永州市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份永州市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若两条直线和平行,则实数m的值为( )
A.1B.-1C.-3D.-7
2．等差数列的前n项和为.若,则( )
A.8092B.4048C.4046D.2023
3．如图,空间四边形OABC中,,,点M在线段OA上, 且,点N为BC中点,则( )
A.B.
C.D.
4．已知曲线存在过坐标原点的切线, 则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
5．已知抛物线,圆,过圆心C作直线l与抛物线E和圆C交于四点,自上而下依次为A,M,N,B,若,,成等差数列,则直线l的斜率为( )
A.B.C.D.
6．设函数是奇函的导函数,,当时,, 则使得成立的x的取值范围是( )
A.B.
C.D.
7．已知数列满,且,若,数列的前n项和为,则( )
A.B.C.D.
8．若对任意的,且,都有成立,则m的最大值为( )
A.B.1C.eD.
二、多项选择题
9．已知空间四点,,,则下列四个结论中正确的是( )
A.
B.
C.点A到直线BC的距离为
D.点D到平面ABC的距离为
10．已知圆,则下列说法正确的有( )
A.圆C关于直线 对称的圆的方程为
B.直线 被圆C截得的弦长为
C.若圆C上有四个点到直线的距离等于,则m的取值范围是
D.若点是圆C上的动点则的取值范围是
11．已知函数,则( )
A.有两个极值点
B.有三个零点
C.直线是曲线的切线
D.点是曲线 的对称中心
三、填空题
12．点,分别是双曲线的左、右焦点, 点P在E上, 且,则的面积为____________.
13．已知a,b为正实数,直线与曲线相切,则的最小值为_______________.
14．已知函数恰有两个零点,则____________.
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为,,;数列的前n项和.
(1)求数列与的通项公式;
(2)若, 求数列的前n项和.
16．已知在四棱锥中,底面ABCD为正方形,侧棱平面ABCD,点M在线段 PD上,直线平面MAC,.
(1)求证:点M为PD中点;
(2)求平面PAC与平面MAC夹角的余弦值.
17．已知椭圆经过点,.
(1)求椭圆G的标准方程;
(2)已知点,B,C为椭圆G上异于A的两点, 且,证明:直线BC过定点,并求出该定点的坐标.
18．已知O为坐标原点, 双曲线的离心率为,且过点.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)圆的切线l与双曲线C相交于A, B两点.
（i）证明：.
（ii）求面积的最小值.
19．已知(其中为自然对数的底数).
(1)当时,求曲线在点处的切线方程,
(2)当时, 判断是否存在极值, 并说明理由;
(3),求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：两条直线和 平行,
则,解得或,
当时,两直线重合,不符合题意,舍去,当时,两直线不重复,符合题意,故.
故选：D.
2．答案：C
解析：根据题意, 等差数列中,有,
而，
所以,
所以，
故选：C.
3．答案：D
解析：,
故选：D.
4．答案：B
解析：设切点坐标为,则
切线斜率为
切线方程为
切线过原点
，
，
切线存在.
，
即，
解得或.
故答案选：B.
5．答案：B
解析：
6．答案：A
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：A
解析：
9．答案：ABD
解析：
10．答案：AC
解析
11．答案：AD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：8
解析：设切点为,的导数为,
由题意可得,
又，
解得,，
即有，
则,
当且仅当,即，时等号成立,所以的最小值为8.
故答案为：8.
14．答案：
解析：
15．答案：(1)
(2)
解析:(1)设数列的公差为d,
则,解得 ,所以.
因为, 当 时,,两式相减得:.
又, 得 ,所以是以2为首项,公比为2的等比数列,
所以.
(2)由(1)知.则,
,
两式相减得:
所以.
16．答案：(1)见解析
(2)
解析:(1)连接BD交AC于点N, 连接MN, 因为平面MAC, 且平面PBD,
平面平面,所以.
又因为在正方形ABCD中,N是BD的中点,所以点M为PD中点.
(2)因为平面ABCD,四边形ABCD为正方形,AB, 平面ABCD,
所以AB,AD,AP两两垂直,
以A为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系, 所以,
，，，，，
所以，.
设平面MAC的法向量为,则即
令,则,即;
由平面ABCD，得,又，，平面PAC, 平面PAC,所以平面PAC,即是平面PAC的一个法向量.
所以.
所以平面PAC与平面MAC夹角的余弦值为.
17．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)由题意可得,解得,
故椭圆G的标准方程为.
(2)因为B,C为椭圆G上异于A的两点, 所以直线BC的斜率存在,
不妨设直线BC的方程为,
,联立方程 ,
消去y得 ,
则,整理得 ,
由韦达定理得,,
因为,,,
可得
化简得,解得或,
当时,直线BC的方程为,直线过点,不合题意;
当时,恒成立, 直线BC的方程为,所以直线BC过定点 .
18．答案：(1)
(2)(i)见解析(ii)4
解析:(1)由题意得 , 将代入双曲线中得,
又, 解得,故双曲线C的标准方程为 ;
(2)(i)当切线l的斜率为0时,方程为,不妨设,此时 ,解得,
不妨设,则,所以 ;
当切线斜率不为0时,设为,由圆心到直线距离可得,故,
联立与得,,
则,又,解得,
设,则,
故,
故
,故.
(ii)当切线l斜率为0时,的面积为 ,
当切线斜率不为0时,
因为,点O到切线AB的距离为 2 ,
故,当时,
令 , 则 ,
故,
因为,所以,同理,
当时,,综上,面积的最小值为4.
19．答案：(1)
(2)有一个极大值,一个极小值
(3)
解析:(1)当时,,可得 ,
则,所以曲线在点处的切线方程为 ,即.
（2）当时,,定义域为R,
可得 , 令,
则 ,当 时, ;
当 时, , 所以 在 递减,在 上递增,
所以,
又由, 存在使得,
存在 使得,当 时,,,单调递增;
当时,,,单调递减;当时,,,单调递增;所以时,有一个极大值,一个极小值.
(3)由,可得,
由,因为,
可得,令, 则在R上递减,
当时,可得,则,
所以,则,
又因为,使得,
即且当时,, 即 ;
当时,, 即,所以 在 递增,
在 递减,所以,
由, 可得 ,
由,可得, 即,
由,可得,所以,
因为,设 ,则,
可知在上递增,
且, 所以实数a的取值范围是.