2023-2024学年辽宁省大连市中山区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市中山区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.三角形的两边长分别为4、9，则第三边长可能是( )
A. 4B. 5C. 12D. 13
2.在平面直角坐标系xOy中，点P(3,5)关于y轴对称的点的坐标是( )
A. (−3,0)B. (−3,5)C. (−3,−5)D. (3,−5)
3.下列多边形中，内角和等于360∘的是( )
A. B. C. D.
4.计算(−a)3⋅a2的结果是( )
A. −a6B. a6C. −a5D. a5
5.分式13−x有意义的条件是( )
A. x=−3B. x≠0C. x≠−3D. x≠3
6.如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC=CD，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是( )
A. CE=BC
B. AB=DE
C. ∠A=∠D
D. ∠ABC=∠E
7.如图，点B，D，E，C在一条直线上，且AB=AC，AD=AE，BC=12，BD=3，则DE的长为( )
A. 5
B. 6
C. 8
D. 9
8.下列尺规作图的语句正确的是( )
A. 连接B，C，使BC⊥ABB. 以点C为圆心，AB长为半径画弧
C. 作直线AB=3cmD. 连接AD，并且平分∠BAC
9.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. (a+1)(a−1)=a2−1B. a(a−b)=a2−ab
C. 4a2−2a=2a(2a−1)D. a2+2a+3=(a+1)2+2
10.师傅和徒弟两人每小时一共做40个零件，在相同的时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件.师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了x个零件，则可列方程为( )
A. 300x=10040−xB. 30040−x=100xC. 300x=100x−40D. 300x−40=100x
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：2mn−6m=______.
12.华为Mate60搭载了最新一代处理器麒麟9100，这款芯片采用了最先进的7nm制造工艺，已知7nm=0.000000007m，将0.000000007用科学记数法表示为：______.
13.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD=______ ∘.
14.如图，已知△ABC≌△DBE，AB=2，BE=7，则CD的长为______.
15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,0)，在x轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有______个.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)(x+y)(x2−xy+y2)；
(2)(a2b−cd3)3÷2ad3⋅(c2a)2.
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=60∘，∠C=90∘，作∠BAC的角平分线，交BC于点D.
(1)依题意补全图形(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)求证BD=2CD.
18.(本小题9分)
先化简，再求值：4y2−x2x2+2xy+y2÷x−2y2x2+2xy，其中x= 2，y=2 2.
19.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，点E在BC边上，且BE=CD，∠B=∠C=∠AED.求证：AE=DE.
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0,0)，A(−2,1)，B(1,2).
(1)在图中画出△AOB关于x轴对称的△A′OB′；
(2)在y轴上画出点P，使得PA+PA′的值最小(保留作图痕迹)，并直接写出点P的坐标.
21.(本小题8分)
列方程解应用题：甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地.求甲、乙的速度.
22.(本小题12分)
【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考：
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
x2+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？
在第102页的练习第2题中，我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：
(x+p)(x+q)
=x2+px+qx+pq
=x2+(p+q)x+pq.
因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)①
利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.例如，将式子x2+3x+2分解因式.这个式子的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子.利用①式可得x2+3x+2=(x+1)(x+2).
上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(图1).
这样，我们也可以得到x2+3x+2=(x+1)(x+2).
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
(1)分解因式：y2+7y−18=______；
【知识应用】
(2)x2+mx+3=(x+n)(x−3)，则m=______，n=______；
【拓展提升】
(3)如果x2+mx+6=(x+p)(x+q)，其中m，p，q均为整数，求m的值.
23.(本小题12分)
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：
如图1，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上.
要求数学小组进行如下操作：
作∠BDE=∠BDC，DE交直线AB于点E；过点C作CF//DE，交直线AB于点F.
(1)补全图形；
深入探究：
(2)同学们探究发现，图中有与CF相等的线段，请找出并证明；
拓展提升：
(3)图形特殊化，∠BAC=90∘(如图2)，其他条件不变，重复(1)的操作，设四边形CDEF的面积是S1，△ABD的面积是S2，求S1S2的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设三角形第三边长是x，
∵三角形的两边长分别为4、9，
∴9−4∴5∴第三边长是12.
故选：C.
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此求出第三边长的取值范围，即可得到答案．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2.【答案】B
【解析】解：点P(3,5)关于y轴对称的点的坐标是：(−3,5).
故选：B.
直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.三角形的内角和为180∘，
则A不符合题意；
B.四边形的内角和为360∘，
则B符合题意；
C.五边形的内角和为(5−2)×180∘=540∘，
则C不符合题意；
D.六边形的内角和为(6−2)×180∘=720∘，
则D不符合题意；
故选：B.
根据三角形内角和，四边形的内角和与多边形内角和将各图形的内角和计算后进行判断即可．
本题主要考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】C
【解析】解：(−a)3⋅a2
=−a3⋅a2
=−a5，
故选：C.
