2023-2024学年吉林省长春市二道区力旺实验中学八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年吉林省长春市二道区力旺实验中学八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.3的算术平方根是( )
A. ± 3B. 3C. − 3D. 9
2.下列计算中，结果正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a8÷a4=a2C. 2m+3n=5mnD. (a2)3=a6
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 34B. 15C. 0.6D. 18
4.要使分式4x−3有意义，x应满足的条件是( )
A. x>3B. x=3C. x≠3D. xAC，D是BA延长线上一点，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论错误的是( )
A. ∠DAE=∠BB. ∠EAC=∠C
C. AE//BCD. ∠DAE=∠EAC
8.如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.在163， 3，π，0，−1.6， 6中，无理数有______个.
10.计算：4b3a⋅3a22b=______.
11.分解因式：9−b2=______.
12.将含30∘角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60∘，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为______cm.
13.如图，△ABC中AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D.若∠A=40∘，则∠DBC=______.
14.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB=500m，AC=300m，BC=400m，飞机中心周围260m以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为14m/s，则着火点C受到洒水影响______秒.
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算：
(1) 53× 27− 10÷ 2；
(2)(−1)3+(−123)0−2−1.
16.(本小题6分)
计算：
(1)(−2a2)2⋅5ab；
(2)(4x3−8x2)÷2x.
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(x+1)(x−1)−(x−2)2，其中x=2.
18.(本小题7分)
如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为点C和点D.
求证：∠ECD=∠EDC.
19.(本小题7分)
如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.
(1)AB=______；
(2)在图1中确定一点D，点D在边BC上，使AB=BD；
(3)在图2中确定一点E，点E在边AC上，使BE平分∠ABC.
20.(本小题7分)
勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.
(1)请用文字语言叙述勾股定理的内容：______；
(2)请从下列3种常见的证明图形中任选一种来证明该定理.(下图中的图形均满足证明勾股定理所需的条件)
21.(本小题8分)
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c(c为最长边)，那么该如何计算它的面积呢？
我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：
S= 1a[a2b2−(a2+b2−c22)2](秦九韶公式)：
古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：
S= p(p−a)(p−b)(p−c)(海伦公式)，其中，p=a+b+c2.
秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题：
(1)如果一个三角形的三边长依次为 3，2， 5，选取合适的公式可以使计算更简便，则这个三角形的面积是______；
(2)如图，在△ABC中，已知AB=13，BC=14，AC=15.
①则△ABC的面积的是______；
②作AD⊥BC于点D，则BD的长是______.
22.(本小题9分)
现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；(用a、b的代数式表示出来)
图1表示：______；
图2表示：______；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(2)若x+y=6，x2+y2=20，求xy和(x−y)2的值；
(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=12，两正方形的面积和S1+S2=80，则图中阴影部分面积是______.
23.(本小题10分)
已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC.
(1)【感知】如图1，当点E为AB的中点时，则线段AE与DB的数量关系是______；
(2)【类比】如图2，当点E为AB边上任意一点时，则线段AE与DB的数量关系是______，请说明理由；(提示如下：过点E作EF//BC，交AC于点F.)
(3)【拓展】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为2，AE=3，则CD的长是______.
24.(本小题12分)
如图，在长方形ABCD中，AD=BC=9，AB=CD=4.E为AD边上一点，DE=3.点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向终点C运动，连接PE.设点P运动的时间为t秒.
(1)用含有t的代数式表示CP的长；
(2)当t=3时，求△PCE的面积；
(3)①当EP⊥BC时，则t的值为______；
②当EP平分∠AEC时，则t的值为______.
(4)当△PEC是等腰三角形时，直接写出t的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】
解：因为( 3)2=3，
所以3的算术平方根是 3，
故选B.
2.【答案】D
【解析】解：A选项，原式=a5，故该选项不合题意；
B选项，原式=a4，故该选项不合题意；
C选项，2m与3n不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；
D选项，原式=a6，故该选项符合题意；
故选：D.
