高中2.4 圆与圆的位置关系复习练习题

这是一份高中2.4 圆与圆的位置关系复习练习题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知圆，点.过原点的直线与圆相交于两个不同的点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（ ）
A．B．C．4D．2
3．根据圆的性质我们知道，过圆外的一点可以作圆的两条切线，切点为与，我们把四边形称为圆的“切点四边形”.现已知圆：，圆外有一点，则圆的“切点四边形”的外接圆周长为（ ）
A．B．C．D．
4．圆与圆相交于A、B两点，则（ ）
A．2B．C．D．6
5．圆和圆的公切线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
6．过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线，则“是直线与相交”的（ ）
A．充分必要条件B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件D．即不充分也不必要条件
二、多选题
9．已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆相交
C．若，直线被圆截得的弦长为
D．若直线与直线垂直，则
10．在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．若直线与曲线相交，则弦最短时
C．当三点不共线时，若点，则射线平分
D．过A作曲线的切线，切点分别为，则直线的方程为
11．由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（ ）
A．线段长的最小值为
B．四边形面积的最小值为
C．的最大值是
D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为
12．已知点与圆是圆上的动点，则（ ）
A．的最大值为
B．过点的直线被圆截得的最短弦长为
C．
D．的最小值为
三、填空题
13．过点的直线交：于，两点，则的最小值为
14．已知圆，圆，直线．若直线与圆交于两点，与圆交于两点，分别为的中点，则 ．
15．在平面直角坐标系中，整点（横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线，与圆：分别切于，两点，与轴分别交于，两点，则使得周长为的所有点的坐标是 ．
16．已知直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则 ， .
四、解答题
17．已知圆，直线过点.
(1)若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围；
(2)以线段为直径的圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积.
18．已知圆：．
(1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程；
(2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程．
19．已知点和直线，点是点关于直线的对称点．
(1)求点的坐标；
(2)为坐标原点，且点满足．若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围．
20．圆．
(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；
(2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由．
21．已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．
(1)求圆的方程；
(2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值．
参考答案：
1．D
【分析】取线段的中点，求出点的轨迹方程，再利用平面向量数量积的运算律及圆的性质求解即得.
【详解】圆的圆心，半径为2，
取线段的中点，连接，当与圆的圆心不重合时，，
点在以线段为直径的圆在圆内的圆弧上，当与重合时，也在此圆弧上，
因此点的轨迹是以线段为直径的圆在圆内的圆弧，圆弧所在圆心为，方程为，
显然，过点与点的直线斜率，
过点与点的直线斜率，显然，即过点与点的直线与该圆弧相交，
因此，点与点的距离为3，则，
所以的取值范围为.
故选：D
2．A
【分析】根据题意可得已知圆的圆心和半径，利用直线与圆相交形成的弦心距，半径和半弦长的关系式即可求得.
【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为：，半径为，由点到直线的距离为，
则该圆截直线所得弦长为.
故选：A.
3．C
【分析】直接利用两点间的距离公式求出圆的半径，进一步求出圆的周长．
【详解】根据题意点到原点的距离，
由于,所以切点四边形的外接圆的直径为,
故该四边形的外接圆的直径为，
所以半径为，
所以外接圆的周长为．
故选：C．

