2023-2024学年山东省泰安市宁阳一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省泰安市宁阳一中高一（下）开学数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列说法正确的个数是( )
(1)温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
(2)零向量没有方向；
(3)向量的模一定是正数；
(4)非零向量的单位向量是唯一的．
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.10(a+b)−(a−b)=( )
A. 9a+9bB. 9a+11bC. 11a+9bD. 11a+11b
3.如图，在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点.设CA=a，CB=b，则EA=( )
A. 23a−16b
B. 23a+16b
C. 16a−23b
D. 16a+23b
4.已知非零向量a,b满足|b|=2 3|a|，且a⊥(3a+b)，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.已知在四边形ABCD中，DB−DA=AC−AD则四边形ABCD一定是( )
A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
6.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=−e1+ke2(k∈R)与向量n=e2−2e1共线，则( )
A. k=0B. k=1C. k=2D. k=12
7.在△ABC中，∠C=90°，BC=12AB，则AB与BC与的夹角是( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
8.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB→−OC→)·(OB→+OC→−2OA→)=0，则△ABC的形状为
( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中错误的有( )
A. 起点相同的单位向量，终点必相同
B. 已知向量AB//CD，则四边形ABCD为平行四边形
C. 若a//b,b//c，则a/​/c
D. 若a=b,b=c，则a=c
10.下列各组向量中，一定能推出a//b的是( )
A. a=−3e，b=2e
B. a=−13e，b=23e
C. a=e1−e2，b=e1+e22−e1
D. a=e1−e2，b=e1+e2+e1+e22
11.下列说法正确的是( )
A. 向量a在向量b上的投影向量可表示为a⋅b|b|⋅b|b|
B. 若a⋅b1(k∈R)，求k的取值范围．
22.(本小题12分)
如图所示，在△OAB中，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC交于点M.过M点的直线l与OA、OB分别交于点E，F．
(1)试用OA，OB表示向量OM；
(2)设OE=λOA，OF=μOB，求证：1λ+3μ是定值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(1)温度与功没有方向，不是向量，故(1)错误，
(2)零向量的方向是任意的，故(2)错误，
(3)零向量的模可能为0，不一点是正数，故(3)错误，
(4)非零向量的单位向量的方向有两个，故(4)错误，
故选：A．
根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．
本题考查了向量的概念和向量的模，涉及到零向量，单位向量的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据向量运算公式可知，10(a+b)−(a−b)=10a+10b−a+b=9a+11b．
故选：B．
根据数乘向量的运算律化简求解即可．
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，AD=13AB，且E是CD的中点，
所以EA=−AE=−12(AC+AD)=12CA−12AD
=12CA−16AB=12CA−16(CB−CA)=23a−16b．
故选：A．
根据向量的线性运算即可求得答案．
本题考查平面向量的线性运算和应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，设a与b的夹角为θ，
因为a⊥(3a+b)，所以a⋅(3a+b)=3|a|2+a⋅b=0，变形可得a⋅b=−3|a|2，
则csθ=a⋅b|a||b|=−3|a|2|a|×2 3|a|=− 32，
又由0≤θ≤π，所以θ=5π6．
故选：D．
根据题意，设a与b的夹角为θ，由数量积的计算分析可得a⋅b=−3|a|2，进而计算可得答案．
本题考查向量夹角的计算，涉及向量的数量积，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由DB−DA=AC−AD，可得AB=DC，
则AB//DC，且|AB|=|DC|，
∴四边形ABCD一定是平行四边形．
故选：A．
根据平面向量减法法则判断即可．
本题考查向量相等与向量共线，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：若向量m=−e1+ke2(k∈R)与向量n=e2−2e1共线，
则存在实数λ，使m=λn，∴−e1+ke2=λ(e2−2e1)=−2λe1+λe2，
∴−1=−2λk=λ，
解得k=12．
故选：D．
根据平面向量共线定理得存在实数λ，使m=λn，代入条件列式计算即可．
本题主要考查了平面向量共线定理，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=12AB，故有∠B=60°，
故AB与BC与的夹角是180°−60°=120°，
故选：C．
根据角三角形中的边角关系，可得∠B=60°，再根据两个向量的夹角的定义求得AB与BC与的夹角．
本题主要直角三角形中的边角关系，两个向量的夹角的定义，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，属于基础题．
根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出△ABC是等腰三角形．
【解答】
解：因为(OB−OC)·(OB+OC−2OA)=0，
即CB·(AB+AC)=0，
又因为AB−AC=CB，
所以(AB−AC)·(AB+AC)=0，
所以AB2=AC2，
即|AB|=|AC|，
所以△ABC是等腰三角形．
故选A．
9.【答案】ABC
【解析】解：单位向量的方向不确定，所以起点相同，终点不一定相同，故A错误；
四边形ABCD中，由AB//CD，可得AB/​/CD，但四边形ABCD不一定为平行四边形，故B错误；
当b=0时，满足a//b，b/​/c，但不能得到a/​/c，故C错误；
由向量相等的条件可知，若a=b,b=c，则a=c，故D正确．
故选：ABC．
由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论．
本题考查单位向量定义，向量共线及相等的条件，属基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：A.因为a=−3e，b=2e，故b=−23a，即a//b，故A正确；
B.因为a=−13e，b=23e，故b=−2a，即a//b，故B正确；
C. a=e1−e2，b=e1+e22−e1=−12e1+12e2，则b=−12a，故C正确；
D. a=e1−e2，b=e1+e2+e1+e22=32(e1+e2)，只有当e1=0或e2=0，此时a//b，否则b≠λa，所以向量a,b不平行，故D错误．
故选：ABC．
根据共线向量定理，即可判断选项．
本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题也是易错题．
11.【答案】ABD
【解析】解：A.根据投影向量的定义可知，向量a在向量b上的投影向量可表示为a⋅b|b|⋅b|b|，故A正确；
B.根据a⋅b0，且a，b不共线，
当a⋅b>0时，(3e1+2e2)⋅(te1+2e2)
=3te12+(6+2t)e1⋅e2+4e22
=3t+12(6+2t)+4>0，解得t>−74，
当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a=λb，
即3e1+2e2=λ(te1+2e2)，所以3=λt2=2λ，解得λ=1t=3，
所以当t≠3时，a，b不共线，
综上，t的取值范围是(−74,3)∪(3,+∞)．
【解析】由数量积的定义，转化为a⋅b>0，且a，b不共线，再结合数量积的定义以及共线向量的定理，即可列式求解．
本题考查平面向量数量积的运算，属中档题．
21.【答案】解：(1)证明∵(a−b)⋅c=a⋅c−b⋅c
=|a|⋅|c|⋅cs120°−|b|⋅|c|⋅cs120°=0，
∴(a−b)⊥c．
(2)|ka+b+c|>1⇔(ka+b+c)2>1，
即k2 a2 +b2+c2+2ka⋅b+2ka⋅c+2b⋅c>1．
∵|a|=|b|=|c|=1，且a,b,c相互之间的夹角均为120°，
∴a2=b2=c2=1，a⋅b=b⋅c=a⋅c=−12，
∴k2+1−2k>1，即k2−2k>0，
∴k>2或k