利用同底数幂的乘法的法则对式子进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则．
5.【答案】D
【解析】解：要使分式13−x有意义，必须3−x≠0，
解得：x≠3.
故选：D.
根据分式有意义的条件得出3−x≠0，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出3−x≠0是解此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：AB=DE，
理由是：∵DC⊥CE，
∴∠ACB=∠DCE=90∘，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
AB=DEAC=CD，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，
故选：B.
求出∠ACB=∠DCE=90∘，根据HL推出即可．
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
7.【答案】B
【解析】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BH=CH，DH=EH，
∴BD=CE=3，
∵BC=12，
∴DE=BC−BD−CE=12−3−3=6.
故选：B.
过点A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH=CH，DH=EH，进而得到BD=CE=3，即可求出DE.
本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：A：连接BC，但是BC不一定能垂直AB，故A是错误的；
B：以点C为圆心，AB为半径画弧是符合作图语句的，故B是正确的；
C：直线AB没有长度，不可度量，故C是错误的；
D：连接AD，但是AD不一定平分∠BAC，故D是错误的；
故选：B.
根据作图语言求解．
本题考查了作图-尺柜作图的定义，理解作图语言是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：A、等式的右边不是整式的积，所以A 选项不正确，不符合题意；
B、等式的右边不是整式的积，所以B选项不正确，不符合题意；
C、4a2−2a=2a(2a−1)，是因式分解，所以C选项正确，符合题意；
D、等式的右边不是整式的积，所以D选项不正确，不符合题意；
故选：C.
判断一个式子是否是因式分解的条件是①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：设师傅每小时做了x个零件，则徒弟每小时做(40−x)个零件，
由题意可得：300x=10040−x，
故选：A.
根据在相同的时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．可以列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
11.【答案】2m(n−3)
【解析】解：2mn−6m=2m(n−3).
故答案为：2m(n−3).
提取公因式2m即可．
本题考查了分解因式，能找出多项式的公因式2m是解此题的关键．
12.【答案】7×10−9
【解析】解：0.000000007=7×10−9.
故答案为：7×10−9.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】30
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60∘，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
∴∠BAD=∠ADB−∠B=30∘；
故答案为30.
由题意易得∠B=60∘，∠ADB=90∘，进而问题可求解．
本题主要考查等边三角形的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握等边三角形的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵△ABC≌△DBE，AB=2，BE=7，
∴AB=BD=2，BC=BE=7，
∴CD=BC−BD=7−2=5.
故答案为：5.
根据全等三角形的性质求出BC和BD，即可求出答案．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴有2个交点，这两个交点中有一个是与A重合的，应舍掉，符合条件的点有1个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与x轴有2个交点，，符合条件有2个；
线段AB的垂直平分线与x轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：1+2+1=4(个)，
故答案为：4.
观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．
本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．
16.【答案】解：(1)(x+y)(x2−xy+y2)
=x3−x2y+xy2+x2y−xy2+y3
=x3+y3；
(2)原式=a6b3−c3d9×d32a×c24a2
=−a3b38cd6.
【解析】(1)本题运用多项式与多项式的运算法则和整式运算法则进行计算即可求得；
(2)分别根据积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则、单项式除以单项式运算法则求解即可．
本题考查积的乘方、多项式与多项式的运算法则、整式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
17.【答案】(1)解：补全图形如下：
(2)证明：∵∠BAC=60∘，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=30∘，
∵∠C=90∘，
∴AD=2CD，
∵∠BAC=60∘，∠C=90∘，
∴∠B=30∘，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD，
∴BD=2CD.
【解析】(1)根据作已知角的角平分线步骤作图即可；
(2)由∠BAC=60∘，AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠DAC=30∘，故AD=2CD，由∠B=∠BAD，知BD=AD，从而BD=2CD.
本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握尺规作已知角的角平分线．
18.【答案】解：4y2−x2x2+2xy+y2÷x−2y2x2+2xy
=−(x+2y)(x−2y)(x+y)2⋅2x(x+y)x−2y
=−2x(x+2y)x+y
=−2x2+4xyx+y，
当x= 2，y=2 2时，
原式=−2×( 2)2+4× 2×2 2 2+2 2
=−4+163 2
=−203 2
=−10 23.
【解析】先把分式的分子和分母分解因式，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
19.【答案】证明：∵∠B=∠C=∠AED，
设∠B=∠C=∠AED=α
∴∠AEB+∠DEC=180∘−α，∠EDC+∠DEC=180∘−α，
∴∠AEB=∠EDC，
在△ABE和△ECD中，
∠B=∠CBE=CD∠AEB=∠EDC，
∴△ABE≌△ECD(ASA)，
∴AE=DE.