4．D
【分析】两圆方程相减得直线的方程，由点到直线的距离求得C到直线的距离，由圆的弦长公式求出，再由三角形的面积公式计算即可求得.
【详解】两圆方程相减得直线的方程为，
圆化为标准方程，
所以圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
弦长，
所以.
故选：D
5．A
【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.
【详解】解：，圆心，半径，
，圆心，半径，
因为，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直，，
所以切线斜率为，
由方程组解得，
故圆与圆的切点坐标为，
故公切线方程为，即．
故选：A.
6．A
【分析】根据题意，可以求出切线长，根据圆的对称性加以计算，可以得到线段的长.
【详解】
如图，由题意知，，，，
所以，根据圆的对称性易知，
则，解得．
故选：A．
7．B
【分析】四边形PACB的面积是两个全等的三角形的面积的和，PC最小时四边形面积最小，当垂直于直线时，利用点到直线距离和勾股定理即可求解，从而得到四边形PACB的面积的最小值.
【详解】
圆C：，即圆C：，圆心坐标，半径为3；
由题意过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，
可知四边形PACB的面积是两个全等的三角形的面积的和，因为，，
显然PC最小时四边形面积最小，
即，所以
所以四边形PACB的面积的最小值为，
故选：B.
8．C
【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到.
【详解】当直线：与相交时，则，即，
当时满足，即“是直线与相交”的充分条件，
当直线：与相交时，不一定有，如时也满足，
所以“是直线与相交”的充分不必要条件，
故选：C.
9．BC
【分析】利用点斜式可判定A，利用直线过定点结合点与圆的位置关系可判定B，利用弦长公式可判定C，利用直线的位置关系可判定D.
【详解】对于A，直线，即，
则直线恒过定点，故A错误；
对于B，因为，所以定点在圆内部，
所以直线l与圆O相交，故B正确；
对于C，当时，直线，圆心O到直线的距离，
直线l被圆O截得的弦长为，故C正确；
对于D，若直线与直线垂直，则或，故D不正确；
故选：BC.
10．ACD
【分析】由点的轨迹满足已知条件列两点间距离公式化简可求A选项；由弦长公式和基本不等式可求B选项；由角平分线定理的逆定理可求C选项；由几何关系和两圆方程相减可得两圆公共弦方程可求D选项.
【详解】A：设，因为，动点满足，
所以，化简可得，故A正确；
B：由选项A可知，圆心，半径，设圆心到直线的距离为，则，
设弦长为，由弦长公式得，
因为，当且仅当，取等号，
所以弦最短时，故B错误；
C：
因为，则，又，
所以，，则，
所以由角平分线定理的逆定理可知射线平分，故C正确；
D：过A作曲线的切线，切点分别为，
则由集合关系可知在以为直径的圆上，半径为，圆心为，
此圆方程为，
两圆方程相减可得公共线的方程为，故D正确；
故选：ACD.
11．AD
【分析】对于A：根据题意结合切线长性质分析求解；对于B：根据面积关系结合A中结论分析判断；对于C：根据题意结合倍角公式分析求解；对于D：分析可知点在以为直径的圆上，结合相交弦方程的求法分析运算.
【详解】将化为标准方程：，
可知圆的圆心为，半径为．
对于选项A：因为圆心到直线：的距离，
可知，可得，
所以线段长的最小值为，故A正确；
对于选项B：因为四边形面积，
由选项A可知：四边形面积的最小值为，故B错误；
对于选项C：因为，
所以的最小值为，故C错误；
对于选项D：因为，可知点在以为直径的圆上，
当点的坐标为时，则的中点为，且，
即点在圆，即上，
将与作差可得，
所以切点弦所在的直线方程，故D正确．
故选：AD．
12．ACD
【分析】对A利用圆外点到圆上点距离最值模型即可判断；对B，利用弦长公式即可判断；对C，根据投影向量与向量数量积之间的关系即可即可；对D，根据向量共线定理并结合向量减法的线性运算转化为圆心到直线的距离即可.
【详解】对A，圆的圆心坐标，半径，
将原点代入圆的方程有，则原点在圆外，
则，则，故A正确；
对B，将代入圆方程得，则点在圆内，
设圆心到过点的直线距离为，则,
而被截的弦长为，
则弦长最短为，故B错误；
对C，作出在上投影向量，
则，因为，
即，
则，故C正确；

对D，对与共线，则的最小值为点到直线的距离，
易知直线的方程为，则点到直线的距离，故D正确.
故选：ACD.