根据同底数幂的乘法判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据合并同类项判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，掌握(am)n=amn是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、 34= 3 4= 32，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 15是最简二次根式，符合题意；
C、 0.6= 35= 155，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 18= 9×2=3 2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B.
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
4.【答案】C
【解析】解：要使分式4x−3有意义，x应满足的条件是：x−3≠0，
解得：x≠3.
故选：C.
直接利用分式有意义的条件，即分母不等于0，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵(x−3)(x+5)=x2+2x−15=x2+mx−15，
∴m=2.
故选：B.
利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可．
本题主要考查了多项式乘以多项式，恒等原理等，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，恒等的两个代数式对应项系数相等，是求解的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵OA=OB= 22+12= 5，
∴点A所表示的数为 5.
故选：B.
根据勾股定理求出OB的长，然后根据数轴与实数的关系解答．
本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，求出OB的长是解答本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由作图可知，∠DAE=∠ABC，
∴AE//BC，
∴∠EAC=∠C，
故选项A，B，C正确，
故选：D.
根据平行线的判定和性质解决问题即可．
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故选：C.
分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
9.【答案】3
【解析】解：在163， 3，π，0，−1.6， 6中，无理数有 3，π， 6，共3个．
故答案为：3.
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
10.【答案】2a
【解析】解：原式=12a2b6ab=2a.
故答案为：2a.
利用分式的乘法法则计算即可．
本题考查了分式的运算，掌握分式的乘法法则是解决本题的关键．
11.【答案】(3+b)(3−b)
【解析】解：原式=(3+b)(3−b)，
故答案为：(3+b)(3−b)
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB=∠α=60∘，
∵∠A=60∘，
∴∠ABC=180∘−∠ACB−∠A=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴∠A=∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=3−1=2(cm).
故答案为：2.
先由平行线的性质可得∠ACB的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得AB=BC，则可得出AB的长．
此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，含30∘角的直角三角形，平行线的性质，能够得出AB=BC是解答此题的关键．
13.【答案】30∘
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40∘，
∴∠ABC=180∘−∠A2=180∘−40∘2=70∘，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40∘，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=70∘−40∘=30∘.
故答案为：30∘.
先根据AB=AC，∠A=40∘求出∠ABC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠A=∠ABD=40∘即可求出∠DBC的度数．
本题考查的是线段垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
14.【答案】1007
【解析】解：过C作CH⊥AB于H，设M，N在AB上，且CM=CN=260m，如图：
∵AB=500m，AC=300m，BC=400m，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90∘，
∴2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CH，
∴CH=AC⋅BCAB=300×400500=240(m)，
∵CM=CN=260m，
∴MH=NH= 2602−2402=100(m)，
∴MN=200(m)，
∴着火点C受到洒水影响的时间为200÷14=1007(秒)；
故答案为：1007.
过C作CH⊥AB于H，设M，N在AB上，且CM=CN=260m，由AB=500m，AC=300m，BC=400m，知∠ACB=90∘，用面积法得CH=AC⋅BCAB=300×400500=240(m)，即可得MH=NH= 2602−2402=100(m)，故着火点C受到洒水影响的时间为200÷14=1007(秒).
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，求出着火点C受到洒水影响时飞机所在位置．
15.【答案】解：(1)原式= 53×27− 10÷2
=3 5− 5
=2 5；
(2)原式=−1+1−12
=−12.
【解析】(1)先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简后合并即可；
(2)先根据乘方的定义、零指数幂和负整数指数幂的意义计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)(−2a2)2⋅5ab
=4a4⋅5ab
=20a5b；
(2)(4x3−8x2)÷2x
=4x3÷2x−8x2÷2x
=2x2−4x.
