宜丰中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份宜丰中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．设甲：，乙：已知函数在上单调递增，则( )
A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件
3．将化成的形式是( )
A.B.C.D.
4．下列函数与函数是同一个函数的是( )
A.B.C.D.
5．已知，，，则( )
A.B.C.D.
6．函数的零点一定位于区间( )
A.B.C.D.
7．为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据：，）( )
A.2030年B.2029年C.2028年D.2027年
8．已知函数若函数有三个不同的零点，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.角为第一象限或第三象限角的充要条件是
B.终边在y轴上的角的集合为
C.若是第三象限角，则是第二象限或第三象限角
D.用角度制和弧度制度量角，与所取圆的半径大小有关
10．下列选项中说法正确的是( )
A.若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8，12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为1
B.一组数据3，3，4，5，6，x，9，10的分位数是6，则实数x的取值范围是
C.一组数据的平均数为，将这组数据中的每一个数都加2，所得的一组新数据的平均数为
D.一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都乘2，所得的一组新数据的方差为
11．下列各式正确的是( )
A.B.C.D.
12．已知，则( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．已知，且，则________.
14．已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行________次函数值的计算.
15．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，若函数，则函数的值域为________.
四、双空题
16．北京时间2022年9月24日晚，在2022年世界赛艇锦标赛女子四人双桨决赛中，东京奥运冠军组合崔晓桐､吕扬､张灵､陈云霞再次联手出击，强势夺冠，继2019年世锦赛后为中国队实现该项目的成功卫冕，赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇､双人艇､四人艇､八人艇四种，不同艇种虽大小不同，但形状相似.根据相关研究，比赛成绩t（单位：min）与奖手数量n（单位：个）间的关系为（为常数且）.已知在某次比赛中单人艇2000 m的比赛成绩为7.21 ，由于比赛记录员的疏忽，现有一个用时为6.67 min的比赛成绩但不清楚属于哪一艇种，推断该比赛成绩所属的艇种最有可能是________（从“单人艇”“双人艇”“四人艇”“八人艇”中选择一个即可）；若已知比赛的赛艇艇种为八人艇，推断在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为________（结果保留两位小数，参考数据：，，）.
五、解答题
17．已知集合，.
(1)求；
(2)若且，求实数m的取值范围.
18．已知函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（注：是自然对数的底数）
(1)求该函数的解析式并判断其奇偶性；
(2)若实数满足不等式，求实数t的取值范围.
19．已知，其中为奇函数，为偶函数.
(1)求与的解析式；
(2)判断函数在其定义域上的单调性并用定义证明.
20．已知扇形的圆心角是，半径是r，弧长为l.
（1）若，，求扇形的面积；
（2）若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.
21．物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间t后的温度为T，则，其中，为环境温度，a为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到，8点18分时，壶中热水自然冷却到.
(1)求8点起壶中水温T（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数；
(2)若当日小王在1升水沸腾（）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数）（参考数据：，）
22．已知函数.
(1)当时，写出的单调区间（不需要说明理由）；
(2)当时，解不等式；
(3)若存在，，使得，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，所以，.
2．答案：A
解析：在上单调递增，由的对称轴为，开口向上，
，即，故甲是乙的充分不必要条件.故选：A.
3．答案：D
解析：.故选：D.
4．答案：B
解析：的定义域为R，而的定义域为，故A错误；的定义域为，故D错误；，与对应关系不一致，故C错误；
，定义域为R，与对应关系一致，B正确.故选：B.
5．答案：B
解析：因为，，所以.
6．答案：C
解析：，，又因为函数，在区间上都是增函数，所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间.故选：C.
7．答案：B
解析：设经过n年之后，投入资金为y万元，则，由题意可得：，即，所以，即，又因为，，即从2029年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.故选：B.
8．答案：D
解析：当时，函数在上单调递增，，当时，函数，当且仅当时取等号，函数的大致图象，如图，令，观察图象知，当时，方程有一个根，当时，方程有两个不等根，函数有三个零点，等价于函数有两个零点，，并满足，，而函数对称轴为，于是得，解得，所以a的取值范围为.故选：D.
