浙江省杭州四中2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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1. 在等比数列中， ， ，则的值为（ ）
A. B. 0C. D. 1
2. 过点（2，－3）、斜率为的直线在y轴上的截距为（ ）
A. 2B. －2C. 4D. －4
3. 某班有8名优秀学生，其中男生有5人，女生有3人．现从中选3人参加一次答辩比赛，要求选出的3人中，既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A. 45种B. 56种C. 90种D. 120种
4. 设函数导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
6. 已知等差数列的前n项和为，，则数列（ ）
A. 有最大项，无最小项B. 有最小项，无最大项
C. 既无最大项，又无最小项D. 既有最大项，又有最小项
7. 已知点是圆上任意一点，，则（ ）
A. 最大值是4
B. 的最小值是
C. 最小值是
D. 直线与圆相交
8. 定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，则（ ）
A. 椭圆C的离心率为B. 椭圆C的离心率为
C. 的周长为6D. 可以是直角
10. 已知，下列说法正确的是（ ）
A. 在 处的切线方程为
B. 的单调递减区间为
C. 的极大值为
D. 方程有两个不同解
11. 如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（ ）

A. 与所成角为
B. 平面截正方体所得截面的面积为
C. 平面
D. 若，则三棱锥的体积最大值是
12. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段AB上取两个点C、D，使得，以CD为边在线段AB的上方做一个正方形，然后擦掉CD，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段EF作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图n，各图中的线段长度和为，数列的前n项和为，则（ ）
A. 数列是等比数列
B.
C. 恒成立
D. 存在正数，使得恒成立
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数，则函数在点处切线方程为 _________．
14. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且，则p的值为______．
15. 对于数列，定义的“优值”为．若的“优值”，则________．
16. 一个五位数满足,,,且,(如37201､45412),则称这个五位数符合“正弦规律”,那么,共有______个五位数符合“正弦规律”.
四、解答题（本答题共6小题，满分70分）
17. 已知函数 ， ， ．
（1）当 时，讨论函数在区间 上的单调性．
（2）设是函数的最大值．求出的表达式并比较 与的大小．
18. 动圆满足：①圆心的横坐标大于；②与直线相切；③与直线相交，且直线被圆截得的弦长为．
（1）求证：动圆圆心在曲线上．
（2）设是曲线上任一点，曲线在处的切线交轴于，交轴于．求证：．
19. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．
（1）求证：平面．
（2）点是线段的中点，求平面与平面所成夹角的余弦值．
20. 已知数列满足，．
（1）证明：对任意的成立．
（2）记，求数列的前项和．
（3）证明：．
21. 已知椭圆的焦距为，且过点．
（1）求的方程．
（2）记和分别是椭圆左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值．
22. 已知函数．
（1）当时，求出函数在点处的切线方程．
（2）如图所示，函数图像上一点处的切线与函数图像交于点，过的切线（为切点）与处的切线交于点．问：三角形是否可能是等边三角形？若是，求此时的值；若不是，说明理由．