高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册4 数列在日常经济生活中的应用当堂达标检测题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册4 数列在日常经济生活中的应用当堂达标检测题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．某工厂加工一种电子零件，去年月份生产万个，产品合格率为.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年月份的产量在去年月的基础上提高，产品合格率比去年月增加，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的（ ）
A．月份B．月份
C．月份D．月份
2．如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗）.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距（ ）

A．mmB．mm
C．mmD．mm
3．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3
4．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸；十二地支即：子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．壬午年B．癸未年C．己亥年D．戊戌年
5．某公司有10名股东，其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项错误的是（ ）
A．公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于总股份的
B．公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的
C．公司持股最大的股东所持股份不超过总股份的
D．公司持股较多的2位股东所持股份之和可以超过总股份的
6．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．已知数列满足，，数列前n项和为，则下列叙述不正确的有（ ）
A．B．C．D．
8．为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设为第n年的维修费用，为前n年的平均维修费用，若万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（ ）
A．2026B．2027C．2028D．2029
二、多选题
9．我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（ ）
A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势
B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化
D．若在某一时期内，则这期间人口数不变
10．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数，如果是奇数㩆乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设，各项均为正整数的数列满足，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当为奇数时，
D．当为偶数时，是递增数列
11．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（ ）
A．从始发车站到A点的所有里程碑个数为14
B．从A点到B点的所有里程碑个数为16
C．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987
D．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984
12．如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上1个台阶或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为， 则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．某厂去年的产值记为.若计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总值约为 ．（保留一位小数，取）
14．小明用数列记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记，当第k天没下过雨时，记，他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记，当预报第k天没有雨时，记记录完毕后，小明计算出，那么该月气象台预报准确的总天数为 .
15．某企业2021年年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%.每年年底扣除下一年必需的消费资金后，剩余资金全部投入再生产，为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为 万元．（结果取整数，参考数据：1.24≈2.07，1.25≈2.49）
16．为了响应政府推进菜篮子工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设表示前n年的纯利润（前n年的总收入前n年的总费用支出投资额），则 （用n表示）；从第 年开始盈利．
四、解答题
17．某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为、、、．
(1)写出一个递推公式来表示与之间的关系；
(2)将（1）中的递推公式表示成的形式，其中、为常数．
(3)求其前项和的值．（精确到，其中）
18．某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，）
(1)试求的表达式；
(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.
19．已知等差数列满足，数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
20．（1）已知数列的前项和是，且，求的通项公式.
（2）已知正项数列的前项和满足，求数列的通项公式.
21．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．
参考答案：
1．C
【分析】该工厂每月的产量、合格率分别用、表示，月份用表示，求出的表达式，分析数列，即可得出结论.
【详解】设从今年月份起，每月的产量和产品的不合格率都按题中的标准增长，
该工厂每月的产量、合格率分别用、表示，月份用表示，
则，，其中，，
则从今年月份起，各月不合格产品数量为，单位：万台，
因为
，
当时，，即，此时，数列单调递增，
即；
当且时，，即，此时，数列单调递减，
即，
因此，当时，最大，故该工厂的月不合格品数达到最大是今年的月份.
故选：C.
2．B
【分析】据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间面带体积与最终出口处两疵点间面带体积相等，因宽度不变，可得到，由此求出， 进而求出.
【详解】轧辊的周长为，
由题意可知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，
因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终出口处两疵点间面带的体积相等，
又因为宽度不变，有，所以，
而，
所以数列是以为公比的等比数列，
所以，即.
故选：B
3．C
【分析】复利计息问题，逐年分析寻找规律，根据等比数列的求和公式即可求解.
【详解】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为万元，
2024年存的2万元共存了9年，本息和为万元，
2032年存的2万元共存了1年，本息和为万元，
所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的钱数约为万元，
故选：C.
4．B
【分析】根据题意，天干和地支的年份分别是以和为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，故100年后地支为未，
综上：100年后的2123年为癸未年.
故选：B.
5．D
【分析】设10名股东所持股份为，总股份为1，则由题意可推得，由此可判断A；结合即可判断B；推出，则可得，判断C；由因为，推得，结合，推出，判断D.
【详解】不妨设10名股东所持股份为，总股份为1，
∵，，的最小值为，
若，此时，
又因为，此时，A正确；
由于，且，
故公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的，B正确；
因为，所以，
∴，C正确；
因为，所以，又，
所以，D错误，
故选：D．
6．C
【分析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解.
【详解】由，
可得，，，，
所以，
所以，
所以前项和，
所以，
故选：C.
7．C
【分析】根据数列单调性，数列与不等式放缩转化，即可求解.
【详解】，，
故选项A正确；
数列 单调递减,
当 时, ;
当 时，.
故选项D正确;
，，
，
,,
又，
，，
，
，
,所以当时，.故选项C错误；
，故选项B正确；
故选：C.
【点睛】本题主要考查数列，通过递推公式推导出单调性，和范围等考点，属于较难题.
8．C
【分析】前6年的维修费用构成等差数列，第6年及之后每年的维修费用构成等比数列，分成两部分单独求和，最后逐一计算第n年的前n年平均维修费用，与40作比较即可.
【详解】设前n年的总维修费用为，
，，
则，
即前6年可继续使用.
当时，
所以，
则
计算得，
故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为.
故选：C.
