2023-2024学年吉林省松原市乾安县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年吉林省松原市乾安县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是( )
A. 4B. 5C. 6D. 9
2.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a6=a8B. a8÷a4=a2C. 2a2+3a2=6a4D. (−3a)2=−9a2
3.若x=−1，则下列分式值为0的是( )
A. x2xB. xx+1C. x−1xD. x2−1x
4.下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A. △ABC的三条中线的交点
B. △ABC三条角平分线的交点
C. △ABC三条高所在直线的交点
D. △ABC三边的中垂线的交点
6.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6.延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为秒时．△ABP和△DCE全等．( )
A. 1B. 1或3C. 1或7D. 3或7
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.分解因式：3x2y−3y=______.
8.化简：5b+1b2−2b+1b2=______.
9.某微生物的直径为0.000005035m，用科学记数法表示该数为______.
10.若等腰三角形的一个外角为140∘，则它的顶角的度数为______.
11.如图，∠ACB=90∘，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，添加一个条件，使△ACD≌△CBE，添加的条件是______.(写出一个即可)
12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC=2，DE=1，则S△ACD=______.
13.如图，在三角形纸片ABC中，AC=BC.把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD.如果∠BAC=35∘，则∠CBD的度数是______.
14.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在AB的延长线上.过点C作CD⊥AC，与y轴交于点D，且CD=OA.若点D的坐标为(0,6)，则线段AC的长度为______.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解分式方程：2−xx−3+13−x=1.
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：
(1)(12x4−8x3)÷2x；
(2)13a(3a−6)+(a−2)(a+3).
17.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且满足AD=BD=BC.点F在BC延长线上，连接FD并延长，交AB于点E，连接AF，求∠BAC和∠ACB的度数.
18.(本小题5分)
如图，BE=CF，AC=DF，AC//DF.求证：△ABC≌△DEF.
19.(本小题7分)
某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台.已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛，学生会提出两个方案：
方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台(阴影部分)，面积为S1；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台(阴影部分)，面积为S2；具体数据如图所示.
(1)图2长方形的长是______，宽是______；
(2)试比较S1与S2的大小关系.
20.(本小题7分)
图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点；
(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点；
(3)在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
21.(本小题7分)
下面是一位同学化简代数式(2xx+2−x)÷x2−2xx+2的解答过程：
(1)这位同学的解答，在第______步出现错误.
(2)请你写出正确的解答过程，并求出当x=4时，原式的值.
22.(本小题7分)
2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
23.(本小题8分)
如图，一个小长方形的长为a+b，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内.
(1)大长方形的宽m=______，长n=______(长和宽都用含a，b的式子来表示).
(2)求在大长方形中，阴影部分的面积(用含a，b的式子来表示)
(3)若b=2a，大长方形面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，则S2S1=______.
24.(本小题8分)
【感知】如图①，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点(点D不与点B、C重合)，作∠EDF=60∘，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF.若DE⊥BC，则∠DFC的大小是______度；
【探究】如图②，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点(点D不与点B、C重合)，作∠EDF=60∘，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF.求证：BE=CD；
【应用】在图③中，若D是边BC的中点，且AB=2，其它条件不变，如图③所示，则四边形AEDF的周长为______.
25.(本小题10分)
由角平分线不仅可以得到角相等，也可以用来构造全等三角形，其构造思路如下：
在图1中，点P是∠ABC的平分线OC上一点，点M在OA上，我们可以在OB上截取ON=______；连接 PN，根据三角形全等判定方法______；构造出全等三角形△OMP≌△ONP.
(1)请补全上面的构造思路；
(2)参考上面的思路，解答问题：
如图2，在△ABC中，AC>BC，直线MN垂直平分BC，与∠BAC的平分线AE交于D点，连接CD、BD，则∠ABD与∠ACD有何数量关系，说明理由.
26.(本小题10分)
如图(1)，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s：点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s).
(1)当x=______时，PQ⊥AC；
(2)当0(3)当2答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围，再结合选项即可得出答案.
