2023-2024学年河北省石家庄市行唐县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市行唐县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若x3÷x=xn，则n=( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
2.若分式x−1x+1的值为0，则x的值为( )
A. 1B. −1C. 1或−1D. 0
3.如图，在△ABC中，∠A=90∘，∠C=60∘，BC=4，则AC的长为( )
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 2.5
4.多项式4a2−2ab与多项式4a2−b2的公因式为( )
A. 2a−bB. 2aC. 2a+bD. 4a2−b
5.正六边形的一个内角是正m边形一个外角的4倍，则m=( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
6.下列正确的是( )
A. 2a2b⋅3a2b2=6a6b3B. 0.00076=7.6×104
C. −2a(a+b)=−2a2+2abD. (2x+1)(x−2)=2x2−3x−2
7.如图，在△ABC中，AD是角平分线，S△ABD=10，AB=5，则点D到边AC的距离为( )
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
8.下列式子运算结果为x+1的是( )
A. x2+2xx+2B. x2−2x+1x−1C. x2−1x−x+1xD. x2x−1−1x−1
9.从10米长的木条两边各截取一根x米长的木条.若得到的三根木条首尾顺次相接能组成三角形，则x的值可能为( )
A. 2B. 2.5C. 3D. 6
10.若m与n互为倒数，则(2m−2n)(1m+n)的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
11.如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
12.如图，依据尺规作图痕迹，计算∠ABC=( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 70∘
D. 80∘
13.在△ABC中，∠B=∠C=50∘，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是( )
A. B.
C. D.
14.《九章算术》中有题如下：把一封信送到900里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送，则早3天送达，已知快马的速度是慢马的2倍.甲、乙两人所列方程如下，甲：设规定时间为x天，则900x+1×2=900x−3；乙：设慢马的速度为y里/天，则900y−9002y=2，则正确的是( )
A. 只有甲对B. 只有乙对C. 两人都对D. 两人都错
15.如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，点P，Q分别在AB，AD上，且BP=AQ=QD=1，动点E在BD上，则PE+QE的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
16.如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①(图中阴影部分是正方形)，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②.若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法.甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16.判断正确的是( )
A. 甲对乙错B. 甲错乙对C. 甲和乙都对D. 甲和乙都错
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.在△ABC中，∠B>90∘，要使△ABC为等腰三角形，写出一个可添加的条件：______.
18.已知关于x的分式方程3xx−1=mx−1+2.
(1)若m=4，分式方程的解为______；
(2)若分式方程无解，则m的值为______.
19.如图，AB//DE，AE与BD相交于点C.AC=EC，AB=8cm.点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，同时点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动.
(1)DE的长为______ cm；
(2)连接PQ，当线段PQ经过点C时，点P的运动时间为______s.
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题9分)
按要求完成下列各小题.
(1)计算：(−a2)3+9a4⋅a2；
(2)因式分解：2ab2+a2b+b3；
(3)计算：(1x−y−1x+y)÷x−2yx2−y2.
21.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′关于y轴对称，它们的顶点坐标如表所示.
(1)将表格补充完整；
(2)在图中画出四边形ABCD和四边形A′B′C′D′；
(3)直线BC与直线B′C′的交点M______(填“在”或“不在”)y轴上，点M的坐标为______.
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠C=40∘，∠B=70∘，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求∠CAE的度数；
(2)求∠ADF的度数.
23.(本小题10分)
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，AB=AC.
(1)求证：BD=CE；
(2)求证：点O在∠BAC的平分线上.
24.(本小题10分)
认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①42−22=4×3；
②62−42=4×5；
③82−62=4×7；
④______；
…
(1)将横线上的等式补充完整；
(2)验证规律：设两个连续的正偶数为2n，2n+2(n为正整数)，则它们的平方差是4的倍数；
(3)拓展延伸：判断两个连续的正奇数的平方差是8的倍数吗？并说明理由.
25.(本小题12分)
嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图.
设每支圆珠笔为x元.
(1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？
(2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确.若每支中性笔比圆珠笔贵m(026.(本小题13分)
在等边三角形ABC中，E是折线BA−AC上的动点，D为射线BC上任意一点，且ED=EB.
