高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.6 平面直角坐标系中的距离公式课后练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.6 平面直角坐标系中的距离公式课后练习题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线：，：，若，则m的值为（ ）
A．1B．－3C．1或－3D．－1或3
2．两条平行线，间的距离等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
4．“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．对于直线，下列选项正确的为（ ）
A．直线倾斜角为
B．直线在轴上的截距为
C．直线的一个方向向量为
D．直线经过第二象限
6．过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．己知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
8．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距、均为16m，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．对于直线，则（ ）
A．的充要条件是或B．当时，
C．直线经过第二象限内的某定点D．点到直线的距离的最大值为
10．从标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字a，b，记点，，，则（ ）
A．是锐角的概率为B．是直角的概率为
C．是锐角三角形的概率为D．的面积不大于5的概率为
11．同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知直线与，则（ ）
A．若，则两直线垂直B．若两直线平行，则
C．直线恒过定点D．直线在两坐标轴上的截距相等
三、填空题
13．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 .
14．直线在轴､轴上的截距分别是和，则直线的一般式直线方程为 .
15．若满足，则直线必过定点 ．
16．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则 ；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题
17．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且．
(1)求直线的方程；
(2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程．
18．已知直线方程为，其中．
(1)当变化时，求点到直线的距离的最大值；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．
19．已知圆：，直线：．
(1)证明：直线恒过定点．
(2)设直线交圆于，两点，求弦长的最小值及相应的值．
20．已知的三个顶点，，．
(1)求边上中线所在直线的方程；
(2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标．
21．已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求直线的解析式；
(2)求顶点的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】根据直线平行得到方程，求出或1，检验后得到答案.
【详解】由题意得，解得或1，
当时，直线：，：，两直线平行，满足要求.
当时，直线：，：，两直线重合，舍去，
故选：B
2．A
【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由题意知：，：，即，
因为两直线平行，所以距离为，故A正确.
故选：A.
3．D
【分析】根据斜率公式求出，再根据斜率与倾斜角的关系判断即可.
【详解】因为，，所以，
设直线的倾斜角为，则，又，
所以，即直线的倾斜角为.
故选：D
4．C
【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】当时，直线与平行；
当直线与平行时，
有且，解得，
故“”是“直线与平行”的充要条件，
故选：C
5．C
【分析】由直线斜率与倾斜角的关系可判断A，令可判断B，得出直线上两点，可作一个确定的向量，判断该向量与是否共线即可，画出图形即可判断D.
【详解】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；
在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；
在中，令，解得，即直线过两点，
，所以直线的一个方向向量为，故C正确；
画出直线的图象如图所示，
所以直线不经过第二象限，故D错误.
故选：C.
6．D
【分析】利用待定系数法，结合直线垂直的性质即可得解.
【详解】设垂直于直线的直线方程为，
又直线过点，所以，解得，
故所求直线的方程为.
故选：D.
7．D
【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值.
【详解】由已知表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
所以，
过点作，垂足为，
因为直线的方程为，，
所以，
又直线与直线平行，，
所以，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，
又，当且仅当三点共线时等号成立，
所以当点为线段与直线的交点时，
取最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直的直线的方程为，
联立，可得，
所以点的坐标为，所以，
所以的最小值为，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题.
8．D
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案.
【详解】，
，
故，
则，
故选：D.
9．ABC
【分析】求出的充要条件即可判断A；根据两直线垂直得充要条件即可判断B；求出直线经过的定点即可判断C；判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】对于A，若，
则，解得或，
经检验，符合题意，所以或，
所以的充要条件是或，故A正确；
对于B，当时，，所以，故B正确；
对于C，由，得，
令，解得，
所以直线经过定点，位于第二象限，故C正确；
对于D，由，得，
令，解得，
所以直线过定点，
当时，点到直线的距离的最大，
最大值为，故D错误.
故选：ABC.
10．ACD
【分析】A选项，先得到种情况，数形结合得到要想为锐角，则点应在直线下方，共有28个点满足要求，得到是锐角的概率；B选项，求出直线，要想为直角，则点在上，列举出满足要求的点的个数，B正确；C选项，要想为锐角三角形，则点落在直线与直线之间，列举出满足要求的点，得到概率；D选项，要想的面积不大于5，则点在上，或的下方，即，列举出满足要求的点，得到答案.
【详解】A选项，标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，
共有种情况，
设与直线垂直，因为，则直线，
其中个点中，有8个落在直线上，剩余56个点中，一半在上方，
一半在下方，
要想为锐角，则点应在直线下方，
其中满足要求的有28个点，
故是锐角的概率为，A正确；
B选项，过点作直线⊥，
则点落在直线上，满足为直角，
其中，故直线的斜率为1，直线的方程为，即，
落在上的点的坐标有，共6个，
故是直角的概率为，B错误；
C选项，要想为锐角三角形，则点落在直线与直线之间，
根据点的坐标特征，应落在上，
满足要求的点有，共7个，
故是锐角三角形的概率为，C正确；
D选项，直线的方程为，，
设直线，
设直线与直线的距离为，
则，
令，解得，
故要想的面积不大于5，则点在上，或的下方，
即，
满足要求的点有，
，
，
共个，
的面积不大于5的概率为，D正确.