【解答】
解：由三角形三边关系定理，得7−2解得5因此，本题的第三边应满足5故选C.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和幂的乘方与积的乘方的法则，熟练掌握上述法则是解题的关键．
利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和幂的乘方与积的乘方的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】
解：∵a2⋅a6=a2+6=a8，
∴A选项的结论符合题意；
∵a8÷a4=a8−4=a4，
∴B选项的结论不符合题意；
∵2a2+3a2=5a2，
∴C选项的结论不符合题意；
∵(−3a)2=9a2，
∴D选项的结论不符合题意，
故选：A.
3.【答案】D
【解析】解：当x=−1时，x2−1x=1−1−1=0.
故选：D.
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故正确；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选C.
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
5.【答案】B
【解析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：B.
由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL.
分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16−2t=2即可求得．
【解答】
解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90∘，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP=2t=2，
所以t=1，
因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90∘，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=16−2t=2，
解得t=7.
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故选：C.
7.【答案】3y(x+1)(x−1)
【解析】解：3x2y−3y
=3y(x2−1)
=3y(x+1)(x−1)，
故答案为：3y(x+1)(x−1).
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
8.【答案】3b
【解析】解：原式=(5b+1)−(2b+1)b2
=5b+1−2b−1b2
=3bb2
=3b.
故答案为：3b.
根据分式的减法法则即可求解．
本题考查了分式的减法运算，熟练掌握分式减法法则是解答本题的关键．
9.【答案】5.035×10−6
【解析】解：0.000005035=5.035×10−6，
故答案为：5.035×10−6.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10.【答案】40∘或100∘
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理、三角形外角的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于等腰三角形外角的位置不确定，因此本题要分情况进行讨论．
【解答】
解：本题可分两种情况：
①如图，当∠DCA=140∘时，∠ACB=40∘，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=40∘，
∴∠A=180∘−∠B−∠ACB=100∘；
②如图，当∠EAC=140∘时，∠BAC=40∘.
因此等腰三角形的顶角度数为40∘或100∘.
故答案为40∘或100∘.
11.【答案】BE=CD(答案不唯一)
【解析】解：添加的条件是BE=CD，判断两三角形全等的根据是SAS，
理由是：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，
∵∠CBE+∠BCE=90∘，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ABC和△DEF中，
∠ADC=∠CEBCD=BE∠ACD=∠CBE
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
故答案为：BE=CD(答案不唯一).
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL.
12.【答案】1
【解析】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=1，
∵AC=2，
∴S△ACD=12AC⋅DF
=12×2×1
=1，
故答案为：1.
过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE=DF=1，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13.【答案】20∘
【解析】解：∵AC=BC，∠BAC=35∘，
∵∠ABC=∠BAC=35∘，
由折叠的性质可得：∠CAD=∠BAC=35∘，AB=AD，
∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=70∘，
∴∠ABD=12(180∘−∠BAD)=55∘，
∴∠CBD=∠ABD−∠ABC=20∘.
故答案为：20∘.
由AC=BC，∠BAC=35∘，根据等边对等角的性质，即可求得∠ABC的度数，又由折叠的性质，求得∠ABD的度数，继而求得∠CBD的度数．
此题考查了折叠的性质与等腰三角形的性质．此题注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．
14.【答案】6
【解析】解：∵CD⊥AC
∴∠C=∠AOB=90∘，
∵∠DBC=∠ABO，CD=OA
∴△AOB≌△DCB(AAS)，
∴AB=DB，BO=BC，
∴AC=AB+BC=DB+BO=OD，
∵点D的坐标为(0,6)
∴OD=6，
∴AC=6，
故答案为：6.
证明△AOB≌△DCB，根据全等三角形的性质得到AC=AB+BC=DB+BO=OD，即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，证明△AOB≌△DCB是解题的关键．
15.【答案】解：去分母得：2−x−1=x−3，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：(1)(12x4−8x3)÷2x
=12x4÷2x−8x3÷2x
=6x3−4x2；
(2)13a(3a−6)+(a−2)(a+3)
=a2−2a+a2+3a−2a−6
=(a2+a2)+(−2a+3a−2a)−6
=2a2−a−6.
