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4.2两角和与差的三角函数公式同步练习
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4.2两角和与差的三角函数公式同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．3．已知，且，则等于（ ）A． B． C． D．4．在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ）A． B． C． D．5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则的最大值为（ ）A． B． C． D．6．已知函数的对称中心是，则（ ）A． B． C．3 D．07．函数的单调递增区间为（ ）A． B．C． D．8．在中，角，，的对边分别为，，，已知，则（ ）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则下列判断正确的是（ ）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．在区间上单调递增 D．当时，10．已知函数（）的最小正周期为，则（ ）A．B．函数在上为增函数C．是的一个对称中心D．函数的图像关于轴对称11．下列说法正确的有（ ）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“”是真命题C．命题“”的否定是“”D．“，使”是假命题，则12．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（ ）A．函数是奇函数B．函数在区间上单调递减C．，使得D．，存在常数使得三、填空题13．已知，若，则的最大值为 ．14．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ．15．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差 米（参考数据：，）16．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为 ；若是圆上的动点，则的取值范围是 . 四、解答题17．如图，在中，点D在边BC上，．(1)若，，，求AB；(2)若是锐角三角形，，求的取值范围．18．已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位.得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围.19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．(1)求；(2)若,，求．20．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．(1)求角C；(2)若的周长为20，面积为，求边c．21．已知函数（，，）的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式和单调递增区间；(2)若，，求的值． 参考答案：1．C【分析】根据两者之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若，则即，而都是第二象限角，故，故，故“”是“”的充分条件.若，因为都是第二象限角，故，所以即，故“”是“”的必要条件，所以“”是“”的充要条件.故选：C.2．C【分析】利用三角恒等变换先化简函数式，结合三角函数的图象与性质计算即可.【详解】，令，得,由，,得．因为恰有两解，所以．故选：C3．D【分析】由求出，再由，利用两角差的余弦公式计算即可.【详解】∵，∴，又，∴，∴．故选：D4．A【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得.【详解】因为，解得，所以为等腰三角形，则，在中由正弦定理可得，即，解得，因为，所以为锐角，所以，所以.故选：A5．A【分析】根据条件求得，再根据正弦定理及三角恒等变换将表示为的三角函数，求得的最大值.【详解】因为， 所以, 即,由正弦定理可得, 即,即, 因为,所以,因为, 所以;由正弦定理可得,则 , 其中，,因为,所以,从而当时, 取得最大值为.故选：A6．D【分析】利用辅助角公式和对称中心得到最小正周期，求出，由求出，再计算出.【详解】，其中，由的对称中心是知，两个相邻的对称中心相距，故的最小正周期，即，所以，解得，故．故选：D．7．B【详解】先用三角恒等变换化简得到，再用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间.【分析】因为，令，解得，故的单调递增区间为，故选：B.8．B【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得到，从而求出、.【详解】因为，由正弦定理可得，即，又，所以，因为且，所以，所以又，所以，.故选：B9．BC【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的值域可判断D选项.【详解】因为，对于A选项，，故函数的图象不关于直线对称，A错；对于B选项，，故函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，当时，，则函数在区间上单调递增，C对；对于D选项，当时，，则，所以，，D错.故选：BC.10．BD【分析】对A，根据辅助角公式，结合最小正周期公式求解即可；对B，根据判断即可；对C，根据判断即可；对D，化简判断即可.【详解】对A，，又最小正周期为，故，则，故A错误；对B，，当时，，为正弦函数的单调递增区间，故B正确；对C，，故不是的一个对称中心，故C错误；对D，为偶函数，图像关于轴对称，故D正确.故选：BD11．AC【分析】求得方程的解，结合充分、必要条件的判定，可判定A正确；结合三角函数的性质，可判定B错误；根据由全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确；根据题意得出，使”是真命题，结合二次函数的性质，可判定D错误.【详解】对于A中，由方程，解得或，所以是的充分不必要条件，所以A正确；对于B中，由，所以不存在，使得，所以为假命题，所以B不正确；对于C中，由全称命题与存在性命题互为否定关系，可得：命题的否定为，所以C正确；对于D中，由，使”是假命题，可得，使”是真命题，则满足，解得，所以D错误.故选：AC.12．ABD【分析】由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求的值可判断D，利用，分、、，三种情况求的化简式可判断C．