2023-2024学年四川省雅安市高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省雅安市高二（下）开学数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 2x− 6y+1=0的倾斜角为( )
A. π3B. 2π3C. π6D. 5π6
2.双曲线2x2−y2=8的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
3.抛物线y=−8x2的准线方程是( )
A. y=132B. y=2C. x=132D. y=−2
4.一组数据3，5，6，8，12，10，则该组数据的第60百分位数为( )
A. 6B. 8C. 9D. 7
5.点(3,0)关于直线x−y+3=0对称的点的坐标为( )
A. (3,6)B. (6,−3)C. (−6,3)D. (−3,6)
6.经过椭圆C：x236+y216=1的左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点，F2是椭圆C的右焦点，则△ABF2的周长为( )
A. 24B. 12C. 36D. 48
7.一圆台上、下底面的直径分别为4，12，高为10，则该圆台的侧面积为( )
A. 14 29πB. 20 29πC. 18 29πD. 16 29π
8.某学校开展关于“饮食民俗”的选修课程，课程内容分为日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个模块，甲、乙两名学生准备从中各选择2个模块学习，则甲、乙选修的模块中至少有1个模块相同的概率为( )
A. 13B. 23C. 35D. 25
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆C：x28+y228=1，则( )
A. 椭圆C的长轴长为4 7B. 椭圆C的焦距为12
C. 椭圆C的短半轴长为4 2D. 椭圆C的离心率为 357
10.2023年春节影市非常火爆，其中有三部电影票房不断刷新以往记录，为了解某校3000名学生(其中高一1200人，高二1000人，高三800人)的观影情况，按年级采用分层抽样的方式随机调查了300名在校学生，看过这三部电影的学生共有240人，其中高一100人，高二80人，高三60人，据统计观看过这二部电影的学生对这三部电影的综合评分的平均数和方差如下：
则下列说法正确的是( )
A. 抽取的300名学生中高三学生有80人
B. 估计该校高一学生观看这三部电影的概率为112
C. 估计该校学生对这三部电影的综合评分的平均数为8
D. 该校高三学生对这三部电影的综合评分波动最小
11.已知圆C：x2+y2+6x−4y+4=0，直线l：(a+1)x+ay+1=0，则下列选项正确的是( )
A. 直线l恒过定点(−1,1)
B. 直线l与圆C可能相切
C. 直线l被圆C截得的弦长的最小值为4
D. 当a=3时，圆C上到直线l距离为2的点恰有三个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一圆柱侧面展开图是边长为8的正方形，则该圆柱的体积为______．
13.已知a=(1,2,3),b=(2,1,0)，则a在b方向上的投影向量的模为______．
14.在三棱锥A−BCD中，△ABD和△BCD是边长为2的正三角形，且平面ABD⊥平面BCD，P是棱BD上一点，点Q是三棱锥A−PCD外接球上一动点，当△PAC的周长最小时，BQ的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l1：2x+(a−1)y+1=0，直线l2：(a+4)x+3y+3=0．
(1)若l1//l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值．
16.(本小题15分)
设抛物线C：x2=−2py(p>0)的焦点为F，A(x0,−9)是抛物线C上的点，且|AF|=15．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，且MN的中点为(−2,−11)，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重(单位：克)，将得到的数据按[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示．
(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数；
(2)现采用分层抽样的方法从质量在[30,40)和[70,80]内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在[30,40)内的概率．
18.(本小题17分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AB=2A1B1= 2BB1=2，∠ABC=60°，AA1⊥平面ABCD．
(1)求三棱锥C1−BB1D的体积；
(2)求平面ACD1与平面CC1D1D夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知焦点在x轴上的等轴双曲线C的左、右顶点分别为A，B，且A到C的渐近线的距离为 2，直线y=kx+m与双曲线C的左、右支分别交于点P，Q(异于点A，B)．
(1)当k=0时，证明：以PQ为直径的圆经过A，B两点；