【解析】(1)先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可；
(2)利用整式的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：(x+1)(x−1)−(x−2)2
=x2−1−(x2−4x+4)
=x2−1−x2+4x−4
=4x−5，
当x=2时，原式=4×2−5=8−5=3.
【解析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴CE=DE，
∴∠ECD=∠EDC(等边对等角).
【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=DE，再根据等边对等角证明即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．
19.【答案】5
【解析】解：(1)AB= 32+42=5.
故答案为：5；
(2)如图1中，点D即为所求；
(3)如图2中，点E即为所求．
(1)利用勾股定理求解；
(2)在BC时截取BD=5即可；
(3)连接AD，取AD的中点F，作射线AF交AC于点E，
本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】(1)在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
(2)如图1，由图形可知，4×12ab+(b−a)2=c2，
整理得，a2+b2=c2；
或如图2，由图形可知，(a+b)2=4×12ab+c2，
整理得，a2+b2=c2；
或如图3，由图形可知，(a+b)×(a+b)2=2×12ab+c2，
整理得，a2+b2=c2.
【解析】解：(1)在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
故答案为：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
(2)见答案．
(1)直接写出勾股定理的内容即可；
(2)根据图形的面积不同表示方法得出等式整理即可得出结论．
本题考查了勾股定理的证明，根据图形的面积不同表示方法得出等式是解题的关键．
21.【答案】114 84 5
【解析】解：(1)p=a+b+c2= 3+2+ 52，
这个三角形的面积= 3+2+ 52( 3+2+ 52− 3)( 3+2+ 52−2)( 3+2+ 52− 5)=114，
故答案为：114；
(2)①p=a+b+c2=13+14+152=21，
S△ABC= 21(21−13)(21−14)(21−15)=84，
故答案为：84，
②∵S△ABC=12×AD×BC，
∴AD=12，
在Rt△ABD中，BD= AB2−AD2=5，
故答案为：5.
(1)借助题目中三角形面积公式可得；
(2)①将三边代入三角形面积公式可得，
②已知三角形的面积以及底，求高，利用勾股定理，可得BD.
本题考查了二次根式的计算，关键是计算正确．
22.【答案】(a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)2=(a−b)2+4ab32
【解析】解：(1)图1中，由图可知S大正方形=(a+b)2，
S组成大正方形的四部分的面积之和=a2+b2+2ab，
由题意得，S大正方形=S组成大正方形的四部分的面积之和，
即(a+b)2=a2+b2+2ab，
图2中，由图可知S大正方形=(a+b)2，S小正方形=(a−b)2，S四个长方形=4ab，
由题图可知，S大正方形=S小正方形+S四个长方形，
即(a+b)2=(a−b)2+4ab，
故答案为：(a+b)2=a2+b2+2ab.(a+b)2=(a−b)2+4ab.
(2)∵(x+y)2=x2+y2+2xy，
∴xy=12[(x+y)2−(x2+y2)]，
∵x+y=6，x2+y2=20，
∴xy=12(62−20)=8，
∴(x−y)2=x2+y2−2xy=20−2×8=4.
(3)由题意得AB=AC+CB，
∵AB=12，
∴AC+CB=12，
∵S1+S2=80，
∴AC2+CB2=80，
∵(AC+BC)2=AC2+CB2+2AC⋅CB，
∴AC⋅CB=12[(AC+CB)2−(AC2+CB2)]
=12(122−80)
=32，
∴阴影部分的面积=CD⋅CB=AC⋅CB=32，
即图中阴影部分的面积为32.
故答案为：32.
