2023-2024学年吉林省四平十四中等校八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年吉林省四平十四中等校八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中一定是轴对称图形的是( )
A. 梯形B. 直角三角形C. 角D. 平行四边形
2.等腰三角形的顶角为100∘，则它的一个底角是( )
A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 80∘
3.有下列式子：①x6÷x3=x2；②(xy)6=xy6；③(−4x3−8x4y)÷(−4x3)=2xy；④(3a4−6a3)÷3a2=a2−2a，其中计算正确的有( )
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
4.若方程(x+1)(x+a)=x2+bx−4，则( )
A. a=4，b=3B. a=−4，b=3
C. a=4，b=−3D. a=−4，b=−3
5.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A. SSSB. SASC. AASD. ASA
6.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则点C的个数是( )
A. 5个B. 6个C. 8个D. 9个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.若(x−)2=2，x2−2x+5的值为______.
8.计算：(9a2b−6ab2)÷(3ab)=______.
9.计算(1+3x)(3x−1)+9(13−x)(x+13)的结果是______.
10.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______.
11.如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为______cm.
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=15∘，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连结BD.若AD=16cm，则BC的长为______cm.
13.已知点A(a,b)关于x轴对称点的坐标是(a,−12)，关于y轴对称点的坐标是(5,b)，则A点的坐标是______.
14.某轮船从甲地到乙地逆水航行，航程为100km，若轮船在静水中的速度是xkm/h，水流速度为2km/h，则所需时间为______h.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解方程：xx+1=2x3x+3+1.
四、解答题：本题共9小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
先化简，再求值：x(12x+1)−3x(32x−2)，其中x=2.
17.(本小题5分)
如图，AM是△ABC的中线，若S△ABC=20cm2，AC=5cm，MD⊥AC，求MD的长.
18.(本小题5分)
若a、b、c为三角形的三边长，试证明：(a2+b2−c2)2−4a2b2的值一定为负．
19.(本小题7分)
如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN.
20.(本小题7分)
小王同学解分式方程x+13x−6+2x+12−x=3的过程，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.解：去分母得：x+1−3(2x+1)=3…①
去括号得：x+1−6x+1=3…②
移项得：x−6x=3−1−1…③
合并同类项得：−5x=1…④
系数化为1得：x=−15⋯⑤
∴x=−15是原分式方程的解…⑥
21.(本小题7分)
如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，求DB的长度．
22.(本小题7分)
观察下列各式的规律，然后回答问题.
(1)11×2=1−12=12
(2)12×3=12−13=16
(3)11×2+12×3+13×4+⋯+19×10=______.
①把(3)题结果填出来.
②猜想：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=______.
③说明你的猜想的合理性.
23.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD//AB，OE//AC.
(1)求证△ODE是等边三角形.
(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程.
24.(本小题8分)
某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
(1)求甲、乙两种商品的每件进价；
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据轴对称图形的定义：
A、梯形不一定是轴对称图形，故此选项错误；
B、直角三角形不一定是轴对称图形，故此选项错误；
C、角的角平分线所在直线可以作为一条对称轴，故是轴对称图形，故此选项正确；
D、平行四边形不是轴对称图形，故此选项错误．
故选C.
如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断．
本题考查轴对称的定义，难度不大，掌握轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵一个等腰三角形的顶角为100∘，
∴它的底角=180∘−100∘2=40∘.
故选：A.
根据等腰三角形的两个底角相等即可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：①x6÷x3=x3，故此选项错误；
②(xy)6=x6y6，故此选项错误；
③(−4x3−8x4y)÷(−4x3)=2xy+1，故此选项错误；
④(3a4−6a3)÷3a2=a2−2a，正确．
故选：C.
利用整式的除法运算法则分别化简求出即可．
此题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵(x+1)(x+a)
=x2+x+ax+a=x2+(a+1)x+a，
∴由多项式相等的条件得：a+1=ba=−4，
解得a=−4，b=−3.