【详解】因为经过，所以，即，，解得，，又，所以，则，对于A，，时，令，可得，故为奇函数，所以A正确；对于B，时，，对于在上单调递减，可得在上单调递减，所以B正确；对于D，， 所以恒为，即存在常数m=0，所以D正确；对于C，当，时，，当，时，，当，时，，所以C错误．故答案为：ABD.【点睛】关键点睛：对于C选项的关键点是利用，分、、，三种情况求的化简式.13．【分析】，分别求与的最大值得的最大值.【详解】将视为的函数，故，其中，，所以当时的最大值为1，设，当时，取得最大值，所以的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题求解关键是将视为的函数，使用辅助角公式转化，再分别求与的最大值.14．【分析】先把函数化成的形式，再根据函数在给定区间上的值域求的取值范围.【详解】因为.又.因为.故答案为：15．2.232【分析】由正弦定理和三角函数得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）.【详解】在中，（米）．在中，由正弦定理，得，即，所以（米）．因为，且，所以，所以（米）．故答案为：16． 1 【分析】根据正六边形的性质即可求解空1，利用向量的坐标运算即可由三角函数的性质求解.【详解】取中点为，由于正六边形的边长为2，所以,因此到线段的距离为,建立如图所示的直角坐标系，则,，，由于,故，故答案为：1； 17．(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，在与中，利用余弦定理求解即得.（2）由给定条件，求出角的范围，再利用正弦定理边化角，借助差角的正弦及正切函数的性质求解即得.【详解】（1）在中，由余弦定理得，即，而，解得，则，在中，，由余弦定理得.（2）在锐角中，，，且，则，由正弦定理得，显然，即有，因此，即，所以的取值范围是.18．(1)(2)【分析】（1）结合降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递减区间；（2）结合平移法则易得，由求出范围，进而得到范围.【详解】（1）因为，由，解得，所以的递减区间为；（2）由（1）知，那么将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到．当时，，由方程有解，可得实数的取值范围为．19．(1)(2)12【分析】（1）由三角形面积公式、正弦定理及同角三角函数基本关系得解；（2）根据三角恒等变换化简后由正余弦定理求解即可.【详解】（1）由题意可知，，由正弦定理可知：，因为，所以.（2）由，可知角为锐角，所以，得，，所以，由，又，得，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得.20．(1)(2)7【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解；（2）根据三角形的面积公式可得，由余弦定理计算可得，结合计算即可求解.【详解】（1），由正弦定理，得，，，又，得，所以，即，由，解得；（2）由（1），得，则，由余弦定理，得，即，得.又，所以，即，即，解得.21．(1)，单调递增区间为(2)【分析】（1）由三角函数图象首先得，，，进一步结合，，可得，由此可得函数表达式，由整体代入法列不等式组即可得单调递增区间；（2）由平方关系结合角的范围首先得，进一步由两角差的正弦公式即可求解.【详解】（1）由图象得：，，所以，所以，又由，，可得，所以．令，，解得，，所以函数的单调递增区间为．（2）由，因为，可得，所以，则.
4.2两角和与差的三角函数公式同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．3．已知，且，则等于（ ）A． B． C． D．4．在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ）A． B． C． D．5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则的最大值为（ ）A． B． C． D．6．已知函数的对称中心是，则（ ）A． B． C．3 D．07．函数的单调递增区间为（ ）A． B．C． D．8．在中，角，，的对边分别为，，，已知，则（ ）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则下列判断正确的是（ ）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．在区间上单调递增 D．当时，10．已知函数（）的最小正周期为，则（ ）A．B．函数在上为增函数C．是的一个对称中心D．函数的图像关于轴对称11．下列说法正确的有（ ）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“”是真命题C．命题“”的否定是“”D．“，使”是假命题，则12．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（ ）A．函数是奇函数B．函数在区间上单调递减C．，使得D．，存在常数使得三、填空题13．已知，若，则的最大值为 ．14．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ．15．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差 米（参考数据：，）16．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为 ；若是圆上的动点，则的取值范围是 . 四、解答题17．如图，在中，点D在边BC上，．(1)若，，，求AB；(2)若是锐角三角形，，求的取值范围．18．已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位.得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围.19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．(1)求；(2)若,，求．20．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．(1)求角C；(2)若的周长为20，面积为，求边c．21．已知函数（，，）的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式和单调递增区间；(2)若，，求的值． 参考答案：1．C【分析】根据两者之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若，则即，而都是第二象限角，故，故，故“”是“”的充分条件.若，因为都是第二象限角，故，所以即，故“”是“”的必要条件，所以“”是“”的充要条件.故选：C.2．