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1.5正弦函数、余弦函数的图像与性质再认识同步练习
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1.5正弦函数、余弦函数的图像与性质再认识同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知函数在上有且只有一个最大值点（即取得最大值对应的自变量），则的取值范围是（ ）A． B． C． D．3．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A．1 B． C． D．4．是定义在上的函数，对于任意的，都有且时，有，则函数的所有零点之和为（ ）A．10 B．13 C．22 D．265．我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为，则（ ）A． B．的最大值为C．的最小正周期为 D．在上是增函数6．函数的单调递减区间是（ ）A． B．C． D．7．已知函数的一个对称中心到对称轴距离的最小值为，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于原点对称，则函数的一个单调递增区间为（ ）A． B． C． D．8．已知函数,,,,与的图象共有个不同的交点、、、，则（ ）A． B． C． D．二、多选题9．已知在上是单调函数，对任意满足，且．设函数，，则（ ）A．函数是偶函数B．若函数在上存在最大值，则实数a的取值范围为C．函数的最大值为1D．函数的图象关于直线对称10．设函数（ω＞0）的最小正周期为T，且（）．若为的零点，则（ ）A． B．C．为的零点 D．为的一条对称轴11．已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A． B．C．点是函数图象的一个对称中心 D．直线是函数图象的一条对称轴12．设，已知在上有且仅有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A．在上有且仅有3个最大值点 B．在上有且仅有2个最小值点C．在上单调递增 D．的取值范围是三、填空题13．已知函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为 .14．若函数，对任意实数都有，则实数的值为 .15．已知函数，定义域为，则的值域为 ．16．已知函数，则 ；若在上恒成立，则整数t的最小值为 ．四、解答题17．已知函数的最小正周期为T．若，且的图象关于直线对称.(1)求函数的单调增区间；(2)求函数在区间上的最值.18．已知函数为奇函数.(1)求的值；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若，使得成立，求实数的取值范围.19．已知函数．(1)求函数的对称中心；(2)函数在内是否存在单调减区间？若存在请说明原因并写出递减区间．若不存在.说明理由；(3)若都有恒成立.求实数m的取值范围；20．已知函数为奇函数．(1)求a的值；(2)设函数，i．证明：有且只有一个零点；ii．记函数的零点为，证明：．21．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为.且最高点与最低点间的距离为.(1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系；(2)若小球在内经过最高点的次数恰为次，求的取值范围. 参考答案：1．C【分析】根据诱导公式以及三角函数的奇偶性结合充分、必要条件分析判断.【详解】由题意可知：的定义域为，若，可得，若为偶数，则为奇函数；若为奇数，则为奇函数；即充分性成立；若为奇函数，则，即必要性成立；综上所述：“”是“为奇函数”的充要条件.故选：C.2．B【分析】根据正弦函数最值性质列式求解即可.【详解】由，得，由题意可得，解得，即的取值范围是.故选：B3．A【分析】根据函数图象求出函数解析式，再代入计算可得.【详解】由图可知，即，又，所以，又关于对称，且，因为且，所以，解得，所以，所以，解得，所以，所以.故选：A4．C【分析】根据函数的对称性可得函数的周期为4，进而根据函数图象，结合对称性即可求解.【详解】因为对于任意的，都有，，所以为的一条对称轴，为的一个对称中心，故所以为的周期，由得，又由时，有，可以画出与的图象，如图:由于也关于对称，且当时，， 由图象可得，函数共有11个零点，故所有零点之和为.故选:C5．D【分析】首先代入，即可判断A；再分别根据函数，，的性质，判断BCD选项.【详解】A.，故A错误；B.，当，时，函数取得最大值1，，当，时，函数取得最大值，，当，时，函数取得最大值，由，但三个函数不能同时取得最大值，所以函数的最大值小于，故B错误；C.的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C错误；D.，，，所以函数，，在都是单调递增函数，则函数在上是增函数，故D正确.故选：D6．D【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案.【详解】，由题意单调递减，且，则，解得，，所以的单调递减区间是.故选：D.7．D【分析】由题意求出的解析式，再求得的一个单调递增区间.