(1)如图1，当动点E在边BA上时，连接CE，AD，求证：△AED≌△CDE；
(2)如图2，当动点E是边AC的中点，判断△CDE的形状，并说明理由；
(3)如图3，当动点E在边AC上时，求证：AE=CD；[提示：需作辅助线]
(4)连接AD，若AB=12cm，△BAD是直角三角形，直接写出AE的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵x3÷x=x3−1=x2=xn，
∴n=2.
故选：B.
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算即可．
本题考查同底数幂的除法，掌握“同底数幂相除，底数不变，指数相减”是正确解答的前提．
2.【答案】A
【解析】解：∵分式x−1x+1的值为0，
∴x−1=0且x+1≠0，
由x−1=0可得：x=1，
由x+1≠0可得：x≠−1，
∴x=1.
故选：A.
分式的值为零的条件是：分子为零，分母不为零，由此列方程与不等式，从而可得答案．
本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由题意知，∠B=180∘−∠A−∠C=30∘，
∴AC=12BC=2，
故选：C.
由题意知，∠B=30∘，根据AC=12BC，计算求解即可．
本题考查了三角形内角和定理，含30∘的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，含30∘的直角三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵4a2−2ab=2a(2a−b)，4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，
∴公因式是：2a−b.
故选：A.
分别将多项式4a2−2ab与多项式4a2−b2进行因式分解，再寻找它们的公因式．
本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
5.【答案】D
【解析】解：正六边形的一个内角为：(6−2)×180∘6=120∘，
∵正六边形的一个内角是正m边形一个外角的4倍，
∴正n边形一个外角为：120∘÷4=30∘，
∴m=360∘÷30∘=12.
故选：D.
根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于120∘，再根据多边形的外角和是360∘即可解答．
本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数，以及正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.2a2b⋅3a2b2=6a4b3，原选项计算错误，不符合题意；
×10−4，原科学记数法表示错误，故此选项不符合题意；
C.−2a(a+b)=−2a2−2ab，原选项计算错误，不符合题意；
D. (2x+1)(x−2)=2x2−3x−2，计算正确，符合题意，
故选：D.
运用相关运算法则计算各选项即可
本题主要考查单项式乘以单项式、科学记数法，单项式乘以乘以多项式，多项式乘以多项式的运算，解题的关键是掌握运算法则，正确计算．
7.【答案】B
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90∘，
∴DE=DC，
∵S△ABD=10，AB=5，
∴12×5DE=10，
∴DE=4，
∴DC=4，
即点D到AB的距离DE=4.
故选：B.
据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC，利用三角形的面积先求解DE=4，从而可得答案．
本题主要考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、x2+2xx+2=x(x+2)x+2=x，故此选项不符合题意；
B、x2−2x+1x−1=(x−1)2x−1=x−1，故此选项不符合题意；
C、x2−1x−x+1x=x2−1−x−1x=x2−x−2x，故此选项不符合题意；
D、x2x−1−1x−1=x2−1x−1=(x+1)(x−1)x−1=x+1，故此选项符合题意；
故选：D.
先把分式的分子、分母分解因式，然后根据分式的加减运算法则计算，即可作出判断．
本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可知，三根木条的长度分别为x m，x m，(10−2x)m，
∵三根木条要组成三角形，
∴x−x<10−2x解得：52故选：C.
依据题意，三根木条的长度分别为x m，x m，(10−2x)m，再根据三角形的三边关系即可判断．
本题主要考查了三角形三边的关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边．
10.【答案】A
【解析】解：∵m与n互为倒数，
∴mn=1，
∴(2m−2n)(1m+n)
=2+2mn−2mn−2
=2+2−2−2
=0；
故选：A.
根据倒数的含义可得mn=1，然后再计算分式的乘法运算，再整体代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，倒数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：如图所示，n的最小值为3.
故选：C.
由等边三角形有三条对称轴可得答案．
本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．
12.【答案】C
【解析】解：由尺规作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线，
设线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线相交于点D，线段AB的垂直平分线交AB于点E，
则AD=BD，DE⊥AB，∠ABD=∠CBD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠ADE=∠BDE=12×(180∘−70∘)=55∘，
∴∠DBE=180∘−90∘−55∘=35∘，
∴∠ABC=2∠DBE=70∘.
故选：C.