故选D.
首先根据多项式乘法的法则，将(x+1)(x+a)展开，然后由两个多项式相等的定义，得出结果．
本题考查了多项式乘法的法则以及多项式相等的定义；两个多项式相等，即对应项系数相同．
多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
5.【答案】A
【解析】解：由作图可知，OC=O′C′=OD=O′D′，CD=C′D′，
∴△COD≌△C′O′D′(SSS).
故答案为：A.
根据全等三角形的判定可得答案．
本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定以及作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如上图：分情况讨论
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：B.
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
7.【答案】6
【解析】解：(x−1)2=，
x−2x5=15=6.
∴x2−x=，
∴x22x+=2，
故答案为6.
根据完平方式展开，先求出x2−2x的，然后加上5算即．
本题考查了完全方公式，记公式是题关键，利用“体入的思想计算更加简便．
8.【答案】3a−2b
【解析】解：(9a2b−6ab2)÷(3ab)
=9a2b÷(3ab)−(6ab2)÷(3ab)
=3a−2b.
故答案为：3a−2b.
此题直接利用多项式除以单项式的法则即可求出结果．
本题考查多项式除以单项式．多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．
9.【答案】0
【解析】解：(1+3x)(3x−1)+9(13−x)(x+13)
=9x2−1+9(19−x2)
=9x2−1+1−9x2
=0.
故答案为：0.
先根据平方差公式进行计算，再算加减即可．
本题考查了平方差公式，能熟记公式是解此题的关键，平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2.
10.【答案】6
【解析】解：设多边形的边数为n，
根据题意得(n−2)×180∘=360∘×2，
解得n=6，
所以这个多边形是六边形．
故答案为：6.
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
11.【答案】13
【解析】解：∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足
∴AD=DC，AC=2AE=6cm，
∵△ABC的周长为19cm，
∴AB+BC=13cm
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm.
故填13.
根据垂直平分线的性质计算．
△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC
本题考查了线段垂直平分线的性质；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等．
12.【答案】8
【解析】解；∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，
∴AD=BD.
∴∠DAE=∠B=15∘且AD=BD=16cm，
∴∠ADC=30∘，
∴AC=12AD=8cm.
故答案为：8..
利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等腰三角形的性质得∠DAE=∠B=15∘且AD=BD=16cm，再利用外角的性质得∠ADC=30∘，解直角三角形即可得AC的值．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
13.【答案】(−5,12)
【解析】【分析】
此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变确定a、b的值，进而可得A点的坐标.
【解答】解：∵已知点A(a,b)关于x轴对称点的坐标是(a,−12)，
∴b=12，
∵关于y轴对称点的坐标 是(5,b)，
∴a=−5，
∴则A点的坐标是(−5,12).
故答案为(−5,12).
14.【答案】100x−2
【解析】解：根据题意，轮船从甲地到乙地逆水航行的速度为(x−2)km/h，
∴轮船从甲地到乙地逆水航行所需时间为：100x−2h.
故答案为：100x−2.
先列出逆水航行的速度，再列出轮船从甲地到乙地逆水航行所需时间即可．
本题考查了列代数式，牢记时间=路程÷速度是解答本题的关键．
15.【答案】解：方程两边都乘3(x+1)，
得：3x=2x+3(x+1)，
化简得：3x=5x+3
解得：x=−32，
经检验x=−32是方程的解，
∴原方程的解为x=−32.
【解析】本题的最简公分母是3(x+1)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
16.【答案】解：x(12x+1)−3x(32x−2)
=12x2+x−92x2+6x
=−4x2+7x，
当x=2时，原式=−4×22+7×2=−4×4+14=−16+14=−2.
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：∵AM是△ABC的中线，S△ABC=20cm2，
∴△ABM的面积=△ACM的面积=12△ABC的面积=10(cm2)，
∵AC=5cm，MD⊥AC，
∴12AC⋅MD=10，
∴12×5DM=10，
解得：MD=4cm，
∴MD的长为4cm.