【详解】由题意得，，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到， ∵函数的图象关于原点对称，为奇函数，，∵.令，解得，令，得函数的一个单调递增区间为.故选：D8．D【分析】分析可知，两个函数的图象都关于点对称，确定两个函数图象公共点的个数，结合对称性可得出的值.【详解】对任意的，，所以，，则函数的图象关于点对称，对任意的，，所以，函数的图象也关于点对称，不妨设，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，两个函数的图象共有个公共点，且点与点关于点对称，且，所以，.故选：D.【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．9．BC【分析】依题意可得的图象关于点对称且当时，取得最大值，结合函数的单调性，即可求出最小正周期，从而求出、得到、解析式，再结合正弦函数的性质判断A、B，由即可判断C，利用特殊值说明不恒成立，即可判断D.【详解】因为，即，所以的图象关于点对称，又对任意，都有，所以当时，取得最大值.因为在是单调函数，所以得，所以，又因为函数在时取得最大值，所以，则，即．因为，所以，则.因为函数，所以，对于A：，即为奇函数，故A错误.对于B：因为函数在时取得最大值，又因为，最小正周期，令，，解得，，即在，上单调递减，又函数在取得最大值，因为函数在上存在最大值，则实数的取值范围为，故B正确．对于C：因为，所以，且，所以函数的最大值为1，故C正确.对于D：若的图象关于直线对称，只要证对定义域内的都成立，取，，但，所以，矛盾，所以的图象不关于直线对称. 故D错误．故选：BC【点睛】关键点睛：本题的关键是根据对称性的性质得到的图象关于点对称，从而求出解析式.10．BD【分析】利用周期，求得的取值范围，结合为的零点求得，结合余弦函数的零点，对称性等性质逐项判断.【详解】由（ω＞0），得，解得，故B正确；因为，所以，解得，又，得，又，所以，则，故A错误；，故C错误；，则为的一条对称轴，故D正确.故选：BD．11．ABD【分析】结合图象即可求出三角函数的解析式，则AB可解；将代入函数的解析式即可验证C选项；将代入函数的解析式即可验证D选项.【详解】根据图象和题目条件可知，，所以，解得，A正确；将代入，可得，解得，B正确；所以，令得，， C错误，令得，，故是函数的一条对称轴，D正确，故选：ABD．12．ACD【分析】将看成整体角，根据题意得，结合正弦函数的图象观察分析求得，且易得在上有且仅有3个最大值点，但最小值点个数不确定，最后由推得，根据求得的判断的范围能确保单调递增即得.【详解】设，由，可得，作出的图象如图，要使在上有且仅有5个零点，须使，解得：，故D项正确；对于A项，由图可知时，，在此区间上函数有且仅有3个最大值点，故A项正确；对于B项，由图可知时，，在此区间上，函数的最小值点可能有2个或3个,故B项错误；对于C项，当时，，由上分析知，则，即，而此时单调递增，故在上单调递增，故C项正确.故选：ACD.13．【分析】设，画出函数图象，分类讨论，将题意转化为函数与交点个数问题，根据二次函数性质求解即可.【详解】当时，的图象如图所示，则，令，则方程为，即，，又，当时，若方程在内有两个不同的解，只需只有一解，即函数与，只有一个交点，又函数在上单调递减，所以，即；当时，，方程的解为和，当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意；当时，，方程的解为和，当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意；当时，若方程在内有两个不同的解，只需有两个不同的解，即函数与，有两个不同的个交点，又函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以；综上所述，实数的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，本题的关键是采用换元法，设，将原方程转化为一元二次方程，结合二次函数图象列出不等式，解出即可.14．或0【分析】先根据对称性求得，，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可.【详解】由知，关于对称，所以，即，，又，所以，当且为偶数时，，解得，当且为奇数时，，解得，综上，实数的值为或0.故答案为：或015．【分析】利用换元法将,进而利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题意，，当时，．令，则问题转化为求函数，的值域，因为抛物线的对称轴为，所以当时，函数的最大值为；当时，函数的最小值为，故所求值域为．故答案为：16． 12【分析】根据代入分段函数求值，画出简图，结合图象分析即可.【详解】因为，所以，因为，，所以.图象如图：，，，时，，时，，或，时，，所以时，恒成立，整数t的最小值为12.故答案为：；12.17．(1)，(2)最小值为2，最大值为3【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，然后通过对称性和周期得到，然后求解单调区间．（2）由的取值范围，求出的取值范围，然后根据正弦函数的性质求解函数的值域即可．