13．
【分析】将转化为，此式为的中点到直线的距离10倍，求出的轨迹后可求最小值.
【详解】
过分别作直线的垂线，垂足分别为，
设的中点为，过作直线的垂线，垂足为，连接，
又
.
因为为的中点，故，
故的轨迹为以的直径的圆，其方程为，
即，其圆心为，半径为，
到直线的距离为，
故到直线的距离的最小值为，
故的最小值为.
故答案为：.
14．
【分析】利用点到直线的距离公式，以及两点之间的距离公式，结合几何关系，即可求得结果.
【详解】设圆的半径为，由题可得：，
故，满足，故两圆相交，
连接，过作，垂足为，如下图所示：

由点到直线的距离公式可得，，
则，又，
在直角三角形中，
由勾股定理可得.
故答案为：.
15．或
【分析】根据题意，先确定点满足的条件，得到点的轨迹方程，再根据为第一象限的整点确定满足条件的点的个数即坐标.
【详解】如图：

因为直线，分别与圆：相切于，两点，且直线，分别与轴交于，两点，
所以，，，
所以的周长为
，
所以，设，所以，
因为为整点，所以点的坐标为或．
故答案为：或
16． 5
【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合垂径定理，即可求解，将直线与圆方程联立，再结合向量的数量积运算，以及韦达定理，即可求解．
【详解】圆，
则圆心，半径，
圆心到直线的距离，
故，
联立，化简整理可得，，
设,，.，
由韦达定理可知，，，
．
故答案为：；5．
17．(1)
(2)，
【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径或联立直线方程、圆的方程结合判别式均可以求出斜率的范围.
（2）求出弦长和圆心到直线的距离后可求三角形的面积，或者求出两个交点的坐标后可求三角形的面积.
【详解】（1）法一：由已知可得圆，直线即，
∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径，
即，解得，故直线的斜率的取值范围为.
法二：设直线的方程,
联立方程得,
故，解得.
故直线的斜率的取值范围.
（2）
以为直径的圆，且半径，
圆的方程为，
由圆和圆：可得：
的方程为：，
整理得直线的方程为.
法一：因为圆心到直线的距离即,
，，
所以的面积.
法二：联立方程，得，
解得或，
所以的面积.
18．(1)或
(2)或
【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与否，再待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求出切线；
（2）根据圆心在直线上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可．
【详解】（1）由圆：得圆心，半径，
当直线斜率存在时，设：，即，
所以，解得，
所以切线为，即，
当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线，
所以直线的方程为：或；
（2）设，则，
解得，；或，，
故所求圆的方程为或.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）点与点关于直线对称，则直线直线，且线段的中点在直线上，两个方程联立可求出点的坐标；
（2）利用关系式可以得出点的轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，知圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可.
【详解】（1）设，，因为点与点关于直线的对称，则有
线段的中点在直线上，即①，
又直线直线，且直线的斜率为，则①，
联立①①式子解得，
故点的坐标
（2）设，由，则，
故，化简得，
所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径.
又因为直线与圆由公共点，
利用圆心到直线的距离小于等于半径，则，
解得.
故的取值范围为.
20．(1)或
(2)存在；
【分析】（1）从直线与圆相切时仅有一个公共点的特点，利用求得参数，即得圆的方程；
（2）先求出点，，设出直线方程，与圆O方程联立，得到韦达定理，再将等价转化成、的斜率互为相反数，代入韦达定理计算即得值.
【详解】（1）由得，
因为圆与y轴相切，所以，解得或4，
故所求圆C的方程为或．
（2）令得，
解得或，而，即，．
假设存在实数a，设，，
当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为，
由得，
根据韦达定理有（*），
又，则、的斜率互为相反数，
即，得：，
于是，即，
将（*）代入可得：，化简得：，解得．
当直线与x轴垂直时，,显然满足，即、的斜率互为相反数．
综上所述，存在，使得．
21．(1)或
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设圆心为，设圆的半径为，根据圆的几何性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程；
（2）利用圆的几何性质得，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程；
（3）设直线与直线交于点，通过斜率关系得，利用几何关系得，从而，利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可.
【详解】（1）解：设圆心为，设圆的半径为，
圆心到轴的距离为，且圆轴弦长为，则，①
且有②，
联立①②可得或，
所以，圆的方程为或.
（2）解：因为半径小于，则圆的方程为，
由圆的几何性质得即，所以，
设，则，
所以，即的轨迹方程是.
（3）解：设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是，

因为直线的斜率为，则，则，，
所以，，因此，，
又E到的距离，，
所以，，故恒为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．