9．ABD
【分析】利用数列的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】由，得当时，，
因为，所以，对任意的，，
所以，，则，
此时，在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势，A对；
对于B选项，当时，，
因为，所以，对任意的，，
所以，，则，
故在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，B对；
对于C选项，由B选项可知，在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，C错；
对于D选项，当时，，
故在某一时期内，则这期间人口数不变，D对.
故选：ABD.
10．ACD
【分析】当时，结合条件求出可判断A，求出可判断B；由数学归纳法可证明C；据与零的关系，判断数列单调递增可判断D.
【详解】对于A，当时，，
，，，，
，故A正确；
对于B，当时，由A选项知：，故B不正确；
对于C，因为，当为奇数时，且为偶数，．
假设为奇数时， ；为偶数时，．
当为奇数时，，且为偶数；
当为偶数时，．
所以若为奇数，则；若为偶数，则．
因此对都有，故C正确；
对于D，当为偶数时，若为奇数，则为奇数．
因为为奇数，所以归纳可得，对，均为奇数，则，
所以，
所以数列单调递增，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】由题意可知A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，根据等差数列的通项和求和公式，即可判断正误.
【详解】由题意知，A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，
则从始发车站到A点的所有里程碑个数为，A选项正确；
从A点到点的所有里程碑个数为，B选项正确；
从A点到点的所有里程碑上的数字之和为，D选项正确，则C选项错误；
故选：ABD.
12．ABD
【分析】由题知，且,再根据递推关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：根据题意，爬上第个台阶有两种可能，
一种是从个台阶上爬上来，有种方式；
一种是从个台阶上爬上来，有种方式，
所以，，且
所以，，故正确；
所以，，故C选项错误；
因为，
所以，，故B正确；
，
，
，
．．．
，
累加可得 ， 故 D 正确，
故选： ABD．
13．
【分析】设第年的产值为，则，且，利用等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】由题意可知，第一年要比上年增长，
设第年的产值为，则，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，从今年起到第五年这五年内，这个厂的总值为.
故答案为：.
14．
【分析】由题意可知，气象台预报准确时，不准确时，从而得到从而得到最终得结果.
【详解】由题意可知，气象台预报准确时，不准确时，，
设其中有天准确，即等式左边有个，个，则，解得，
所以准确天数为.
故答案为：
15．59
【分析】利用等比数列求和公式计算即可.
【详解】设每年应扣除的消费资金为x万元，设年后投入的再生产资金为，
则1年后投入再生产的资金为：，
2年后投入再生产的资金，…
5年后投入再生产的资金
，
∵
∴，取整数为59.
故答案为：59
16． 5
【分析】根据题意结合等差数列前项和公式写出的表达式即可，再令即可得解.
【详解】由题意可得第年的支出费用为万元，
则前n年的总支出费用为，
所以，
令，解得，
又，所以从第年开始盈利．
故答案为：；.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题设条件可得出的值，以及数列的递推公式；
（2）由及（1）中的递推公式可求出、的值，即可得出结果；
（3）分析可知，数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的值.
【详解】（1）解：由题意，得，
第年年初的计划存栏数是在第年年初的计划存栏数的基础上增长，再减去，
则.
（2）解：将化成，
对比，可得，解得，
所以，（1）中的递推公式可表示为.
（3）解：由（2）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，则，
所以，
.
18．(1)
(2)该新产品将从2030年开始并持续赢利，理由见解析
【分析】（1）由题意求出累计投入，可判断出每年的收入为等比数列，根据等比数列求和公式求解出累计收入，从而表示出；
（2）由（1）可得，根据的正负判断出的单调性，再根据的单调性即可得出结论.
【详解】（1）由题意知，第1年至此后第年的累计投入为（千万元），
设第年的收入为，前年的累计收入为，
由题意得，，
所以数列是以为首项、以为公比的一个等比数列，
则有（千万元），
（千万元），
所以，即（千万元）.
所以的表达式为；
（2）因为，
所以当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
又，，，
所以该新产品将从第9年开始并持续赢利.
所以该新产品将从2030年开始并持续赢利.
19．(1)；
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义以及基本量计算和与的关系即可；
（2）先求出的通项，再用错位相减法求得的值，再由化简及分类讨论、分析函数的最值求得的取值范围.
【详解】（1）因为是等差数列，，由等差数列中项性质可得，
又因为，所以，解得，
所以可得
所以；
由 ①，可得:
当 时，，得: ，
当 时， ②，
① -② 得: ，
故数列为以首项为 , 公比为的等比数列，
（2）由（1）可知，，，
所以，
③ ④，
由③-④可得
.
化简可得:
要使得对任意恒成立，
即 ，
即 ，
① 当 时, 有 成立
②当 时，有 ，
对于函数，由反比例函数性质可知是在 单调递增的；
所以要使其恒成立，只要 ，，
③当 ，有 ，
对于函数 ，由反比例函数性质可知在[1,4]上单调递增，
只要 ；
综上: 的取值范围为 .
20．（1）（2）
【分析】（1）由数列的前项和公式求通项公式即可得出结论；
（2）由与关系求通项公式即可得出结论；
【详解】（1）由可得，
当时，，
当时，,
∴经验证，当时也成立.
所以.
（2）∵①
∴，得.
∴②
②－①得：，∴即，
∴，，，…，，
∴.
经验证，当时也成立.
所以.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明
(2)由的新定义和，可得出表达式，再分段求前n项和即可.
【详解】（1）点在函数的图象上，，
是“平方递推数列”．
因为，
对两边同时取对数得，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，
由数列的通项公式得，
当时，；当时，．
又由，得
当且时，；
当且时，
，
综上，