【详解】（1）∵， 由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于直线对称，所以， 所以，所以，所以， 由，，得， ∴函数的单调增区间为，.（2）∵，∴，， 由，∴当或时，，当时，18．(1)(2)(3)【分析】（1）根据奇函数的性质列式求解即可；（2）分离参数得在上恒成立，令，则，构造函数，利用函数单调性求解最值即可求解；（3）把问题转化为函数的值域为函数值域的子集，利用函数单调性求解其值域，结合余弦函数性质，分类讨论求解函数的值域，列不等式组求解即可.【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即，所以，所以，解得.（2）由（1）知，则，所以，故在上恒成立，令，则，且，所以，令，则函数在上为减函数，所以，所以.（3）若，使得成立，则函数的值域为函数值域的子集，，则函数在上为减函数，所以.因为，所以，所以，当时，，则，所以，所以；当时，，则，所以，所以；当时，，显然成立.综上可知.【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集.19．(1)(2)存在，(3)【分析】（1）由题意.利用正弦函数的图象的对称性.求得函数的对称中心．（2）由题意.根据正弦函数的单调性.得出结论．（3）由题意.求得函数的最大值和最小值.可得实数m的取值范围．【详解】（1）对于函数，令，，求得，，所以函数的对称中心为.（2）当，有，当时，函数单调递减，即，求得，可得函数的减区间为，故函数在内存在单调减区间．（3）由，有，，故函数的最大值为1，最小值为；若都有恒成立，则，故实数m的取值范围为.20．(1)(2)i．证明见解析；ii．证明见解析【分析】（1）借助函数的奇偶性计算即可得；（2）结合零点的存在性定理分类讨论可证有且只有一个零点；结合零点性质与单调性放缩可得.【详解】（1），即有，即恒成立，故；（2）i．当时，函数与函数均在定义域上单调递增，故在上单调递增，又，，故存在唯一零点，当时，，，故，当时，，，故，故当时，无零点，综上所述，有且只有一个零点，且该零点；ii．由上可知，且有，则，即，由函数在区间上单调递增，故.【点睛】关键点睛：本题i．问关键在于借助零点的存在性定理判定有且只有一个零点，ii．问关键在于借助零点，将转化为，结合函数单调性，得到.21．(1)(2)【分析】（1）根据最高点与最低点间距离和两次到达最高点的最短时间可分别得到和最小正周期，由此可得解析式；（2）当时，小球第一次到达最高点，从而得到，代入即可求得结果.【详解】（1）小球振动过程中最高点与最低点间的距离为，；小球振动过程中两次到达最高点的最短时间间隔为，最小正周期，，.（2）由（1）知：当时，小球第一次到达最高点，以后每经过一个周期都出现一次最高点；小球在内经过最高点的次数恰为次，，又，，即的取值范围为.
1.5正弦函数、余弦函数的图像与性质再认识同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知函数在上有且只有一个最大值点（即取得最大值对应的自变量），则的取值范围是（ ）A． B． C． D．3．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A．1 B． C． D．4．是定义在上的函数，对于任意的，都有且时，有，则函数的所有零点之和为（ ）A．10 B．13 C．22 D．265．我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为，则（ ）A． B．的最大值为C．的最小正周期为 D．在上是增函数6．函数的单调递减区间是（ ）A． B．C． D．7．已知函数的一个对称中心到对称轴距离的最小值为，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于原点对称，则函数的一个单调递增区间为（ ）A． B． C． D．8．已知函数,,,,与的图象共有个不同的交点、、、，则（ ）A． B． C． D．二、多选题9．已知在上是单调函数，对任意满足，且．设函数，，则（ ）A．函数是偶函数B．若函数在上存在最大值，则实数a的取值范围为C．函数的最大值为1D．函数的图象关于直线对称10．设函数（ω＞0）的最小正周期为T，且（）．若为的零点，则（ ）A． B．C．为的零点 D．为的一条对称轴11．已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A． B．C．点是函数图象的一个对称中心 D．直线是函数图象的一条对称轴12．设，已知在上有且仅有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A．在上有且仅有3个最大值点 B．在上有且仅有2个最小值点C．在上单调递增 D．的取值范围是三、填空题13．已知函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为 .14．若函数，对任意实数都有，则实数的值为 .15．已知函数，定义域为，则的值域为 ．16．已知函数，则 ；若在上恒成立，则整数t的最小值为 ．四、解答题17．已知函数的最小正周期为T．若，且的图象关于直线对称.(1)求函数的单调增区间；(2)求函数在区间上的最值.18．已知函数为奇函数.(1)求的值；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若，使得成立，求实数的取值范围.19．