2023-2024学年吉林省长春市榆树市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年吉林省长春市榆树市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−8的立方根是( )
A. 4B. 2C. −2D. ±2
2.在 5，−1.6，0，2这四个数中，最大的数是( )
A. 5B. −1.6C. 0D. 2
3.了解时事新闻，关心国家重大事件是每个中学生应具备的素养，在学校举行的新闻事件比赛中，知道“祝融号”成功到达火星的同学有40人，频率为0.8，则参加比赛的同学共有( )
A. 32人B. 40人C. 48人D. 50人
4.如图是护士统计一位病人的体温变化图，这位病人中午12时的体温约为( )
A. 39.0℃B. 38.5℃C. 38.2℃D. 37.8℃
5.如图，△ABC是等边三角形，边长为2，根据作图的痕迹，则BD的长为( )
A. 1.7
B. 3
C. 5
D. 6
6.如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A=∠D=90∘，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是( )
A. AC=DF
B. ∠B=∠E
C. ∠ACB=∠DFE
D. BC=EF
7.如图，在△ABC中，∠C=90∘，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E.若AC=12，BC=16，则AE的长为( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
8.如图，在△ABC中，AC=10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.4的平方根是______.
10.计算：12x5y÷6xy=______.
11.因式分解：m2−4=______.
12.命题“等边三角形的每个内角都等于60∘”的逆命题是______命题.(填“真”或“假”)
13.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=22.5∘，AC=2，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，则BD的长为______.
14.我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一个有趣的问题：“有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端刚好达到岸边的水面”，则水池的深度为______尺．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
15.计算：(2m2−m)2÷(−m2).
16.先化简，再求值：2(a+1)(a−1)−a(2a−3)，其中a=−16.
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：|−7|+ 16−(−3)2.
18.(本小题6分)
计算：(x+2y)(2x−3y).
19.(本小题7分)
已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.求证：BD=CE.
20.(本小题8分)
在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A、B在方格纸中小正方形的顶点上，每个小正方形的顶点叫做格点.
(1)按下列要求画图：
①以AB为腰作等腰△ABC，使得点C在格点上；
②以AB为底作等腰△ABD，使得点D在格点上.
(2)△ABD的面积是______.
21.(本小题8分)
以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛.某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图.
请根据统计图提供的信息，解答下列问题.
(1)m=______，n=______.
(2)请补全条形统计图；
(3)若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有______名.
22.(本小题9分)
如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D.
(1)求证：CD=AC+ED.
(2)若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
23.(本小题10分)
【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容.
角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等.
已知：如图1，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任何一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.
求证：PD=PE.
请写出完整的证明过程：…
(1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程.
(2)【应用】如图3，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF，若AB=13，AF=8，则CF的长为______.
(3)【拓展】如图4，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若∠ABC=60∘，∠C=45∘，DE=3，BD=6，则△ABD的面积为______.
24.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=5cm，BC=13cm，点D在线段AC上，且CD=7cm，动点P从距B点15cm的E点出发，以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动，时间为t秒.
(1)求AD的长.
(2)用含有t的代数式表示AP的长.
(3)在运动过程中，是否存在某个时刻，使△ABC与△ADP全等？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−8的立方根是−2.
故选：C.
根据立方根的定义即可求解．
本题考查立方根，解题的关键是正确理解立方根的概念，本题属于基础题型．
2.【答案】A
【解析】解：∵−1.6<0<2< 5，
∴在 5，−1.6，0，2这四个数中，最大的数是 5.
故选：A.
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
3.【答案】D
【解析】解：根据频率=频数总数，
参加比赛的同学共有40÷0.8=50(人)，
故选：D.
根据频率=频数总数，求解即可．
本题考查了频数与频率，记住公式：频率=频数总数是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：由折线统计图可以看出：这位病人10时的体温为38.3℃，这位病人14时的体温为38.0℃，
又知从10时到14时体温是下降趋势，则这位病人中午12时的体温在38.0℃到38.3℃之间，约为38.2℃.
故选C.
分析折线统计图，结合体温的变化趋势，即可求出答案．
本题考查的是折线统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；折线统计图表示的是事物的变化情况．
5.【答案】B
【解析】【解答】
解：由作图可知：BD平分∠ABC，
∵△ABC是等边三角形，边长为2，
∴BD⊥AC，AD=CD=12AC=1，
由勾股定理得：BD= BC2−CD2= 22−12= 3.
