北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理精练

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理精练，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知向量，若，则下列关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．在中，在上，且在上，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则A，B，C，D四点构成平行四边形
C．若平面向量与平面向量相等，则向量与是始点与终点都相同的向量
D．向量与可以作为平面内所有向量的一组基底
4．在中，点在直线上，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
5．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和B．与
C．与D．与
6．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题
9．已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是边的中点
B．若，则在边的延长线上
C．若，则是的重心
D．若，则的面积是面积的
三、填空题
13．已知向量．若，则实数的值为 ．
14．已知分别为平行四边形的边的中点，若点满足，则 .
15．设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即 .
16．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
四、解答题
17．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设，，，求证：.
18．如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.

(1)试用基底表示向量；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.
19．如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
20．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
21．如图所示，已知在△AOB中，BC=2AC，OD=2DB，DC和OA交于点E，设，．
(1)用和表示向量、；
(2)若，求实数λ的值
参考答案：
1．D
【分析】利用向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标关系可直接求得答案.
【详解】，
由可得，，整理得．
故选：D.
2．C
【分析】根据平面向量的基本定理和平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】因为，
所以，则．
因为，所以，则．
故选：C
3．D
【分析】利用平面向量的线性运算判断A，举反例判断B，C，平面向量基本定理判断D即可.
【详解】选项A：由已知可得：，故A错误，
选项B：若，则A，B，C，D四点可以构成平行四边形或者A，B，C，D四点共线，故B错误，
选项C：若平面向量与平面向量相等，则始点相同时，终点必须相同，始点不同时终点也不相同，故C错误，
选项D：因为，故与不共线，故D正确，
故选：D．
4．A
【分析】根据画出及点D的位置，再由向量的线性运算即可由表示出.
【详解】因为，
所以

故选：A.
5．C
【分析】判断出哪个选项的两个向量共线即可.
【详解】对于C，共线，不能作为基底，
对于ABD，两组向量都不共线，
故选：C.
6．B
【分析】利用基底的定义求解.
【详解】由题中图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，
与与不共线，可作为基底向量．
故选：B.
7．A
【分析】由向量共线的性质分别设，，结合条件依次表示出，，对应解出，即可求解.
【详解】设，，
则，
而与不共线，∴，解得，∴.
故选：A.
8．D
【分析】设、、，由题意可得，又，故有，结合向量的模长计算及的范围计算即可得其最大值.
【详解】设、、，
则、、，
由，则有，即，
由，有，故，即，
即有，且，
则，
由，故当时，有最大值，
且的最大值为.
故选：D.
9．AC
【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能.
【详解】因为，，可得，
又因为点是线段的三等分点，则或，
所以或，
即点的坐标为或.
故选：AC.
10．ABC
【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底.
故选：ABC.
11．ABC
【分析】建立适当平面直角坐标系，取适当长度定为单位长度，结合向量坐标运算逐项计算即可得.
【详解】解法一：
建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令，
则，，，，，
对于A，，令，
解得，，所以，故A正确；
对于B，，令，解得，
所以，故B正确；
对于C，，令，代入坐标可解得，
，故C正确；
对于D， ，代入坐标可解得，
，故D错误.
解法二：
建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令，
则，，，，，
故，，，，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：ABC.
12．AC
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算对选项一一判断即可.
【详解】对于，因为，所以，即，
则是边的中点，故正确；
对于，由得，所以，
则在边的延长线上，故错误；
对于，设的中点为，则，故C正确；
对于D，由知，，
所以，故D错误.
故选：AC.
13．
【分析】根据向量的坐标运算和向量共线的坐标形式得到方程，解出即可.
【详解】因为，所以.
又，所以，解得.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意，结合平面向量的运算，由条件可得，即可得到结果.
【详解】因为，则，
所以，又，
则，
，
所以.
故答案为：
15．
【分析】设，将代入，利用向量基本定理，得出的关系式，求解，即可得出结论.
【详解】设，因为，
所以，因为不共线，
所以，解得，，
故答案为：.
16．
【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】在中，，，则，
故
，
故；
又，而，，
所以，则，
又三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：；
【点睛】结论点睛：若，则三点共线.
17．证明见解析
【分析】根据图形关系，利用向量线性运算化简即可得到结论.
【详解】因为
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由D，M，A三点共线，设，由C，M，B三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；
（2）由E，M，F共线，设，由（1）可求得，化简即可求解.
【详解】（1）因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设，，
则，，
所以，解得，所以；
（2）因为E，M，F三点共线，所以设，
则，由（1）知，
所以，所以.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的线性运算法则计算；
（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案；
（3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得，①
，②
因为M为线段中点，则，
联立①②得：，
整理得：．
（2）由AM与BD交于点N，得，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．
所以，即．
（3）由题意，可设，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因为，所以，．
在单调递增，
则当时，，当时，，
所以，的取值范围为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.
（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
（2）因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
21．(1)；
(2)
【分析】（1）结合向量的加法、减法法则运算即可
（2）根据向量的减法法则可得、，结合平行向量的基本定理计算即可.
【详解】（1）由题意知，A是BC的中点，且，
由平行四边形法则，，
所以，
.
（2）因为，又，
，
所以＝，解得．