已知函数．(1)求函数的对称中心；(2)函数在内是否存在单调减区间？若存在请说明原因并写出递减区间．若不存在.说明理由；(3)若都有恒成立.求实数m的取值范围；20．已知函数为奇函数．(1)求a的值；(2)设函数，i．证明：有且只有一个零点；ii．记函数的零点为，证明：．21．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为.且最高点与最低点间的距离为.(1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系；(2)若小球在内经过最高点的次数恰为次，求的取值范围. 参考答案：1．C【分析】根据诱导公式以及三角函数的奇偶性结合充分、必要条件分析判断.【详解】由题意可知：的定义域为，若，可得，若为偶数，则为奇函数；若为奇数，则为奇函数；即充分性成立；若为奇函数，则，即必要性成立；综上所述：“”是“为奇函数”的充要条件.故选：C.2．B【分析】根据正弦函数最值性质列式求解即可.【详解】由，得，由题意可得，解得，即的取值范围是.故选：B3．A【分析】根据函数图象求出函数解析式，再代入计算可得.【详解】由图可知，即，又，所以，又关于对称，且，因为且，所以，解得，所以，所以，解得，所以，所以.故选：A4．C【分析】根据函数的对称性可得函数的周期为4，进而根据函数图象，结合对称性即可求解.【详解】因为对于任意的，都有，，所以为的一条对称轴，为的一个对称中心，故所以为的周期，由得，又由时，有，可以画出与的图象，如图:由于也关于对称，且当时，， 由图象可得，函数共有11个零点，故所有零点之和为.故选:C5．D【分析】首先代入，即可判断A；再分别根据函数，，的性质，判断BCD选项.【详解】A.，故A错误；B.，当，时，函数取得最大值1，，当，时，函数取得最大值，，当，时，函数取得最大值，由，但三个函数不能同时取得最大值，所以函数的最大值小于，故B错误；C.的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C错误；D.，，，所以函数，，在都是单调递增函数，则函数在上是增函数，故D正确.故选：D6．D【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案.【详解】，由题意单调递减，且，则，解得，，所以的单调递减区间是.故选：D.7．D【分析】由题意求出的解析式，再求得的一个单调递增区间.【详解】由题意得，，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到， ∵函数的图象关于原点对称，为奇函数，，∵.令，解得，令，得函数的一个单调递增区间为.故选：D8．D【分析】分析可知，两个函数的图象都关于点对称，确定两个函数图象公共点的个数，结合对称性可得出的值.【详解】对任意的，，所以，，则函数的图象关于点对称，对任意的，，所以，函数的图象也关于点对称，不妨设，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，两个函数的图象共有个公共点，且点与点关于点对称，且，所以，.故选：D.【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．9．BC【分析】依题意可得的图象关于点对称且当时，取得最大值，结合函数的单调性，即可求出最小正周期，从而求出、得到、解析式，再结合正弦函数的性质判断A、B，由即可判断C，利用特殊值说明不恒成立，即可判断D.【详解】因为，即，所以的图象关于点对称，又对任意，都有，所以当时，取得最大值.因为在是单调函数，所以得，所以，又因为函数在时取得最大值，所以，则，即．因为，所以，则.因为函数，所以，对于A：，即为奇函数，故A错误.对于B：因为函数在时取得最大值，又因为，最小正周期，令，，解得，，即在，上单调递减，又函数在取得最大值，因为函数在上存在最大值，则实数的取值范围为，故B正确．对于C：因为，所以，且，所以函数的最大值为1，故C正确.对于D：若的图象关于直线对称，只要证对定义域内的都成立，取，，但，所以，矛盾，所以的图象不关于直线对称. 故D错误．故选：BC【点睛】关键点睛：本题的关键是根据对称性的性质得到的图象关于点对称，从而求出解析式.10．BD【分析】利用周期，求得的取值范围，结合为的零点求得，结合余弦函数的零点，对称性等性质逐项判断.【详解】由（ω＞0），得，解得，故B正确；因为，所以，解得，又，得，又，所以，则，故A错误；，故C错误；，则为的一条对称轴，故D正确.故选：BD．11．ABD【分析】结合图象即可求出三角函数的解析式，则AB可解；将代入函数的解析式即可验证C选项；将代入函数的解析式即可验证D选项.【详解】根据图象和题目条件可知，，所以，解得，A正确；将代入，可得，解得，B正确；所以，令得，， C错误，令得，，故是函数的一条对称轴，D正确，故选：ABD．12．ACD【分析】将看成整体角，根据题意得，结合正弦函数的图象观察分析求得，且易得在上有且仅有3个最大值点，但最小值点个数不确定，最后由推得，根据求得的判断的范围能确保单调递增即得.【详解】设，由，可得，作出的图象如图，要使在上有且仅有5个零点，须使，解得：，故D项正确；对于A项，由图可知时，，在此区间上函数有且仅有3个最大值点，故A项正确；对于B项，由图可知时，，在此区间上，函数的最小值点可能有2个或3个,故B项错误；对于C项，当时，，由上分析知，则，即，而此时单调递增，故在上单调递增，故C项正确.