浙江省临平萧山联考2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔再答题卷指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!
3．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
4. 已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. 或D.
6. 数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时，（，常数）．利用以上公式，可以估算的值为（ ）
A B. C. D.
7. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为，则（ ）
A.
B. 这组数据的中位数为4
C. 若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5
D. 这组数据的第70百分位数为5.5
10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ）
A
B.
C. 是锐角三角形
D. 最大内角是最小内角的倍
11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，，点E是棱上一点（不包括端点），F是平面内一点，则（ ）
A. 一定不存在点E，使平面
B. 一定不存点E，使平面
C. 以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面的交线长为
D. 的最小值
12. 已知函数，的零点分别为、，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 过、两点的直线的斜率为_______．
14. 在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为_______．
15. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______．
16. 已知双曲线：的右顶点，右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点P，直线PF与C的一个交点为Q，，且，则C的离心率为________．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值．
18. 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．

（1）求的值；
（2）求证：．
19. 树人中学从参加普法知识竞赛1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；
（2）如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；
（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．
20. 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，，平面平面．

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐角的余弦值．
21. 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，且满足．当点在圆上运动时，的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）点，过点作斜率为的直线交曲线于点，交轴于点．已知为的中点，是否存在定点，对于任意都有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得 （其中），则称为的“重覆盖函数”．
（1）判断是否为的“n重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
（2）若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）函数表示不超过的最大整数，如．若为的“重覆盖函数”请直接写出正实数的取值范围（无需解答过程）．