高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念同步练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念同步练习题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．2C．D．1
2．已知复数满足，则复数的模为（ ）
A．2B．C．D．
3．已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的复平面上的点的集合所表示的图形是（ ）
A．正方形面B．一条直线C．圆面D．圆环面
4．设复数满足（其中为虚数单位），且在复平面内对应的点为，则实数满足（ ）
A．B．
C．D．
5．若复数满足，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A．对应的点在第一象限B．的虚部为
C．D．
6．复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知是虚数单位，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（ ）
A．可能为纯虚数
B．，，的虚部之积为
C．
D．，，的实部之和为2
10．已知复数， ()(为虚数单位)，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为B．对应的点在第一象限
C．D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为
11．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．若，则的最大值为
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．若是关于的方程的一个根，则
12．已知复数z的虚部大于0，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．复数在复平面内对应的点位于第二象限
三、填空题
13．设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则 .
14．复数，且，若是实数，则有序实数对可以是 .
15．设复数（i为虚数单位）且，若，则 ．
16．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第 象限， 且 .
四、解答题
17．设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．
(1)判断是否是的“可分离子集”，并说明理由；
(2)设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当．
18．设复数，其中.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
19．已知复数在复平面内所对应的点为A.
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若点A在第二象限，求实数的取值范围.
20．已知i是虚数单位，复数．
(1)若z为纯虚数，求实数a的值；
(2)若z在复平面上对应的点在直线上，求复数z的模．
21．已知复数．
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】根据复数模长公式计算.
【详解】由复数得，.
故选：A
2．B
【分析】根据复数的定义求出，从而求出其模.
【详解】因为，又，所以，
所以，所以或.
故选：B
3．D
【分析】设，根据模的定义求出轨迹方程即可得解.
【详解】设，
则由可得，即，
所以复数对应的点在复平面内表示的图形是圆环面.
故选：D.
4．C
【分析】设复数（），代入等式化简即可.
【详解】设复数（），
，则，
故．
故选：C．
5．C
【分析】根据复数运算求得，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由两边乘以得，，
所以对应点在第四象限，
的虚部为，，，
所以C选项正确，ABD选项错误.
故选：C
6．D
【分析】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围.
【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，
根据第二象限坐标的特点可得，从而可得.
故选：D.
7．B
【分析】求出复数在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件，利用集合的包含关系及充分条件、必要条件求解.
【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
而成立推不出成立，，
所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件，
故选：B
8．A
【分析】根据模的计算公式，列出不等式，求解即可.
【详解】由于，即有：，解得：.
故选：A.
9．ABD
【分析】根据复数的基本概念，复数的模等知识容易求解.
【详解】因为，其三个不同的复数根为：，，
当时，此时为纯虚数，故A正确；
因为三个根的虚部分别为1，，，三个虚部乘积为，故B正确；
根据模长定义，，故C不正确；
因为三个根的实部分别为0，1，1，三个实部之和为2，故D正确.
故选：ABD.
10．BC
【分析】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可.
【详解】对于A：，所以的虚部为，A错误；
对于B：对应的点为，位于第一象限，所以B正确；
对于C：，，所以，C正确；
对于D：在复平面内表示到点距离小于等于1的所有的点，所以形成的图形为以为圆心1为半径的圆，所以面积为，D错误，
故选：BC
11．BC
【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D.
【详解】对于A，设，则，，A错误；
对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作
该单位圆上的点到点的距离，则距离最大值为，B正确；
对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C正确；
对于D，依题意，，整理得，
而，因此，解得，D错误．
故选：BC
12．BC
【分析】根据得到，，再依次判断选项即可.
【详解】设（，，且），则，
得，所以.
所以，所以，，故A错误，B正确，
，故C正确.
因为，所以复数在复平面内对应的点位于第三象限，故D错误.
故选：BC
13．
【分析】根据纯虚数的定义列出方程求解即可.
【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得.
故答案为：.
14．(答案不唯一)
【分析】将代入，根据为实数，则虚部为零求解.
【详解】因为为实数,
所以，解得,
所以有序实数对可以是(答案不唯一)
故答案为：(答案不唯一)
15．
【分析】由诱导公式、复数模的求法列方程求得，结合角的范围可得，再应用倍角正切公式求值即可.
【详解】由题设，则，
所以，又，则，，
所以，则.
故答案为：
16． 二 1
【分析】根据欧拉公式即可将化为，进而根据复数的几何意义和模长求解即可.
【详解】由欧拉公式可得，故对应的点为，位于第二象限，且，
故答案为：二，1
17．(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取复平面上的圆，得到复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内，复数i在复平面上对应的点在圆外，得到结论；
（2）先证明必要性，令复数，取复平面上的圆，得到是的“可分离子集”；再证明充分性，只需证当时，不是的“可分离子集”，得到结论.
【详解】（1）是，理由如下：
取复平面上的圆，
则复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内．
而，
故复数i在复平面上对应的点在圆外．
因此，是的“可分离子集”．
（2）必要性：当时，令复数，
取复平面上的圆，
则在复平面上对应的点在圆周上，
又，
故1在复平面上对应的点在圆外．
由，
，
知．
故在复平面上对应的点在圆外．
因此，当时，是的“可分离子集”．
充分性：只需证当时，不是的“可分离子集”．
假设存在复平面上的一个圆，使得在复平面上对应的点在圆内或圆周上，且1，在复平面上对应的点在圆外．
设圆心表示的复数为．再设．
由知
，
故．
由知
，
故．
进而，，
由知，
故，
进而．
这与矛盾，故所假设的圆在复平面上不存在．
即当时，不是的“可分离子集”，充分性证毕，
综上，是的“可分离子集”当且仅当.
【点睛】集合新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义可得到解方程即可；
（2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可.
【详解】（1）是纯虚数，只需，解得.
（2）由题意知，
解得，
故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的概念列式求解；
（2）根据复数的几何意义列式求解.
【详解】（1）若复数为纯虚数，则，解得，
所以实数的值为.
（2）若点A在第二象限，则，解得，
所以实数的取值范围为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的概念计算即可；
（2）利用复数的几何意义计算即可.
【详解】（1）∵是纯虚数，
∴，解得；
（2）易知z在复平面上对应的点为，该点在直线上，
得，即，得．
∴．则．
21．(1)；
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；
（2）根据复平面内对应的点的坐标特征进行求解即可.
【详解】（1）因为z是纯虚数，
所以有；
（2）因为z在复平面内对应的点位于第四象限，
所以.