故选：ACD
11．BC
【分析】结合各选项分析直线的斜率与在轴上的截距，从而得以判断.
【详解】因为，，
对于A，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，矛盾，故A错误；
对于B，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故B正确；
对于C，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故C正确．
对于D，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，矛盾，故D错误.
故选：BC.
12．AC
【分析】由，判断A；由平行关系求出，判定B；由直线的点斜式方程判断C；求出截距判断D.
【详解】当时，，
，则，所以两直线垂直，A正确；
若两直线平行，则，解得，
经检验，当时，两直线平行，B错误；
由，即，
所以直线恒过定点，C正确；
由，与两坐标轴的截距分别为，不相等，D错误.
故选：AC
13．-2或-1
【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可.
【详解】若该直线过原点，显然符合题意，易得；
若该直线不过原点，显然时，直线不符合题意，
当时，令时，令时，
依题意有：，解得：或（舍），
综上：或，
故答案为：-2或-1.
14．
【分析】由已知先求出直线方程的截距式，再化为一般式方程即可得解.
【详解】由题意，直线l的截距式方程为，
化为一般式方程为.
故答案为：.
15．
【分析】将代入直线化简可得，即，解方程即可得出答案.
【详解】由可得：，
所以，即，
所以，解得：.
所以直线必过定点.
故答案为：.
16． 2
【分析】建立适当的平面直角坐标系，可得点的坐标（用中的参数表示），结合点E是BD所在直线上一点，即可得第一空答案；由题意，利用投影数量的几何意义可求其范围.
【详解】
由题意以点为原点，所在直线分别为轴，轴，
因为是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，
所以，即，
设点的坐标为，
所以，
所以点的坐标为，
因为点在直线上面，
所以，即，
所以（这里的是指中的）；
因为向量在向量上的投影向量记为，
所以，
如图，于，过作直线平行于，过作该直线的垂线，垂足为，
当为锐角时，，当且仅当重合时等号成立；
当为直角时，；
当为钝角时，即，
综上，.
【点睛】关键点睛：第一空的关键是得点坐标，结合三点共线，第二空的关键是将问题转换为方程有解即可顺利得解.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据两直线垂直的关系求得直线的斜率，再利用直线的斜截式即可得解；
（2）联立与的直线方程，求得它们的交点，再利用截距式与待定系数法即可得解.
【详解】（1）由直线的方程为，，可得直线的斜率为，
又在轴上的截距为，
所以直线的方程为.
（2）联立，解得，
因为直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，且过点，
当直线过原点时，方程为：，
当直线不过原点时，设方程为，，
则，解得，
故方程为，即；
综上所述：的方程为或.
18．(1)
(2)△AOB面积的最小值为4，此时的直线方程.
【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，点到直线的距离的最大时，一定有与该直线垂直，可得结论．
（2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值及参数值．
【详解】（1）直线方程为，
可化为，
令，解得，所以直线恒过定点.
设定点为，当变化时，与该直线垂直时，点到直线的距离最大，
可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，为
（2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且，
可设直线方程为可得与轴､轴的负半轴交于，两点，∴，，解得.
∴，
当且仅当时取等号，面积的最小值为4，
此时直线的方程为：，即：.
19．(1)证明见解析
(2)弦长的最小值为，对应的值为．
【分析】（1）先整理直线方程可得，由即可得解；
（2）先设圆心到直线的距离为，要使直线被圆截得的线段长度最小，则需最大，
当直线垂直于直线时，取得最大值，最大值为的线段长度，根据垂直求得，结合距离公式和弦长公式即可得解.
【详解】（1）直线的方程可化为，
联立解得故直线恒过定点．
（2）可化为，则圆心为，．
设圆心到直线的距离为，要使直线被圆截得的线段长度最小，则需最大，
当直线垂直于直线时，取得最大值，最大值为的线段长度．
因为，所以，解得．
由两点间距离公式可得，
所以直线被圆截得的最短弦长为．
综上，弦长的最小值为，对应的值为．
20．(1)
(2)或
【分析】（1）首先得中点坐标，进一步求得所在直线的斜率，结合点斜式化简即可求解；
（2）首先得，直线的方程为，结合以及点到直线的距离公式得点所在直线方程为或，进一步求得线段的中垂线方程，联立即可得解.
【详解】（1）由题意中点，
所以所在直线的斜率，
所以所在直线的方程为，
即边中线所在直线的方程；
（2）因为，，所以，
，所以直线的方程为，即，
设点到直线的距离，则由题意，
所以点到直线的距离，
则点所在直线方程为或，
因为，，
所以，线段中点坐标为，
所以线段的中垂线为，即，
所以联立或，
所以点的坐标为：或.
21．(1)；
(2).
【分析】（1）先根据得，根据点斜式可得直线的直线方程；
（2）先求出直线的方程，联立即得点坐标.
【详解】（1）因为直线所在直线方程为，所以，
，
则直线的方程为，即．
（2）联立，解得，所以.
由的平分线为知，，
则直线的方程为，即．
联立，解得.
所以.