由尺规作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线，结合线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得答案．
本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．
13.【答案】D
【解析】解：A、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故A选项不符合题意；
B、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故B选项不符合题意；
C、如下图：
∵∠DFC=∠DFE+∠EFC且∠DFC=∠B+∠BDF，
∴∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF，
∵∠B=∠DFE=50∘，
∴∠EFC=∠BDF，
∵BD=FC，∠B=∠C，
∴△DBF≌△FCE(ASA).
根据ASA可以推出剪下的两个三角形全等，故C选项不符合题意；
D、如下图：
由C选项可得：∠EFC=∠BDF，∠B=∠C，但FC不是两个角的夹边，所以两个三角形不一定全等，故D选项符合题意；
故选：D.
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理．
14.【答案】A
【解析】解：设规定时间为x天，慢马用时(x+1)天，快马用时(x−3)天，
依题意得，900x+1×2=900x−3；甲正确，故符合要求；
设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为2y里/天，
依题意得，900y−9002y=4，乙错误，故不符合要求；
故选：A.
设规定时间为x天，慢马用时(x+1)天，快马用时(x−3)天，根据速度关系列分式方程得，900x+1×2=900x−3；设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为2y里/天，根据时间关系列分式方程得，900y−9002y=4；然后进行判断作答即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程．解题的关键在于根据题意正确的列分式方程．
15.【答案】B
【解析】解：如图，在BC上其一点P′，使BP′=BP=1，连接PP′，P′Q，EP′，
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，
∴直线BD是△ABC的对称轴，点P′与点P关于BD对称，AC=2AD，
∴PE=P′E，
∴PE+QE=P′E+QE≥P′Q，
∴PE+QE的最小值为线段P′Q的长，
∵AQ=QD=1，
∴AC=2(AQ+QD)=2×2=4，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠C=60∘，
∵AQ=BP′=1，
∴CP′=CQ，
∴△CP′Q是等边三角形，
∴P′Q=CQ，
∵CQ=AC−AQ=4−1=3，
∴PE+QE的最小值为3，
故选：B.
在BC上其一点P′，使BP′=BP=1，连接PP′，P′Q，EP′，证明出PE+QE的最小值为线段P′Q的长，△CP′Q是等边三角形，即可求出P′Q的长，从而解决问题．
本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定和性质，三角形两边之和大于第三边，能用一条线段的长表示出两线段和的最小值是解题的关键．
16.【答案】B
【解析】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：
a2−b2−2b(a−b)=4，
∴a2−b2−2ab+2b2=4，
∴a2−2ab+b2=4，
∴(a−b)2=4，
∴a−b=2，(负根舍去)，
由图②得：
(a+b)2−a2−b2=30，
∴a2+2ab+b2−a2−b2=30，
∴2ab=30，
∴a2+b2=34，
∴图②所示的大正方形的面积
=(a+b)2
=a2+2ab+b2
=64，
∴a+b=8，(负根舍去)，故甲的说法错误；
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=2×8=16.
故选：B.
根据图形列出算式是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意可得a2−b2−2b(a−b)=4，(a+b)2−a2−b2=30，然后进行化简计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算与图形面积，完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式．
17.【答案】∠A=∠C(或BA=BC)
【解析】解：∵△ABC中，∠B>90∘，要使△ABC为等腰三角形，
∴可添加∠A=∠C(或BA=BC).
故答案为：∠A=∠C(或BA=BC).
根据等腰三角形的定义即可解答．
本题考查的是等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的定义与判定方法是解本题的关键．
18.【答案】x=23
【解析】解：(1)当m=4时，原方程即为：3xx−1=4x−1+2，
去分母得：3x=4+2x−2，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x−1≠0，
∴x=2是原方程的根；
故答案为：x=2；
(2)方程去分母得：3x=m+2x−2
化简，得x=m−2，
当x=1时，分母为零，分式方程无解，
即m−2=1，解得m=3，
∴m=3时，方程无解．
故答案为：3.