(1)图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为(a+b)正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
(2)根据x+y=6，x2+y2=20，求出xy的值，然后根据完全平方公式的变形进行计算即可；
(3)AB=AC+BC，S1=AC2，S2=BC2，S阴影=BC⋅CD=BC⋅AC，可以利用(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC⋅BC代入求值即可．
本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．
23.【答案】AE=DBAE=DB5或1
【解析】解：(1)AE=DB，理由如下：
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60∘，
∵点E为AB的中点，
∴∠ECD=12∠ACB=30∘，AE=BE，
∴∠D=30∘，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=∠ABC−∠D=30∘，
∴∠DEB=∠D，
∴DB=BE，
∴AE=DB；
故答案为：AE=DB；
(2)AE=DB，理由如下：
如图2，过点E作EF//BC，交AC于点F，
则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60∘，
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60∘，∠DBE=120∘，
∴△AEF为等边三角形，∠EFC=120∘，
∴AE=EF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEC，
在△DBE和△EFC中，
∠DBE=∠EFC=120∘∠D=∠FECDE=EC，
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB=EF，
∴AE=DB，
故答案为：AE=DB；
(3)∵△ABC的边长为2，
∴BC=AC=2，
分两种情况：
①如图3，点E在AB延长线上，点D在CB延长线上，过点E作EF//BC，交AC的延长线于点F，
同(2)得：△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC(AAS)，
∴AE=EF=3，DB=EF=3，
∵BC=2，
∴CD=BC+DB=2+3=5；
②如图4，点E在BA延长线上，点D在BC延长线上，过点E作EF//AC，交直线BC于点F，
同(2)得：△BEF是等边三角形，△DBE≌△CFE(AAS)，
∴BF=BE=AB+AE=2+3=5，DB=CF=BF−BC=5−2=3，
∵BC=2，
∴CD=DB−BC=3−2=1；
综上所述，CD的长为5或1，
故答案为：5或1.
(1)由等腰三角形的性质得∠D=∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD=30∘，然后证∠DEB=∠D，得DB=BE，即可得出结论；
(2)过点E作EF//BC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE=EF，再证△DBE≌△EFC(AAS)，得DB=EF，即可得出结论；
(3)分两种情况，①点E在AB延长线上，点D在CB延长线上；②点E在BA延长线上，点D在BC延长线上；由等边三角形的性质和全等三角形的性质分别求出DB的长，即可解决问题．
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
24.【答案】6 4
【解析】解：(1)∵BC=9，
∴CP=9−t；
(2)当t=3时，CP=9−t=6，
∴△PCE的面积=12PC⋅CD=12×6×4=12；
(3)①当EP⊥BC时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DCB=90∘，
∴四边形EPCD是矩形，
∴ED=PC=3，
∴9−t=3，
∴t=6；
故答案为：6；
②∵AE平分∠AEC，
∴∠AEP=∠PEC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AEP=∠EPC，
∴∠PEC=∠EPC，
∴PC=EC，
∵ED=3，CD=4，
∴EC= ED2+CD2=5，
∴PC=5，
∴9−t=5，
∴t=4.
故答案为：4；
(4)过P作PH⊥AD于H，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠A=90∘，
∴四边形ABPH是矩形，
∴∠PHE=90∘，BP=AH=t，BA=PH=4，CP=CB−BP=9−t，
∴HE=AE−AH=6−t，
∴PE2=PH2+HE2=16+(6−t)2，
①当PE=CP时，16+(6−t)2=(9−t)2，
解得t=296；
②当PE=CE时，16+(6−t)2=25，
解得t=3或t=9(舍去)；
③当CP=CE时，9−t=5，
解得t=4；
综上所述，当t为296或3或4时，△PCE为等腰三角形．
(1)由题意可得出答案；
(2)由三角形面积公式可得出答案；
(3)①证出四边形EPCD是矩形，得出ED=PC=3，则可得出答案；
②证出PC=EC，由勾股定理求出EC=5，则可得出答案；
(4)过P作PH⊥AD于H，分三种情况：①当PE=CP时，16+(6−t)2=(9−t)2，②当PE=CE时，16+(6−t)2=25，③当CP=CE时，9−t=5，解方程可得答案．
本题考查四边形综合应用，涉及直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是方程思想和分论讨论思想的应用．