(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，若点(m,2k)在双曲线C上，证明k1k2为定值，并求出该定值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
先求出直线的斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系即可求解．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，属于基础题．
【解答】
解：由题意可知直线的斜率为 33，
设倾斜角为θ，则tanθ= 33，
因为θ∈[0,π)，
所以θ=π6．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：∵双曲线2x2−y2=8的标准方程为x24−y28=1，
∴a=2,b=2 2，c= a2+b2=2 3，
∴离心率为ca= 3．
故选：B．
利用双曲线的方程可求得双曲线2x2−y2=8的离心率，得到答案．
本题考查双曲线的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x2=−18y，∴p=116
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=132，
故选：A．
先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．
本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
4.【答案】B
【解析】解：一组数据3，5，6，8，12，10，共6个，
因为6×60%=3.6，所以该组数据的第60百分位数为8．
故选：B．
根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：设所求对称点的坐标为(a,b)，
则ba−3=−1a+32−b2+3=0，
解得a=−3b=6．
故选：D．
设对称点的坐标为(a,b)，由点(3,0)与点(a,b)关于直线x−y+3=0对称，利用中点坐标公式、直线与直线垂直性质列出方程组，能求出点(a,b)的坐标．
本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直、中点在轴上2个条件，待定系数法求对称点的坐标，基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为|AF1|+|AF2|=2a=12，|BF1|+|BF2|=2a=12，
又|AB|=|AF1|+|BF1|，
所以△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=24．
故选：A．
由△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)，然后结合椭圆的定义求解．
本题考查了椭圆的定义，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：将圆台补形为圆锥，设上面小圆锥的高为h′，母线长为l′，
因为圆台的高为10，
所以h′h′+10=26，解得h′=5，
所以大圆锥的高为15，
所以大圆锥的母线长为 152+62=3 29，
又因为圆台的母线长为 102+(6−2)2=2 29，
所以l′=3 29−2 29= 29，
则该圆台的侧面积为π×6×3 29−π×2× 29=16 29π.
故选：D．
将圆台补形为圆锥，利用相似三角形求出上面小圆锥的高，进而得到大圆锥的高，再求出大圆锥和小圆锥的母线长，结合圆锥的侧面积公式求解即可．
本题主要考查了圆台的结构特征，考查了圆台的侧面积公式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：甲从中选择2个共有C62=15种不同的选择，
乙从中选择2个共有C62=15种不同的选择，
所以甲、乙各选2个共有15×15种不同选择，
而甲、乙选择都不同有C62C42=15×6种不同选择，
所以甲、乙选修的模块中至少有1个相同的概率P=1−15×615×15=35．
故选：C．
将甲从中选择2个的所有可能一一列举，共有15种，乙选择2个的可能也有15种，甲、乙各选2个共有15×15种不同选择，甲、乙选择都不同有15×6种不同选择，利用古典概率模型计算公式，即可得出答案．
本题考查古典概率模型，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：已知椭圆C：x28+y228=1，
则a=2 7,b=2 2,c=2 5，
又椭圆C的焦点在y轴上，
所以椭圆C的长轴长为4 7，焦距为4 5，短半轴长为2 2，离心率e=ca= 357，
即选项BC错误，选项AD正确．
故选：AD．
结合椭圆的性质逐一判断即可．
本题考查了椭圆的性质，属基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，因为3000人中抽取300人，所以按1：10抽取，所以抽取的300人中高三有800×110=80人，故选项A正确；
对于B，因为抽取的高一学生人数为120，其中观看这三部电影的有100人，
所以观看这三部电影的频率为100120=56，所以估计该校高一学生观看这三部电影的概率为56，故选项B错误；
对于C，因为观看这三部电影的学生共240人，其中高一100人，高二80人，高三60人，
设高一、高二、高三学生对这三部电影的综合评分的平均数分别为x1−,x2−,x3−，方差分别为s12,s22,s32，