【解析】(1)根据整式的除法法则即可求解；
(2)根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则即可求解．
本题主要考查整式的除法，单项式乘多项式和多项式乘多项式，掌握整式的除法法则，单项式乘多项式和多项式乘多项式法则是解题的关键．
17.【答案】解：设∠BAC=x∘，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=x∘，
∴∠BDC=2x∘，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=2x∘，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2x∘，
由∠BAC+∠ABC+∠ACB=180∘可得x+2x+2x=180，
解得：x=36，
则∠BAC=36∘，∠ACB=72∘.
【解析】设∠BAC=x∘，由AD=BD=BC知∠A=∠ABD=x∘，∠BDC=∠BCD=2x∘，由∠BAC+∠ABC+∠ACB=180∘列方程求解可得；
本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
18.【答案】证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+CE，
即BC=EF，
∵AC//DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ACB和△DFE中，
BC=EF∠ACB=∠DFEAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
【解析】首先根据AD=BE可得AB=DE，再由AC//DF可得∠A=∠FDE，然后利用SAS定理证明△ABC≌△DEF即可．
此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19.【答案】a+ba−b
【解析】解：(1)根据题意得，
图2矩形的长是12a×2+b=a+b，宽是a−b，
故答案为：a+b，a−b；
(2)S1>S2，理由如下：
由图可知，S1=a2−b2，S2=(a+b)(a−b)−b2=a2−2b2，
∴S1−S2=a2−b2−(a2−2b2)
=a2−b2−a2+2b2
=b2>0，
∴S1>S2.
(1)根据矩形的性质及线段的和差求解即可；
(2)由正方形面积公式求出S1，由长方形面积公式，平方差公式，求出S2，即可得到答案．
本题考查了正方形的性质，正方形和矩形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图①，MN即为所求；(答案不唯一)
(2)如图②，PQ即为所求；(答案不唯一)
(3)如图③，△DEF即为所求．(答案不唯一)
【解析】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
(1)根据对称性在图①中，画一条不与AB重合的线段MN与AB对称即可；
(2)根据对称性在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ与AC对称即可；
(3)根据对称性在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称即可．
21.【答案】①
【解析】解：(1)第①步出现错误，
故答案为：①；
(2)(2xx+2−x)÷x2−2xx+2
=2x−x(x+2)x+2⋅x+2x(x−2)
=2x−x2−2xx+2⋅x+2x(x−2)
=−x2x+2⋅x+2x(x−2)
=−xx−2，
当x=4时，原式=−44−2=−2.
(1)根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断；
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
22.【答案】 解： 设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，
则燃油车平均每公里的加油费为(x+0.6)元，
根据题意，得200x=200x+0.6×4，
解得x=0.2，
经检验，x=0.2是原方程的解，且符合题意.
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元

【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设这款电动汽车平均每公里的充电费为 x 元，则燃油车平均每公里的加油费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍"列分式方程，解方程即可求解。
23.【答案】2a+b4a+b14
【解析】解：(1)大长方形的宽m=a+b+a=2a+b，
长n=3a+a+b=4a+b，
故答案为：2a+b，4a+b；
(2)大长方形面积为=(2a+b)(4a+b)=8a2+2ab+4ab+b2=8a2+6ab+b2，
故阴影部分的面积=8a2+6ab+b2−6a(a+b)=8a2+6ab+b2−6a2−6ab=2a2+b2；
(3)当b=2a时，S1=8a2+6ab+b2=8a2+12a2+4a2=24a2；S2=2a2+b2=2a2+(2a)2=6a2；
∴S2S1=6a224a2=14，
故答案为：14.