【解析】根据三角形的中线定义可得：△ACM的面积=12△ABC的面积=10cm2，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
18.【答案】解：(a2+b2−c2)2−4a2b2
=(a2+b2−c2+2ab)(a2+b2−c2−2ab)
=[(a+b)2−c2][(a−b)2−c2]
=(a+b+c)(a+b−c)(a−b−c)(a−b+c)，
∵a、b、c为三角形的三边长，
∴a+b+c>0，a+b−c>0，a−b−c<0，a−b+c>0，
∴(a2+b2−c2)2−4a2b2的值一定为负．
【解析】根据因式分解-运用公式法把(a2+b2−c2)2−4a2b2变形为(a+b+c)(a+b−c)(a−b−c)(a−b+c)，再根据三角形的三边关系即可得出答案．
此题考查了三角形的三边关系，用到的知识点是因式分解-平方差公式、完全平方公式以及三角形的三边关系，关键是对给出的式子进行变形．
19.【答案】解：如图所示；

【解析】本题要求思维严密，根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．
本题主要考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：错误的步骤是①、②，正确解答如下：
去分母得：x+1−3(2x+1)=3(3x−6)，
去括号得：x+1−6x−3=9x−18，
移项得：x−6x−9x=−18−1+3，
合并同类项得：−14x=−16，
解得：x=87，
检验：当x=87时，3x−6=−187≠0，
所以分式方程的解为x=87.
【解析】观察阅读材料中的解方程过程，找出错误的步骤，修改解答过程即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21.【答案】解：如图，延长CE交AB于F，
则∠A+∠1=90∘，∠C+∠2=90∘，
∵∠1=∠2(对顶角相等)，
∴∠A=∠C，
在△ABD和△CDE中，
∠A=∠C∠ABD=∠CDE=90∘CE=AD，
∴△ABD≌△CDE(AAS)，
∴DB=DE，
∵DE=2米，
∴DB的长度是2米．
【解析】本题考查了全等三角形的应用，仔细观察图形求出∠A=∠C是解题的关键．
延长CE交AB于F，根据等角的余角相等求出∠A=∠C，再利用“角角边”证明△ABD和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DB=DE.
22.【答案】910 nn+1
【解析】解：①观察题中等式可知，
11×2+12×3+13×4+⋯+19×10
=1−12+12−13+⋯+19−110
=1−110
=910.
故答案为：910.
②猜想：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=nn+1.
故答案为：nn+1.
③由①中的发现可知，
11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)
=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1.
根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题．
本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=nn+1是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：在等边三角形ABC中，
AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60∘，
又∵OD//AB，
∴∠ABC=∠ODE=60∘，
同理，∵OE//AC，
∴∠ACB=∠OED=60∘
∴△ODE是等边三角形．
(2)解：BD=DE=EC；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∵OD//AB，OE//AC，
∴∠ODE=∠ABC=60∘，∠OED=∠ACB=60∘，
∴OD=DE=OE，
∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60∘，
∴∠ABO=∠OBD=30∘，
∵OD//AB，
∴∠BOD=∠ABO=30∘，
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO，
同理，EC=EO，
∵DE=OD=OE，
∴BD=DE=EC.
【解析】(1)在等边三角形ABC中，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60∘，因为OD//AB，可得∠ABC=∠ODE=60∘，同理得∠ACB=∠OED=60∘即可解答；
(2)根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，因为DE=OD=OE，所以BD=DE=EC.
此题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解及运用．
24.【答案】解：(1)设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为(x+8)元．
根据题意，得，2000x=2400x+8，
解得x=40.
经检验，x=40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
(2)甲乙两种商品的销售量为200040=50(件).
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
(60−40)a+(60×0.7−40)(50−a)+(88−48)×50≥2460，
解得a≥20.
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价-进价．
(1)设甲种商品的每件进价为x元，根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；
(2)设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．