则x1−=9,x2−=8,x3−=7,s12=3,s22=2,s32=1，
所以该校学生对这三部电影的综合评分的平均数x−=100240×9+80240×8+60240×7=496，故选项C错误；
对于D，因为该校高三学生对这三部电影的综合评分的方差最小，所以该校高三学生对这三部电影的综合评分波动最小，故选项D正确．
故选：AD．
根据分层抽样的定义可判断A，根据频率估算概率可判断B，根据平均数和方差的定义可判断CD．
本题主要考查了分层抽样的定义，考查了平均数和方差的定义，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：直线l的方程可化为(x+y)a+x+1=0，
由x+1=0x+y=0，得x=−1y=1，即直线l恒过定点(−1,1)，故A正确．
由于点(−1,1)在圆C内部，
则直线l与圆C不可能相切，故B不正确．
设点(−1,1)为Q，当CQ⊥l时，直线l被圆C截得的弦长最小．
因为|CQ|= (−3+1)2+(2−1)2= 5，
所以直线l被圆C截得的弦长的最小值为2 32−( 5)2=4，故C正确．
圆心C(−3,2)，半径为3，当a=3时，直线l的方程为4x+3y+1=0．
圆心C到直线l的距离为|−12+6+1| 32+42=1，
又半径为3，
则圆C上到直线l距离为2的点恰有三个，故D正确．
故选：ACD．
将直线方程化为(x+y)a+x+1=0，由此容易求得定点坐标判断选项A；由于点(−1,1)在圆C内部，由此容易判断选项B；当CQ⊥l时，直线l被圆C截得的弦长最小，由此容易判断选项C；求出圆心到直线的距离，由此容易判断选项D．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】128π
【解析】解：设该圆柱的底面半径为r，
则2πr=8，所以r=4π，
故该圆柱的体积为πr2h=π⋅(4π)2×8=128π．
故答案为：128π．
设该圆柱的底面半径为r，由圆柱的结构特征可得2πr=8，进而求出r，再利用圆柱的体积公式求解．
本题主要考查了圆柱的结构特征，考查了圆柱的体积公式，属于基础题．
13.【答案】4 55
【解析】解：计算a⋅b=1×2+2×1+3×0=4，
所以a在b方向上的投影向量的模为|a⋅b||b|=4 4+1+0=4 55．
故答案为：4 55．
根据a在b方向上的投影向量的模长公式计算即可．
本题考查了平面向量的模长计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
14.【答案】 15− 72
【解析】解：如图1，当P为BD的中点时，△PAC的周长最小，
此时AP⊥BD，AP⊥PC，BD⊥PC，且AP=PC= 3,PD=1，
三棱锥A−PCD的外接球为图2中右侧长方体的外接球，
因为该长方体的长宽高分别为 3,1, 3，所以外接球的半径为R= 3+3+12= 72，
建立空间直角坐标系，可知O(−12, 32, 32),B(1,0,0)，
则BO= (1+12)2+( 32)2+( 32)2= 152，所以BQmin=BO−R= 15− 72．
故答案为： 15− 72．
当P为BD的中点时，△PAC的周长最小，将三棱锥A−PCD的外接球转化为图2中右侧长方体的外接球，建立空间直角坐标系，即可求解．
本题考查了三棱锥外接球的相关计算，属于中档题．
15.【答案】解：已知直线l1：2x+(a−1)y+1=0，直线l2：(a+4)x+3y+3=0．
(1)因为l1//l2，所以3×2−(a−1)(a+4)=0，
整理得a2+3a−10=(a−2)(a+5)=0，
解得a=2或a=−5．
当a=2时，l1：2x+y+1=0，l2：6x+3y+3=0，l1，l2重合；
当a=−5时，l1：2x−6y+1=0，l2：−x+3y+3=0，符合题意．
故a=−5．
(2)因为l1⊥l2，所以2(a+4)+3(a−1)=0，
解得a=−1．
【解析】(1)利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．
(2)当两条直线垂直时，斜率之积等于−1，解方程求出a的值．
本题考查两直线相交、垂直、平行、重合的条件，体现了转化的数学思想．属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为|AF|=9+p2=15，
所以p=12，
故抛物线C的方程为x2=−24y；
(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x12=−24y1x22=−24y2，
两式作差变形得：y1−y2x1−x2=−x1+x224，
又因为MN的中点为(−2,−11)，则x1+x2=−4，
所以k=y1−y2x1−x2=−−424=16，
所以直线l的方程为y+11=16(x+2)，即x−6y−64=0．
【解析】(1)根据抛物线的定义求解；
(2)设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程．
本题主要考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，(0.008+0.018)×10=0.26<0.5，
0.26+0.032×10=0.58>0.5，
所以中位数在[50,60)内；
设中位数为x，则(x−50)×0.032+0.26=0.5，
解得x=57.5，所以中位数约为57.5．
(2)由题意知利用分层抽样法从[30,40)中抽取5×+0.012=2(颗)，分别记为A，B；
从[70,80]中抽取5×+0.012=3(颗)，分别记为c，d，e．
