AAS)，
∴BH=AE=2，HF=EF=1，
∴CH=FH+FE+EC=3，
∴BC= BH2+CH2= 13.
【解析】过B作BH⊥CE交CE延长线于H，CH交AB与F，由角平分线定义得到∠CAE=∠AFE，由垂直的定义得到∠AEF=∠AEC=90∘，由三角形内角和定理得到∠AFC=∠ACF，因此AF=AC，由等腰三角形的性质推出FE=EC=1，由AB=2AC，得到AB=2AF，因此BF=AF，由AAS推出△BHF≌△AEF，得到BH=AE=2，HF=EF=1，求出CH=FH+FE+EC=3，由勾股定理即可求出BC长．
本题考查全等三角形得到判定和性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理，角平分线定义，关键是通过作辅助线构造全等三角形，等腰三角形．
27.【答案】(1)解：AB=( 2+1)BD.
理由：如图1，设AB=AC=a，
∵AB=AC，∠A=90∘，
∴BC= 2a.
∵BC=AB+BD，
∴BD=BC−AB= 2a−a，
∴ABBD=a 2a−a= 2+1，
∴AB=( 2+1)BD.
(2)证明：如图2中，
在△BCD和△ECF中，
BC=EC∠BCD=∠ECFCD=CF，
∴△BCD≌△ECF(SAS)，
∴∠CBD=∠E，BD=EF，
∴BD//EF，
∵BD⊥AB，
∴EF⊥AB.
(3)证明：延长CH交EF的延长线于点J.
∵∠A=90∘，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45∘，
∵∠ACE=180∘−∠ACB=135∘，CH平分∠ACE，
∴∠ACH=∠ECH=67.5∘，
∵BD⊥AB，
∴∠CBD=∠ABD−∠ABC=45∘，
∵∠CBD=∠E，
∴∠E=45∘，
∴∠ACB=∠E，
∴AC//EJ，
∴∠J=∠ACH=∠ECJ=67.5∘，
∴CE=EJ=CB，
∵CB=BD+AB，EJ=EF+FJ，BD=EF，
∴FJ=AB，
∵AB=AC，
∴FJ=AC，
在△ACH和△FJH中
∠AHC=∠FHJ∠ACH=∠JAC=FJ
∴△ACH≌△FJH(AAS)，
∴AH=FH.
【解析】(1)结论：AB=( 2+1)BD.根据等腰直角三角形的性质和BC=AB+BD即可求出数量关系；
(2)证明△BCD≌△ECF(SAS)，推出∠CBD=∠E=45∘，BD=EF，可得BD//EF，可得结论；
(3)延长CH交EF的延长线于点J.证明△ACH≌△FJH(AAS)，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．