【解析】证出∠AEB=∠EDC，证明△ABE≌△ECD(ASA)，由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，证明△ABE≌△ECD是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A′OB′即为所求．
(2)如图，取点A关于y轴的对称点A′′，连接A′A′′，交y轴于点P，
此时PA+PA′=PA′′+PA′=A′A′′，为最小值，
则点P即为所求．
点P的坐标为(0,0).
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)取点A关于y轴的对称点A′′，连接A′A′′，交y轴于点P，即可得出答案．
本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：设甲的速度为3xm/h，乙的速度为4xm/h，
由题意，得104x−63x=13，
∴x=1.5，
经检验x=1.5是分式方程的解，
则甲的速度3x=4.5km/h，乙的速度4x=6km/h，
答：甲的速度4.5km/h，乙的速度6km/h.
【解析】先根据甲乙的速度比分别设两者的速度，再根据时间×速度=路程表示出时间，根据时间差20min列方程求解．
本题考查分式方程的实际应用，解决此题的关键是用速度、时间、路程三者之间的关系表示出时间差建立方程．
22.【答案】(y−2)(y+9)−4−1
【解析】解：(1)y2+7y−18=(y−2)(y+9)；
故答案为：(y−2)(y+9)；
(2)已知等式整理得：x2+mx+3=(x+n)(x−3)=x2+(n−3)x−3n，
∴m=n−3，−3n=3，
解得：m=−4，n=−1；
故答案为：−4，−1；
(3)已知等式整理得：x2+mx+6=(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，
∴m=p+q，pq=6，
∵m，p，q均为整数，
∴p=2，q=3，m=5或p=−2，q=−3，m=−5或p=1，q=6，m=7或p=−1，q=−6，m=−7，
综上，m=5或−5或7或−7.
(1)原式利用十字相乘法求出解即可；
(2)已知等式利用多项式乘多项式法则，以及多项式相等的条件求出m与n的值即可；
(3)已知等式利用多项式乘多项式法则，以及多项式相等的条件确定出m的值即可．
此题考查了因式分解的应用，单项式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)补全图形如图1，
(2)BE=CF，证明如下：
如图1−1，在DC上截取DM=DE，在CD上截取CN=BF，连接BM、BN，
在△BDE和△BDM中，
DE=DM∠BDE=∠BDMBD=BD，
∴△BDE≌△BDM(SAS)，
∴BE=BM，∠BED=∠BMD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△FBC和△NCB中，
BF=CN∠FBC=∠NCBBC=CB，
∴△FBC≌△NCB(SAS)，
∴CF=BN，∠BFC=∠CNB，
∵DE//CF，
∴∠BED=∠BFC，
∴∠BMD=∠BFC=∠CNB，
∴BN=BM，
∴BE=CF；
(3)如图2，在AF上截取AQ=AD，连接CQ，
∵∠BAC=90∘，
∴∠CAQ=180∘−90∘=90∘，
∴∠BAC=∠CAQ，
在△ABD和△ACQ中，
AB=AC∠BAD=∠CAQAD=AQ，
∴△ABD≌△ACQ(SAS)，
∴BD=CQ，∠ABD=∠ACQ，S△ABD=S△ACQ=S2，
∵DE//CF，
∴∠BED=∠F，
∵∠FQC=∠CAQ+∠ACQ=90∘+∠ACQ，∠BDC=∠BAD+∠ABD=90∘+∠ABD，
∴∠FQC=∠BDC，
∵∠BDE=∠BDC，
∴∠BDE=∠FQC，
在△BDE和△CQF中，
∠BED=∠F∠BDE=∠FQCBD=CQ，
∴△BDE≌△CQF(AAS)，
∴S△BDE=S△CQF，
设S△ADE=S，则S△CQF=S△BDE=S△ABD+S△ADE=S2+S，S四边形CDEQ=S△ACQ−S△ADE=S2−S，
∴S四边形CDEF=S△CQF+S四边形CDEQ=S2+S+S2−S=2S2=S1，
∴S1S2=2S2S2=2.
【解析】(1)由题意补全图形即可；
(2)在DC上截取DM=DE，在CD上截取CN=BF，连接BM、BN，证△BDE≌△BDM(SAS)，得BE=BM，∠BED=∠BMD，再证△FBC≌△NCB(SAS)，得CF=BN，∠BFC=∠CNB，然后证BN=BM，即可得出结论；
(3)在AF上截取AQ=AD，连接CQ，证△ABD≌△ACQ(SAS)，得BD=CQ，∠ABD=∠ACQ，S△ABD=S△ACQ=S2，再证△BDE≌△CQF(AAS)，得S△BDE=S△CQF，设S△ADE=S，则S△CQF=S△BDE=S2+S，S四边形CDEQ=S2−S，然后证S四边形CDEF=S△CQF+S四边形CDEQ=2S2=S1，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．