9．答案：AB
解析：对于A，当角为第一象限角时，，，则；当角为第三象限角时，，，则，所以若角为第一象限或第三象限角，则.因为，即且，或且，当且时，角为第一象限角；当且时，角为第三象限角，所以若，则角为第一或第三象限角，所以角为第一或第三象限角的充要条件是，故A正确；对于B，终边在y轴上的角的集合为，即，即，B正确；对于C，若是第三象限角，即，，则，，当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角，则是第二象限或第四象限角，故C错误；对于D，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D不正确，故选：AB.
10．答案：AC
解析：A选项：设两组数据的权重为，，由，又，可解得，所以这两组数据的权重比值为1，故A正确；B选项：因为，所以这组数据的分位数是从小到大第5项数据6，则，故B错误；C选项：将一组数据中的每一个数都加2，则新数据的平均数为原来数据平均数加2，故C正确；D选项：将一组数据中的每一个数都乘2，则新数据的方差为原来数据方差的倍，故D错误；故选：AC.
11．答案：AC
解析：，故A选项正确；，故B选项错误；，故C选项正确；对于，故D选项错误.故选：AC.
12．答案：ABD
解析：因，即，，则a，b分别为函数，与图象交点的横坐标，而函数，互为反函数，它们的图象关于直线对称，在同一坐标系中画出，，的图象，如图，由图知，点与关于直线对称，于是得，，，，，A正确；，则，B正确；，C错误；，D正确.故选：ABD.
13．答案：
解析：由，而，，
，，，原式.
14．答案：4
解析：设对区间二等分n次，初始区间长度为1，第1次计算后区间长度为；第2次计算后区间长度为；第3次计算后区间长度为；第4次计算后区间长度为；故至少计算4次.故答案为：4.
15．答案：
解析：，，，，则，即，当时，；当时，；当时，；当时，，综上，函数的值域为.
16．答案：双人艇；
解析：由已知得，当时，，代入解得，当时，，故该比赛成绩所属的艇种最有可能是双人艇；当时，，故在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为.故答案为：双人艇；.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意，则，解得，所以，
又，所以.
(2)因为，，即，所以，，
所以，解得，即实数m的取值范围时.
18．答案：(1)，函数为偶函数
(2)
解析：(1)由题意函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.，故在时，递增，又此时递减，故需满足，由知，，而无限接近直线但又不与该直线相交，则，
又，，解得，，因为的定义域为R，关于原点对称，
且，故函数为偶函数.
(2)当时，，，，设，则，
因为，所以，，则，
所以，故函数在上单调递增.原不等式可化为，
因为函数为偶函数，，则有，又函数在上单调递增，则有，两边平方，得，即，解得，
即实数t的取值范围为.
19．答案：(1)，
(2)函数在区间上单调递增，证明见解析
解析：(1)由于函数为奇函数，为偶函数，可得，，因为，所以，即，
解得，.
(2)的定义域为，，，且，
则.
所以，即，所以函数在区间上单调递增.
20．答案：（1）
（2）最大值为25；
解析：（1）因为，
所以扇形的面积为.
（2）由题意可知：，即，
所以扇形的面积为，
当时，扇形面积的最大值为25，
此时，.
21．答案：(1)
(2)27分钟后养生壶（在保温状态下）第二次开始加热
解析：(1)当时，设，代入，，解得，则，由题意，代入，，，得，所以.
(2)若从降温至，由题意有，代入，计算得分钟，故经过14分钟养生业（在保温状态下）开始第一次加热；从加热至需要分钟，从降温至，，代入，，，可得，计算得分钟，则共需要分钟，故27分钟后养生壶（在保温状态下）第二次开始加热.
22．答案：(1)在上单调递增，在上单调递减，在单调递增
(2).
(3)或
解析：(1)当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.
(2)当时，，记，
则，故为奇函数，且在R上单调递增，
不等式化为，即，即，即，从而由在R上单调递增，得，即，解得，故不等式的解集为.
（3）设，，则问题转化为存在，，使得，又注意到时，，且，可知问题等价于存在，，即在上有解.即在上有解，于是或在上有解，
进而或在上有解，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，
可知，，
故a的取值范围是或.