从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共10种，
其中符合条件的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，共7种，
故所求的概率为P=710．
【解析】(1)由频率分布直方图计算频率值为0.5时对应的单颗板栗质量即可；
(2)利用分层抽样法计算从[30,40)和[70,80]中抽取的颗数，利用列举法求出基本事件数，从而计算所求的概率值．
本题考查了利用频率分布直方图求中位数的问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)在直角梯形A1ABB1中，因为AB=2A1B1= 2BB1=2，所以A1A=1，
连接B1D1，S△B1C1D1=12×B1C1×C1D1×sin120°=12×1×1× 32= 34，
S△BCD=12×BC×CD×sin120°=12×2×2× 32= 3，
所以三棱台B1C1D1−BCD的体积为VB1C1D1−BCD=13(S△B1C1D1+S△BCD+ S△B1C1D1⋅S△BCD)A1A
=13×( 34+ 3+ 34× 3)×1=7 312．
因为VD−B1C1D1=13S△B1C1D1⋅A1A=13× 34×1= 312，VC1−BCD=13S△BCD⋅A1A=13× 3×1= 33，
所以VC1−BB1D=VB1C1D1−BCD−VD−B1C1D1−VC1−BCD= 36．
(2)以A为坐标原点，以AB,AA1的方向分别为x，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
B(2,0,0)，C(1, 3,0)，D(−1, 3,0)，A1(0,0,1)，
B1(1,0,1)，C1(12, 32,1)，D1(−12, 32,1)．
设平面ACD1的法向量为m=(x1,y1,z1)，因为AC=(1, 3,0),CD1=(−32,− 32,1)，
所以m⋅AC=x1+ 3y1=0,m⋅CD1=−32x1− 32y1+z1=0,令y1=1，得m=(− 3,1,− 3)．
设平面CC1D1D的法向量为n=(x2,y2,z2)，因为C1D1=(−1,0,0),C1=(−32,− 32,1)，
所以n⋅C1D1=x2=0,n⋅CD1=−32x2− 32y2+z2=0,令y2=2，得n=(0,2, 3)．
因为|cs|=|m⋅n||m||n|=|0+2−3| 3+1+3× 0+4+3=17，
所以平面ACD1与平面CC1D1D夹角的余弦值为17．
【解析】(1)利用直角梯形A1ABB1求出A1A，计算三棱台B1C1D1−BCD的体积和三棱锥D−B1C1D1、三棱锥C1−BCD的体积，再求三棱锥C1−BB1D的体积．
(2)以A为坐标原点，以AB,AA1的方向分别为x，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面ACD1的法向量和平面CC1D1D的法向量，利用法向量求平面ACD1与平面CC1D1D夹角的余弦值．
本题考查了空间几何体的体积计算问题，也考查了两平面夹角的计算问题，是中档题．
19.【答案】证明：(1)设双曲线C：x2−y2=a2，则点A的坐标为(−a,0)，渐近线方程为x±y=0，
∵A到C的渐近线的距离为 2，∴a 2= 2，∴a=2，
∴双曲线C的方程为x2−y2=4．
当k=0时，设P(t,m)，则Q(−t,m)，
∵kPA=mt+2,kQA=m−t+2，∴kPAkQA=m24−t2．
∵t2−m2=4，∴kPAkQA=−1，∴PA⊥QA．
同理可证PB⊥QB，∴以PQ为直径的圆经过A，B两点．
(2)联立方程组y=kx+m,x2−y2=4,得(1−k2)x2−2kmx−m2−4=0，
由Δ=4(m2+4−4k2)>0，得m2+4>4k2．
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
则x1+x2=2km1−k2,x1x2=−m2−41−k2．
∵直线y=kx+m与双曲线C的左、右支分别各有一个交点，∴k∈(−1,1)．
∵点(m,2k)在双曲线C上，∴m2−4k2=4．
∵k1=y1x1+2,k2=y2x2−2，∴k1k2=y1y2(x1+2)(x2−2)=(kx1+m)(kx2+m)(x1+2)(x2−2)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2+2(x2−x1)−4．
∵k2x1x2+km(x1+x2)+m2=−k2m2−4k21−k2+2k2m21−k2+m2=m2−4k21−k2=41−k2，
x2−x1= (x1+x2)2−4x1x2= 4k2m2(1−k2)2+4m2+161−k2= 4m2−16k2+16(1−k2)2=4 21−k2，
∴k1k2=41−k2−m2−41−k2+8 21−k2−4=4−m2−4+8 2−4+4k2=12 2−3=−2 2−3，
∴k1k2为定值，且k1k2=−2 2−3．
【解析】(1)由题意可设双曲线C：x2−y2=a2，利用点到直线距离公式可求出a的值，从而可得双曲线方程，当k=0时，设P(t,m)，则Q(−t,m)，表示出直线PA，QA的斜率，由斜率乘积为−1可得PA⊥QA，同理PB⊥QB，即可得证；
(2)直线与双曲线方程联立，可得根与系数的关系，由此化简计算k1k2为定值即可．
本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．高一
高二
高三
平均数
9
8
7
方差
3
2
1