故选：B.
【分析】
由作图可知：BD是∠ABC的角平分线，根据等边三角形的性质可知：BD是高线和中线，由勾股定理可得结论．
此题主要考查了等边三角形的性质，角平分线的作图，勾股定理，正确识别BD是角平分线是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠A=∠D=90∘，AB=DE，
∴当添加条件AC=DF时，△ABC≌△DEF(SAS)，故选项A不符合题意；
当添加条件∠B=∠E时，△ABC≌△DEF(ASA)，故选项B不符合题意；
当添加条件∠ACB=∠DFE时，△ABC≌△DEF(AAS)，故选项C不符合题意；
当添加条件BC=EF时，△ABC≌△DEF(HL)，故选项D符合题意；
故选：D.
根据题目中的条件和各个选项中的条件，可以写出判断△ABC≌△DEF的依据，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．
7.【答案】C
【解析】解：如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=12，BC=16，
由勾股定理知：AB= AC2+BC2= 122+162=20.
∵AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E.
∴AE=BE=12AB=10.
故选：C.
首先根据勾股定理求得斜边AB的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE的长度．
本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
8.【答案】C
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴BD+CD=AC=10.
∴BC=△BDC的周长−(BD+CD)=18−10=8，
故选：C.
根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，则AC=BD+CD，结合AC=10和△BDC的周长，即可求得BC的长．
本题考查了线段的垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
9.【答案】±2
【解析】【分析】
本题考查了平方根的定义，解题关键是掌握其定义并会运用.根据正数有两个平方根，并且互为相反数即可得出.
【解答】
解：∵(±2)2=4，
∴4的平方根为±2，
故答案为±2.
10.【答案】2x4
【解析】解：原式=2x4.
故答案为：2x4.
根据整式的除法法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型．
11.【答案】(m+2)(m−2)
【解析】解：m2−4=(m+2)(m−2).
故答案为：(m+2)(m−2).
根据平方差公式，进行因式分解．
本题考查公式法的因式分解，解题的关键是掌握平方差公式的因式分解法．
12.【答案】真
【解析】解：命题“等边三角形的每个内角都等于60∘”的逆命题是“三个角都是60∘的三角形是等边三角形”，是真命题，
故答案为：真．
根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等边三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13.【答案】2 2
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，连接AD，则DA=DB，
∴∠DAB=∠B=22.5∘，
∴∠CDA=22.5∘+22.5∘=45∘，
∵∠C=90∘，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD= 2AC=2 2，
∴BD=2 2.
故答案为2 2.
连接AD，利用基本作法判断MN垂直平分AB，则DA=DB，所以∠DAB=∠B=22.5∘，再判断△ACD为等腰直角三角形，则AD=2 2，从而得到BD的长．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).
14.【答案】12
【解析】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+(10÷2)2=(x+1)2，
解得：x=12，
答：水的深度是12尺．
故答案是：12.
首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为(x+1)尺，根据勾股定理可得方程x2+(10÷2)2=(x+1)2，再解即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
15.【答案】解：原式=(4m4−4m3+m2)÷(−m2)
=−4m2+4m−1.
【解析】先算乘方，再算除法．
本题考查整式混合运算，确定运算顺序是求解本题的关键．
16.【答案】解：原式=2(a2−1)−2a2+3a
=2a2−2−2a2+3a
=3a−2，
当a=−16时，
原式=3×(−16)−2
=−12−2
=−52.
【解析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简，最后代入求值．
本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘多项式的运算法则，平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构是解题关键．
17.【答案】解：原式=7+4−9=2.
【解析】先计算绝对值，二次根式，乘方，再计算加减．
本题考查实数的运算，解题的关键是掌握实数混合运算的法则．
18.【答案】解：(x+2y)(2x−3y)
=2x2−3xy+4xy−6y2
=2x2+xy−6y2.
【解析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】证明：在△ABE和△ACD中，
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴AE=AD，
∵BD=AB−AD，CE=AC−AE，
∴BD=CE.
【解析】由两角和夹边即可得出△ABE≌△ACD，由全等三角形的性质可到AE=AD，进而可得出结论BD=CE.