(1)利用整式的加减即可求解；
(2)利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解；
(3)当b=2a时，分别用a表示出大长方形的面积，阴影部分的面积，代入即可求解．
此题考查了列代数式，代数式求值，整式的混合运算涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合并同类项法则，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键．
24.【答案】90 4
【解析】解：【感知】如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60∘，
∵DE⊥BC，即∠BDE=90∘，∠EDF=60∘，
∴∠BED=∠CDF=30∘，
∴∠DFC=90∘，
故答案为：90；
【探究】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60∘，
∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=60∘，
∴∠CDF=∠BED，
在△BDE和△CFD中，
∵∠B=∠C∠BED=∠CDFBD=CF，
∴△BDE≌△CFD(AAS)，
∴BE=CD；
【应用】∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴∠B=∠C=60∘，AB=BC=AC=2，
∵D为BC中点，且BD=CF，
∴BD=CD=CF=AF=1，
由【探究】知△BDE≌△CFD，
∴BE=CD=1，DE=DF，
∵∠B=60∘，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=DF=1，
则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=4，
故答案为：4.
【感知】由等边三角形性质知∠B=∠C=60∘，根据DE⊥BC，∠EDF=60∘知∠BED=∠CDF=30∘，据此可得答案．
【探究】由∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=∠B=60∘知∠CDF=∠BED，据此证△BDE≌△CFD可得答案．
【应用】先得出BD=CD=CF=AF=1，再由【探究】知△BDE≌△CFD，据此得BE=CD=1，DE=DF，结合∠B=60∘知△BDE是等边三角形，得出DE=DF=1，再进一步求解可得答案．
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质及四边形的周长公式等知识点．
25.【答案】OM SAS
【解析】解：(1)∵点P是∠ABC的平分线OC上一点，
∴∠MOP=∠NOP，
又∵OP=OP，
∴在OB上截取ON=OM，利用SAS定理即可证△OMP≌△ONP，
故答案为：OM，SAS.
(2)∠ABD+∠ACD=180∘，理由如下：
如图，在AC上截取AF=AB，连接DF，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠DAF=∠DAB，
在△ADF和△ADB中，
AF=AB∠DAF=∠DABAD=AD，
∴△ADF≌△ADB(SAS)，
∴FD=BD，∠AFD=∠ABD，
∵直线MN垂直平分BC，
∴CD=BD，
∴CD=FD，
∴∠ACD=∠CFD，
∴∠ABD+∠ACD=∠AFD+∠CFD=180∘.
(1)根据SAS判断三角形全等即可；
(2)证明△ADF≌△ADB(SAS)，可得结论．
本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
26.【答案】45
【解析】解：(1)如图1，BP=xcm，CQ=2xcm，
∵AB=BC=CA=4cm，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠C=60∘，
∴当∠CPQ=30∘时，PQ⊥AC，
∴CQ=12PC，即2x=12(4−x)，解得x=45，
即当x=45时，PQ⊥AC；
故答案为45；
(2)0∵PQ//AB，
∴∠QPC=∠B=60∘，
∴△PQP为等边三角形，
∴PC=CQ，即4−x=2x，解得x=43，
即当x=43时，PQ//AB；
(3)当2①当∠BPQ=90∘时，BQ=(8−2x)cm，
∵∠B=60∘，
∴BP=12BQ，即x=12(8−2x)cm，解得x=2(不合题意，舍去)，
当∠BQP=90∘时，BQ=12BP，
即8−2x=12x，解得x=165，
综上所述，使△BPQ是直角三角形的x的值是165.
(1)如图1，由△ABC为等边三角形得∠C=60∘，所以当∠CPQ=30∘时，PQ⊥AC，根据含30度的直角三角形三边的关系得CQ=12PC，即2x=12(4−x)，然后解方程即可；
(2)0(3)当2①分类讨论：当∠BPQ=90∘时，BQ=8−2x，利用∠B=60∘得到BP=12BQ，即x=12(8−2x)，解得x=2(不合题意，舍去)；当∠BQP=90∘时，则BQ=12BP，即8−2x=12x，解得x=165；
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等边三角形的判定与性质和动点问题的解决方法．解：原式=2x−x2+2xx+2⋅x+2x(x−2)①
=x(4−x)x+2⋅x+2x(x−2)②
=4−xx−2③