(1)把m=4代入原方程中，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
(2)根据分式方程的增根是最简公分母为零的值，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
本题考查了解分式方程已经分式方程的解，，准确熟练地进行计算，利用分式方程的增根得出关于m的方程是解题关键．
19.【答案】8 2或4
【解析】解：(1)∵AB//DE，
∴∠A=∠E，
在△ACB和△ECD中，
∠A=∠EAC=EC∠ACB=∠ECD，
∴△ACB≌△ECD(SAS)，
∴ED=AB=8cm，
故答案为：8；
(2)当线段PQ经过点C时，如下图所示：
在△ACP和△ECQ中，
∠A=∠EAC=EC∠ACP=∠ECQ，
∴△ACP≌△ECQ(ASA)，
∴AP=EQ，
当点P沿A→B方向运动时，AP=3t，DQ=t，
∴EQ=ED−DQ=8−t，
∴3t=8−t，
解得t=2；
当点P沿B→A方向运动时，AP=2AB−3t=16−3t，DQ=t，
∴EQ=ED−DQ=8−t，
∴16−3t=8−t，
解得t=4；
综上可知，t的值为2s或4s，
故答案为：2或4.
(1)证△ACB≌△ECD(SAS)，可得答案；
(2)当线段PQ经过点C时，证明△ACP≌△ECQ(ASA)，推出AP=EQ，分点P沿A→B方向运动和沿B→A方向运动两种情况，分别列式求解．
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论．
20.【答案】解：(1)(−a2)3+9a4⋅a2
=−a6+9a6
=8a6；
(2)2ab2+a2b+b3
=b(2ab+a2+b2)
=b(a+b)2；
(3)(1x−y−1x+y)÷x−2yx2−y2
=x+y−(x−y)(x+y)(x−y)⋅(x+y)(x−y)x−2y
=2yx−2y.
【解析】(1)先计算积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，再合并同类项即可；
(2)先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
(3)先计算括号内的分式的减法运算，再计算分式的除法运算即可．
本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，因式分解，分式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)(−2,−2)；(4,0)；
(2)四边形ABCD和四边形A′B′C′D′如图所示，
(3)在；(0,−4).
【解析】解：(1)∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′关于y轴对称，
∴补充表格如下：
故答案为：(4,0)，(−2,−2)；
(2)见答案；
(3)如图，
直线BC与直线B′C′的交点M在y轴上，点M的坐标为(0,−4).
故答案为：在，(0,−4).
(1)根据关于y轴对称的图形的坐标性质补充表格即可；
(2)先根据坐标描点，再画图即可；
(3)根据轴对称的性质可得对称线段的交点位置，从而可得答案．
本题考查的是画轴对称，坐标与图形，轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵∠C=40∘，∠B=70∘，
∴∠BAC=180∘−(∠C+∠B)=70∘，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=35∘.
(2)∵AD是△ABC的高，
∴∠CAD=90∘−∠C=50∘，
∴∠DAE=∠CAD−∠CAE=15∘，
∵DF⊥AE
∴∠ADF=90∘−∠DAE=75∘.
【解析】(1)根据三角形的内角和180∘，求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质定理求出∠CAE的度数．
(2)先求出∠CAD，再求出∠DAE，最后求出∠ADF.
本题主要考查三角形的内角和，角平分线性质定理，角的和差来解决问题．
23.【答案】(1)证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90∘，
在△ACD与△ABE中，
∠A=∠BAC=AB∠ADC=∠AEB，
∴△ACD≌△ABE(ASA)，
∴AD=AE，
∴AB−AD=AC−AE，
即BD=CE；
(2)证明：由(1)可知BD=CE，∠ODB=∠OEC=90∘.
在△OBD和△OCE中，
∠ODB=∠OEC∠BOD=∠COEBD=CE，
∴△OBD≌△OCE(AAS)，
∴OD=OE，
又∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴点O在∠BAC的平分线上．
【解析】(1)根据ASA证明△ACD≌△ABE即可推出结论；
(2)由AAS证明OBD≌△OCE得出OD=OE即可推出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】102−82=4×9
【解析】解：(1)由题意得：102−82=4×9；
故答案为：102−82=4×9；
(2)(2n+2)2−(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2−2n)=4(2n+1).
∵n为正整数，
∴2n+1为正整数，
∴若两个连续的正偶数为2n，2n+2(n为正整数)，则它们的平方差是4的倍数；
(3)是；理由：
设两个连续的正奇数为2m−1，2m+1(m为正数).
(2m+1)2−(2m−1)2
=[(2m+1)−(2m−1)][(2m+1)+(2m−1)]
=2×4m
=8m.
