浙江省杭州学军中学紫金港校区2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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命题人：唐岚 审题人：汪叶清 蔡蓉蓉
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知复数z满足，则（ ）
A 2B. 4C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A. 小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B. 小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
C. 小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D. 丙次购买葡萄的平均价格无法比较
4. 已知直线与曲线相切，则实数k的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 在三棱锥中，，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9. 下列表述正确的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果，那么D. 如果，那么
10. 已知双曲线两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ）
A. 实轴长为4B. 双曲线为等轴双曲线
C. 离心率为D. 渐近线方程为
11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（ ）

A. 存在点P，使得平面B. 对任意点P，平面平面
C. 两条异面直线和所成的角为D. 点到直线的距离为4
12. 设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 的图象关于对称D. 函数为周期函数，且周期为4
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________.
14. 已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是_____．
15. 设椭圆右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为______.
16. 已知数列满足，若，则_____．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C；
（2）若的周长为20，面积为，求边c．
18. 已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P．
（1）若，求P的坐标；
（2）若P为抛物线焦点，且弦的长等于6，求的面积．
19. 设a为实数，函数．
（1）求的极值；
（2）对于，都有，试求实数a的取值范围．
20. 设正项等比数列的公比为，且，.令，记为数列的前项积，为数列的前项和.
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求.
21. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上.
（1）求证：；
（2）若平面，求的值；
（3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值.
22. 已知椭圆过点，焦距为．过作直线l与椭圆交于C、D两点，直线分别与直线交于E、F．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线的斜率分别为，证明是定值；