C【分析】利用三角恒等变换先化简函数式，结合三角函数的图象与性质计算即可.【详解】，令，得,由，,得．因为恰有两解，所以．故选：C3．D【分析】由求出，再由，利用两角差的余弦公式计算即可.【详解】∵，∴，又，∴，∴．故选：D4．A【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得.【详解】因为，解得，所以为等腰三角形，则，在中由正弦定理可得，即，解得，因为，所以为锐角，所以，所以.故选：A5．A【分析】根据条件求得，再根据正弦定理及三角恒等变换将表示为的三角函数，求得的最大值.【详解】因为， 所以, 即,由正弦定理可得, 即,即, 因为,所以,因为, 所以;由正弦定理可得,则 , 其中，,因为,所以,从而当时, 取得最大值为.故选：A6．D【分析】利用辅助角公式和对称中心得到最小正周期，求出，由求出，再计算出.【详解】，其中，由的对称中心是知，两个相邻的对称中心相距，故的最小正周期，即，所以，解得，故．故选：D．7．B【详解】先用三角恒等变换化简得到，再用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间.【分析】因为，令，解得，故的单调递增区间为，故选：B.8．B【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得到，从而求出、.【详解】因为，由正弦定理可得，即，又，所以，因为且，所以，所以又，所以，.故选：B9．BC【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的值域可判断D选项.【详解】因为，对于A选项，，故函数的图象不关于直线对称，A错；对于B选项，，故函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，当时，，则函数在区间上单调递增，C对；对于D选项，当时，，则，所以，，D错.故选：BC.10．BD【分析】对A，根据辅助角公式，结合最小正周期公式求解即可；对B，根据判断即可；对C，根据判断即可；对D，化简判断即可.【详解】对A，，又最小正周期为，故，则，故A错误；对B，，当时，，为正弦函数的单调递增区间，故B正确；对C，，故不是的一个对称中心，故C错误；对D，为偶函数，图像关于轴对称，故D正确.故选：BD11．AC【分析】求得方程的解，结合充分、必要条件的判定，可判定A正确；结合三角函数的性质，可判定B错误；根据由全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确；根据题意得出，使”是真命题，结合二次函数的性质，可判定D错误.【详解】对于A中，由方程，解得或，所以是的充分不必要条件，所以A正确；对于B中，由，所以不存在，使得，所以为假命题，所以B不正确；对于C中，由全称命题与存在性命题互为否定关系，可得：命题的否定为，所以C正确；对于D中，由，使”是假命题，可得，使”是真命题，则满足，解得，所以D错误.故选：AC.12．ABD【分析】由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求的值可判断D，利用，分、、，三种情况求的化简式可判断C．【详解】因为经过，所以，即，，解得，，又，所以，则，对于A，，时，令，可得，故为奇函数，所以A正确；对于B，时，，对于在上单调递减，可得在上单调递减，所以B正确；对于D，， 所以恒为，即存在常数m=0，所以D正确；对于C，当，时，，当，时，，当，时，，所以C错误．故答案为：ABD.【点睛】关键点睛：对于C选项的关键点是利用，分、、，三种情况求的化简式.13．【分析】，分别求与的最大值得的最大值.【详解】将视为的函数，故，其中，，所以当时的最大值为1，设，当时，取得最大值，所以的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题求解关键是将视为的函数，使用辅助角公式转化，再分别求与的最大值.14．【分析】先把函数化成的形式，再根据函数在给定区间上的值域求的取值范围.【详解】因为.又.因为.故答案为：15．2.232【分析】由正弦定理和三角函数得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）.【详解】在中，（米）．在中，由正弦定理，得，即，所以（米）．因为，且，所以，所以（米）．故答案为：16． 1 【分析】根据正六边形的性质即可求解空1，利用向量的坐标运算即可由三角函数的性质求解.【详解】取中点为，由于正六边形的边长为2，所以,因此到线段的距离为,建立如图所示的直角坐标系，则,，，由于,故，故答案为：1； 17．(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，在与中，利用余弦定理求解即得.（2）由给定条件，求出角的范围，再利用正弦定理边化角，借助差角的正弦及正切函数的性质求解即得.【详解】（1）在中，由余弦定理得，即，而，解得，则，在中，，由余弦定理得.（2）在锐角中，，，且，则，由正弦定理得，显然，即有，因此，即，所以的取值范围是.18．(1)(2)【分析】（1）结合降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递减区间；（2）结合平移法则易得，由求出范围，进而得到范围.【详解】（1）因为，由，解得，所以的递减区间为；（2）由（1）知，那么将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到．当时，，由方程有解，可得实数的取值范围为．19．(1)(2)12【分析】（1）由三角形面积公式、正弦定理及同角三角函数基本关系得解；（2）根据三角恒等变换化简后由正余弦定理求解即可.【详解】（1）由题意可知，，由正弦定理可知：，因为，所以.（2）由，可知角为锐角，所以，得，，所以，由，又，得，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得.20．(1)(2)7【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解；（2）根据三角形的面积公式可得，由余弦定理计算可得，结合计算即可求解.【详解】（1），由正弦定理，得，，，又，得，所以，即，由，解得；（2）由（1），得，则，由余弦定理，得，即，得.又，所以，即，即，解得.21．(1)，单调递增区间为(2)【分析】（1）由三角函数图象首先得，，，进一步结合，，可得，由此可得函数表达式，由整体代入法列不等式组即可得单调递增区间；（2）由平方关系结合角的范围首先得，进一步由两角差的正弦公式即可求解.【详解】（1）由图象得：，，所以，所以，又由，，可得，所以．令，，解得，，所以函数的单调递增区间为．（2）由，因为，可得，所以，则.
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