∵m为正整数，
∴两个连续的正奇数的平方差是8的倍数．
(1)根据已知算式写出即可；
(2)利用平方差公式计算得出答案；
(3)这两个偶数为2n和2n+2，利用平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
25.【答案】解：(1)由题意可知，每支中性笔为(x+1.2)元．
由题意得：21x+1.2=12x，
解得：x=1.6，
经检验，x=1.6是原方程的解，
此时，圆珠笔的数量为12÷1.6=7.5(支)，
∵圆珠笔的数量为整数，
∴x=1.6不符合题意，
∴淇淇说嘉嘉搞错了；
(2)由题意可知，每支中性笔为(x+m)元．
由题意得：21x+m=12x，
解得：x=4m3，
∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，
∴整数m=3，
∴x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意，
答：整数m的值为3.
【解析】(1)根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题；
(2)根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，然后求出m=3即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60∘，AB=BC，
∵EB=ED，
∴△EED是等边三角形，
∴∠EED=∠BDE=60∘，BE=BD，
∴180∘−∠BED=180∘−∠BDE，即∠AED=∠CDE，
AB−BE=BC−ED，即AE=CD，
在△AED和△CDE中，
AE=CD∠AED=∠CDEDE=DE，
∴△AED≌△CDE(SAS)；
(2)解：△CDE是等腰三角形；理由如下：
∵E为AC的中点，△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60∘，∠CBE=12∠ABC=30∘，
∵ED=EB，
∴∠EDB=∠CBE=30∘，
∴∠DEC=∠ACB−∠EDB=30∘，
∴∠DEC=∠EDB，
∴△CDE是等腰三角形；
(3)证明：过点E作EF//BC，如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60∘，AB=AC，
∵EF//BC，
∴∠AFE=∠AB=60∘，∠AEF=∠ACB=60∘，
∴∠AFE=∠AEF=∠A，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=AE=EF，∠BFE=∠ECD=120∘，
∴AB−AF=AC−AE，即BF=CE，
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDC，
∴∠ABC−∠EBD=∠ACB−∠EDC，即∠EBF=∠DEC，
在△EFB和△DCE中，
∠BFE=∠ECDBF=CE∠EBF=∠DEC，
∴△EFB≌△DCE(ASA)，
∴EF=CD，
∴AE=CD；
(4)解：当∠ADB=90∘时，如图：
∴AD是△ABC的中线，
∴BD=CD=12AB=6，
由(1)可知，AE=CD，
∴AE=6；
当∠BAD=90∘时，如图：
∴∠ADB=90∘−∠ABC=30∘，
∴BD=2AB=24，
∴CD=BD−BC=12，
由(3)可知，CD=AE，
∴AE=12.
综上所述，AE的长为6cm或12cm.
【解析】(1)由△ABC是等边三角形，得∠ABC=60∘，AB=BC，而EB=ED，知△EED是等边三角形，有∠EED=∠BDE=60∘，BE=BD，可得∠AED=∠CDE，AE=CD，即可得△AED≌△CDE(SAS)；
(2)由E为AC的中点，△ABC是等边三角形，得∠ACB=60∘，∠CBE=12∠ABC=30∘，又ED=EB，故∠EDB=∠CBE=30∘，有∠DEC=∠ACB−∠EDB=30∘，知∠DEC=∠EDB，△CDE是等腰三角形；
(3)过点E作EF//BC，证明△AEF是等边三角形，可得∠BFE=∠ECD=120∘，∠EBF=∠DEC，即可证△EFB≌△DCE(ASA)，得EF=CD，从而AE=CD；
(4)分两种情况：当∠ADB=90∘时，由(1)可知，AE=CD，可得AE=6；当∠BAD=90∘时，由(3)可知，CD=AE，可得AE=12.
本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形性质及应用；解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理．四边形ABCD
A(−3,2)
B(−4,0)
C______
D(−2,2)
四边形A′B′C′D′
A′(3,2)
B′______
C′(2,−2)
D′(2,2)
四边形ABCD
A(−3,2)
B(−4,0)
C(−2,−2)
D(−2,2)
四边形A′B′C′D′
A′(3,2)
B′(4,0)
C′(2,−2)
D′(2,2)