本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握，也是中考常见题型．
20.【答案】52
【解析】解：(1)①如图，点C即为所求．
②如图，点D即为所求．
(2)由网格可得，AD⊥BD，
由勾股定理得，AD=BD= 12+22= 5，
∴△ABD的面积为12× 5× 5=52.
故答案为：52.
(1)①利用网格，取格点C，使AB=AC即可；②利用网格，取格点C，使AC=BC即可．
(2)结合网格，利用勾股定理及三角形面积公式计算即可．
本题考查作图-应用与设计作图、等腰三角形、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】50 10 72
【解析】解：(1)m=15÷30%=50，
n%=5÷50×100%=10%，
故答案为：50，10；
(2)硬件专业的毕业生有：50×40%=20(人)，
补全的条形统计图如右图所示；
(3)600×30%=180(名)，
即估计“总线”专业的毕业生有180名，
故答案为：180.
(1)根据总线的人数和所占的百分比，可以求得m的值，然后即可计算出n的值；
(2)根据(1)中的结果和硬件所占的百分比，可以求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整；
(3)根据统计图中的数据，可以计算出“总线”专业的毕业生的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】证明：(1)∵∠ABC+∠EBD=90∘，
∠ABC+∠BAC=90∘，
∴∠BAC=∠EBD，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
在△ABC与△BED中，
∠BAC=∠EBD∠ACB=∠BDEAB=BE，
∴△ABC≌△BED(AAS)，
∴BC=DE，BD=AC，
∴CD=BC+BD=AC+ED；
(2)由(1)知，DE=BC=a，BD=AC=b，
∴S梯形ACDE=12(a+b)(a+b)=12a2+ab+12b2，
又∵S梯形ACDE=S△ABC+S△ABE+S△BDE
=12ab+12c2+12ab
=ab+12c2，
∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，
∴a2+b2=c2.
【解析】(1)通过AAS证明△ABC≌△BED，得BC=DE，BD=AC，即可得出结论；
(2)利用等面积法证得勾股定理．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的证明，证明△ABC≌△BED是解题的关键．
23.【答案】52 9
【解析】(1)证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POE=∠POD，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90∘，
又∵OP=OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)，
∴PD=PE；
(2)解：∵∠C=90∘，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
同(1)法可得：△ACD≌△AED(AAS)，
∴AE=AC，DE=DC，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠C=90∘，
又∵BD=DF，DE=DC，
∴△CDF≌△EDB(HL)，
∴CF=BE，
∵AB=AE+BE=AC+CF，AC=AF+CF，
∴AB=AF+CF+CF，即：13=8+2CF，如图2，
∴CF=52；
故答案为：52；
(3)解：过点D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC，
∴DF=DE=3，∠ABD=12∠ABC=30∘，
∵∠ABC=60∘，∠C=45∘，
∴∠A=180∘−60∘−45∘=75∘，
∴∠ADB=180∘−30∘−75∘=75∘，
∴∠A=∠ADB，
∴AB=BD=6，
∴S△ABD=12×6×3=9；
故答案为：9.
(1)利用AAS，证明△PDO≌△PEO，即可得证；
(2)证明△ACD≌△AED，得到AC=AE，证明△CDF≌△EDB，得到CF=BE，根据AB=AE+BE，AC=AF+CF，根据线段的转化，进行求解即可．
(3)过点D作DF⊥AB，得到DE=DF，根据三角形内角和定理，推出∠A=∠BDA，进而得到：AB=BD，利用三角形的面积公式进行求解即可．
本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
24.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=5cm，BC=13cm，
∴AC= BC2−AB2= 132−52=12(cm)，
∵CD=7cm，
∴AD=AC−CD=12−7=5(cm).
(2)当0≤t≤10时，AP=(20−2t)cm，
当t>10时，AP=(2t−20)cm；
(3)存在某个时刻，使△ABC与△ADP全等，理由如下：
如图，连接BD，
∵AD=BD=5cm，∠BAC=∠PAD=90∘，
∴当AC=PA时，△ABC与△ADP全等，
∴20−2t=12或2t−20=12，
解得t=4或16，
∴满足条件的t的值为4或16.
【解析】(1)利用勾股定理求出AC即可解决问题；
(2)分两种情形：点P在点A的右边或左边分别求解；
(3)当AC=PA时，△ABC与△ADP全等，分两种情形构建方程即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．