故选：ACD.13．【分析】设，画出函数图象，分类讨论，将题意转化为函数与交点个数问题，根据二次函数性质求解即可.【详解】当时，的图象如图所示，则，令，则方程为，即，，又，当时，若方程在内有两个不同的解，只需只有一解，即函数与，只有一个交点，又函数在上单调递减，所以，即；当时，，方程的解为和，当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意；当时，，方程的解为和，当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意；当时，若方程在内有两个不同的解，只需有两个不同的解，即函数与，有两个不同的个交点，又函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以；综上所述，实数的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，本题的关键是采用换元法，设，将原方程转化为一元二次方程，结合二次函数图象列出不等式，解出即可.14．或0【分析】先根据对称性求得，，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可.【详解】由知，关于对称，所以，即，，又，所以，当且为偶数时，，解得，当且为奇数时，，解得，综上，实数的值为或0.故答案为：或015．【分析】利用换元法将,进而利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题意，，当时，．令，则问题转化为求函数，的值域，因为抛物线的对称轴为，所以当时，函数的最大值为；当时，函数的最小值为，故所求值域为．故答案为：16． 12【分析】根据代入分段函数求值，画出简图，结合图象分析即可.【详解】因为，所以，因为，，所以.图象如图：，，，时，，时，，或，时，，所以时，恒成立，整数t的最小值为12.故答案为：；12.17．(1)，(2)最小值为2，最大值为3【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，然后通过对称性和周期得到，然后求解单调区间．（2）由的取值范围，求出的取值范围，然后根据正弦函数的性质求解函数的值域即可．【详解】（1）∵， 由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于直线对称，所以， 所以，所以，所以， 由，，得， ∴函数的单调增区间为，.（2）∵，∴，， 由，∴当或时，，当时，18．(1)(2)(3)【分析】（1）根据奇函数的性质列式求解即可；（2）分离参数得在上恒成立，令，则，构造函数，利用函数单调性求解最值即可求解；（3）把问题转化为函数的值域为函数值域的子集，利用函数单调性求解其值域，结合余弦函数性质，分类讨论求解函数的值域，列不等式组求解即可.【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即，所以，所以，解得.（2）由（1）知，则，所以，故在上恒成立，令，则，且，所以，令，则函数在上为减函数，所以，所以.（3）若，使得成立，则函数的值域为函数值域的子集，，则函数在上为减函数，所以.因为，所以，所以，当时，，则，所以，所以；当时，，则，所以，所以；当时，，显然成立.综上可知.【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集.19．(1)(2)存在，(3)【分析】（1）由题意.利用正弦函数的图象的对称性.求得函数的对称中心．（2）由题意.根据正弦函数的单调性.得出结论．（3）由题意.求得函数的最大值和最小值.可得实数m的取值范围．【详解】（1）对于函数，令，，求得，，所以函数的对称中心为.（2）当，有，当时，函数单调递减，即，求得，可得函数的减区间为，故函数在内存在单调减区间．（3）由，有，，故函数的最大值为1，最小值为；若都有恒成立，则，故实数m的取值范围为.20．(1)(2)i．证明见解析；ii．证明见解析【分析】（1）借助函数的奇偶性计算即可得；（2）结合零点的存在性定理分类讨论可证有且只有一个零点；结合零点性质与单调性放缩可得.【详解】（1），即有，即恒成立，故；（2）i．当时，函数与函数均在定义域上单调递增，故在上单调递增，又，，故存在唯一零点，当时，，，故，当时，，，故，故当时，无零点，综上所述，有且只有一个零点，且该零点；ii．由上可知，且有，则，即，由函数在区间上单调递增，故.【点睛】关键点睛：本题i．问关键在于借助零点的存在性定理判定有且只有一个零点，ii．问关键在于借助零点，将转化为，结合函数单调性，得到.21．(1)(2)【分析】（1）根据最高点与最低点间距离和两次到达最高点的最短时间可分别得到和最小正周期，由此可得解析式；（2）当时，小球第一次到达最高点，从而得到，代入即可求得结果.【详解】（1）小球振动过程中最高点与最低点间的距离为，；小球振动过程中两次到达最高点的最短时间间隔为，最小正周期，，.（2）由（1）知：当时，小球第一次到达最高点，以后每经过一个周期都出现一次最高点；小球在内经过最高点的次数恰为次，，又，，即的取值范围为.
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